弧度制設(shè)計(jì) 教學(xué)設(shè)計(jì)

弧度制教學(xué)目標(biāo)1.理解弧度制的意義；2.掌握角度制和弧度制的換算教學(xué)重難點(diǎn)1.理解弧度制的意義，就是通過類比長(zhǎng)度、重量的不同度量制，使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來(lái)度量，從而引出弧度制。2.掌握角度制和弧度制的換算，就是通過探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量角的制度，會(huì)為解決實(shí)際問題帶來(lái)方便，會(huì)進(jìn)行角度制和弧度制的換算。教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課思考題：測(cè)量人的身高常用米、厘米為單位進(jìn)行度量，這兩種度量單位是怎樣換算的？家庭購(gòu)買水果常用千克、斤為單位進(jìn)行度量，這兩種度量單位是怎樣換算的？度量角的大小除了以度為單位度量外，還可采用哪種度量角的單位制？它們是怎樣換算的？設(shè)計(jì)意圖：通過類比導(dǎo)入課題：弧度制.師生活動(dòng)：師問生答.2.新知探究問題①:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過角的度量,1°的角是怎樣定義的呢?問題②:我們從度量長(zhǎng)度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問題帶來(lái)方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?設(shè)計(jì)意圖：通過提問，讓學(xué)生知道角的度量有不同的單位制。教師活動(dòng)：教師先讓學(xué)生思考或討論問題，并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識(shí)，提出這是認(rèn)識(shí)弧度制的關(guān)鍵，為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。討論后教師提問學(xué)生，并對(duì)回答好的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的關(guān)鍵。教師板書弧度制的定義:規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.以弧度為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度記作1rad.如圖1中，的長(zhǎng)等于半徑r，AB所對(duì)的圓心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.圖1討論結(jié)果:①1°的角可以理解為將圓周角分成360等份，每一等份的弧所對(duì)的圓心角就是1°。它是一個(gè)定值，與所取圓的半徑大小無(wú)關(guān)。②能，用弧度制。問題③:作半徑不等的甲、乙兩圓，在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長(zhǎng)，連結(jié)圓心與弧的兩個(gè)端點(diǎn)，得到兩個(gè)角，將乙圖移到甲圖上，兩個(gè)角有什么樣的關(guān)系？問題④:如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)是l，那么α的弧度數(shù)是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制？那么它們之間如何換算？活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系,提問學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補(bǔ)充和提示,對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵(lì).引入弧度之后,應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來(lái)度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來(lái)度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,無(wú)論是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:③完全重合,因?yàn)槎际?弧度的角.④α=;將角度化為弧度:360°=2πrad,1°=rad≈45rad,將弧度化為角度:2πrad=360°,1rad=()°≈°=57°18′.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為αrad=()°,n°=n(rad).問題⑤:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來(lái)表示?扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示?問題⑥:填寫下列的表格,找出某種規(guī)律.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)r逆時(shí)針方向2πr逆時(shí)針方向R12r-2-π0180°360°活動(dòng):教師先給學(xué)生說明教科書上為什么設(shè)置這個(gè)“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖象對(duì)一些特殊角填表,然后概括出一般情況.教師讓學(xué)生互動(dòng)起來(lái),討論并總結(jié)出規(guī)律,提問學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書,教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表?yè)P(yáng),對(duì)沒有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的提示.檢查完畢后,教師做個(gè)總結(jié).由上表可知,如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“換算”問題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí),它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.教師給學(xué)生指出,角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過來(lái),每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角α終邊相同的角時(shí),有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角α的單位來(lái)決定另一項(xiàng)的單位,即兩項(xiàng)所用的單位制必須一致,絕對(duì)不能出現(xiàn)k·360°+或者2kπ+60°一類的寫法.在弧度制中,與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如圖2為角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.討論結(jié)果:⑤與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以寫成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式為l=αR,S=αR2,S=lR.圖2⑥的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)πr逆時(shí)針方向Π180°2πr逆時(shí)針方向2π360°R逆時(shí)針方向1°2r順時(shí)針方向-2°πr順時(shí)針方向-π-180°0未旋轉(zhuǎn)00°πr逆時(shí)針方向Π180°2πr逆時(shí)針方向2π360°3.應(yīng)用示例課本P7例1例2將下列用弧度制表示的角化為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式，并指出它們所在的象限:①-;②;③-20;④-.活動(dòng):本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分別為:{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z}，{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z}，{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.解:①=-4π+,是第一象限角.②=10π+,是第二象限角.③-20=-3×是第四象限角.④-23≈,是第二象限角.點(diǎn)評(píng):在這類題中對(duì)于含有π的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,再根據(jù)α角終邊所在的位置進(jìn)行判斷,對(duì)于不含有π的弧度數(shù)表示的角,取π=,化為k×+α,k∈Z,｜α｜∈［0,的形式,通過α與,π,比較大小,估計(jì)出角所在的象限.變式訓(xùn)練(1)把-1480°寫成2kπ+α(k∈Z，α∈［0,2π))的形式；(2)若β∈［-4π,0)，且β與(1)中α終邊相同,求β.解:(1)∵-1480°=-=-10π+，0≤<2π,∴-1480°=2(-5)π+.(2)∵β與α終邊相同，∴β=2kπ+,k∈Z.又∵β∈［-4π,0)，∴β1=,β2=.4.課堂小結(jié)由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義，角度與弧度的換算公式與方法。教師強(qiáng)調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制，它們是互相聯(lián)系的,辯證統(tǒng)一的；角度與弧度的換算，關(guān)鍵要理解并牢記180°=πrad這一關(guān)系式，由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算；三個(gè)注意的問題，同學(xué)們要切記；特殊角的弧度數(shù)，同學(xué)們要熟記.5.目標(biāo)檢測(cè)1、下列諸命題中,真命題是()A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位活動(dòng):根據(jù)弧度制的定義:我們把