等式與不等式性質(zhì)基本不等式習(xí)題課教案（Word版）

《等式與不等式性質(zhì)、基本不等式習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)；2．掌握基本不等式，結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1．不等式基本性質(zhì)及應(yīng)用；2．基本不等式及變形公式的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：利用基本不等式求最值時(shí)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件．課前準(zhǔn)備PPT課件教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)回顧問題1：前面我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，不等式有哪些性質(zhì)？基本不等式能解決哪些問題？使用時(shí)需注意哪些條件？師生活動：兩個學(xué)生在黑板上默寫，其余同學(xué)紙上默寫，以精準(zhǔn)把握他們對基本知識的掌握程度．易錯的，易混的用彩色粉筆標(biāo)注．教師總結(jié)：在類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意：①由于不等號具有方向性，注意在性質(zhì)1“自反性”和性質(zhì)4“兩邊同乘負(fù)數(shù)”時(shí)，不等號要變號．②性質(zhì)6、性質(zhì)7、性質(zhì)8中都有a，b＞0的條件．③性質(zhì)1和性質(zhì)3是可逆的．④性質(zhì)5給出的是一個充分不必要條件：即條件“a＞b，c＞d”，是條件“a+c＞b+d”的充分不必要條件，后者推不出前者．對于基本不等式使用時(shí)，要注意：解決最值問題時(shí)的三個限制條件：“一正、二定、三相等”．設(shè)計(jì)意圖：通過梳理、歸納幫助學(xué)生將頭腦中零散的數(shù)學(xué)知識相互連接起來，構(gòu)成系統(tǒng)的知識鏈．把涉及的有關(guān)概念或知識點(diǎn)鞏固和深化，為例題分析做好充分的準(zhǔn)備．典例研究（一）基礎(chǔ)知識檢測例1（1）若，，則一定有（）A．B．C．D．（2）已知，下列說法中正確的是（）A．的最小值是2B．，的最小值是2C．D．函數(shù)的最小值2（3）已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則______．問題2：每個題對應(yīng)的知識點(diǎn)和方法分別是什么？師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，之后小組討論，整個過程老師檢查學(xué)生的做題情況，掌握情況．最后根據(jù)學(xué)生的問題針對性的講解．預(yù)設(shè)答案：（1）D；（2）C；（3）36．設(shè)計(jì)意圖：本題組緊扣不等式的基本性質(zhì)和基本不等式的簡單應(yīng)用，根據(jù)概念的核心和易錯點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，一方面檢測學(xué)生對基本知識的掌握情況，另一方面使學(xué)生進(jìn)一步理解知識的內(nèi)涵，為后面的綜合應(yīng)用掃清障礙．知識的綜合應(yīng)用例2已知，求的取值范圍．問題3：如何求上式的范圍？用到哪些不等式性質(zhì)？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)求范圍，注意等價(jià)性．預(yù)設(shè)答案：，，．變式：已知，求的取值范圍．追問1：上式如何求范圍？和例2比較，在方法上有什么異同？需要注意什么？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)求范圍，注意等價(jià)性．把學(xué)生中的正解和錯解分別在展臺上展示．學(xué)生受求解二元一次方程組解法的影響，可能會出現(xiàn)如下錯解：由，得，，所以．師生共同分析錯解的原因在于將不等式多次使用有時(shí)會擴(kuò)大取值范圍．其根本原因是，不等式的性質(zhì)5本質(zhì)上是一個充分不必要條件．因此不能由a+b，a-3b的范圍求a，b的范圍，再由a，b的范圍求的取值范圍．預(yù)設(shè)答案：將a+b，a-3b看作性質(zhì)5中的條件，用他們表示，再聯(lián)合運(yùn)用性質(zhì)4和5求解．解：設(shè)，則，解得，所以，由以上兩式相加，得．追問2：通過例2及變式，你能說說在利用不等式求范圍問題時(shí)，應(yīng)怎樣求解才能使得所求范圍正確？師生活動：學(xué)生反思后，師生總結(jié)得到：利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍要注意：同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），但是這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，如果在解題中多次使用，就有可能擴(kuò)大取值范圍．設(shè)計(jì)意圖：通過對例2和變式，及學(xué)生產(chǎn)生錯解的原因分析，進(jìn)一步理解不等式的意義及邏輯關(guān)系，提高學(xué)生邏輯推理能力．例3（1）已知，求函數(shù)的最大值．（2）已知，且，求的最大值．問題：觀察以上題目，如何轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式？用基本不等式求最值時(shí)需滿足什么條件？師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考后，回答解題思路，教師引導(dǎo)學(xué)生將已知條件及所求的結(jié)論與基本不等式的條件和結(jié)論進(jìn)行對比，尋找解題的突破口，并強(qiáng)調(diào)不等式成立的條件．在（2）中引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造使用基本不等式的條件，要求學(xué)生寫出規(guī)范步驟，并注意變量的取值范圍．預(yù)設(shè)答案：解：（1）．．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．，，即故當(dāng)時(shí)，取最大值1．（2）法1：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即的最大值為．法2：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即的最大值為．法3：．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即的最大值為．變式1：已知，且，求的最小值．追問1：上面變式和例3比較，在解題思路上什么相同之處，你還有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察變式1和例3之間的區(qū)別，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造的思維，提示沒有定值時(shí)，要創(chuàng)造定值，要將表達(dá)式變形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如何創(chuàng)造性的用“1”在解答過程中進(jìn)行過渡，并總結(jié)“1”的代換方法．也應(yīng)學(xué)會將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題進(jìn)行解決，同時(shí)讓學(xué)生說出自己的思路，師生共同對每一種思路可行或不可行的原因進(jìn)行分析．學(xué)生可能出現(xiàn)的錯解：由，及，得xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)即x=2，y=18時(shí)取等號，所以，取得最小值12．這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從基本不等式求最值需滿足的三個條件入手分析錯誤原因在于等號取不到．預(yù)設(shè)答案：解：法1：由得，且x＞1，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即x=4時(shí)取等號，時(shí)，取得最小值16．法2：．，則，當(dāng)且僅當(dāng)，又，時(shí)，取得最小值16．變式2：已知，且，求的最小值．追問2：上式和變式1式子不同，如何求解？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從變式1的思路出發(fā)，尋求變式2的解題思路，同時(shí)指出表象不同的問題，有時(shí)本質(zhì)是相同的．預(yù)設(shè)答案：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，取得最小值8．變式3：已知，，求的最小值．追問3：根據(jù)上式形式特征，如何構(gòu)造基本不等式的形式進(jìn)行求解？師生活動：學(xué)生思考并進(jìn)行解答，教師提醒學(xué)生應(yīng)注意所求式子和已知條件的關(guān)系，將分母看成一個整體變量，將已知代數(shù)式構(gòu)造成分母的形式．預(yù)設(shè)答案：解：由，得(2x+2)+(y+1)=4，2x+2＞0，y+1＞0．則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以所求式子的最小值為2．*變式4：已知，且，求的最小值．追問4：觀察上面問題，和變式1，2對比，你發(fā)現(xiàn)了它們的共同點(diǎn)了嗎？和例3比較，你還有其他想法嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察式子特征，和變式1的式子比較，發(fā)現(xiàn)已知條件可以轉(zhuǎn)化為變式1的條件形式，因此可以用變式1的方法求最值．和例3（1）比較，可以將已知條件進(jìn)行因式分解成乘積形式，利用不等式求解．預(yù)設(shè)答案：解：法1：由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，∴的最小值是5．法2：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即∴的最小值是5．法3：由，可得，即，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即等號成立，∴的最小值是5．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會在應(yīng)用基本不等式解決問題時(shí)，要學(xué)會觀察，學(xué)會變形．若“一正、二定、三相等”的條件不滿足時(shí)，則需要對條件作出調(diào)整和轉(zhuǎn)化，使其滿足上述條件，方可利用基本不等式．轉(zhuǎn)化的方法有拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊項(xiàng)、變號等．通過一系列的問題，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不只是學(xué)習(xí)解題的套路，更要通過不斷地思考變換的問題，讓自己思維更廣闊，增強(qiáng)自己的思維能力，培養(yǎng)將未知轉(zhuǎn)化為已知的能力．例4某公司一年購買某種貨物600噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x=________噸．問題5：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題？師生活動：學(xué)生獨(dú)立閱讀題目，理解題意，嘗試解決．教師可以提出問題，幫助學(xué)生分析：（1）一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和如何用表示？（答案：）（2）要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，此問題可以用基本不等式來求最值嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過本例的教學(xué)，可以幫助學(xué)生理解如何用基本不等式模型理解和識別生活中的最值問題，也就是最優(yōu)化問題，從而用基本不等式解決問題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型思想，從而能體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．預(yù)設(shè)答案：解：設(shè)一年的總費(fèi)用為萬元，由題知，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即噸時(shí)取等號．故一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30．三、歸納總結(jié)問題6：回顧本節(jié)學(xué)習(xí)過程，回答以下問題：（1）如何利用作差（商）法比較兩個實(shí)數(shù)的大??？（2）不等式的基本性質(zhì)有哪些？需要注意哪些條件？（3）基本不等式是什么？能夠解決什么問題？在解決問題時(shí)應(yīng)注意什么？設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確研究兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是為了研究不等式的性質(zhì)．而不等式性質(zhì)是解決不等式問題的理論依據(jù)．基本不等式是解決最值的有力工具．并掌握利用這些基本知識求解問題時(shí)的易錯點(diǎn)及轉(zhuǎn)化辦法．四、布置作業(yè)：教科書復(fù)習(xí)參考題2第1，2，3，4題．五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1．設(shè)，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力，特別是的大小關(guān)系．2．已知，則的最小值是（）A．2B．C．4D．5設(shè)計(jì)意圖：考查在多次使用基本不等式求最值時(shí)等號成立的條件要一致．3．（1）若a＞0，b＞0，ab=2a+b，則a+b的最小值為______，ab的最小值為_______．（2）若0＜x＜1，則的最小值為_______．4．已知，試比較與的大?。O(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生用作差（商）法比較兩個代數(shù)式（實(shí)數(shù)）大小的能力及分類討論思想的應(yīng)用．5．設(shè)求的最大值．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生面對沒有定值的情況，如何對表達(dá)式恒等變形，創(chuàng)造定值．*6．已知為不全相等的正實(shí)數(shù)，且．求證：．設(shè)計(jì)意圖：考查利用基本不等式證明不等式及“1”的代換．*7．某農(nóng)場有一廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m，現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建一個豬圈．平面圖為矩形，面積為56m2，預(yù)計(jì)：①修復(fù)1m舊墻的費(fèi)用是建造1m新墻費(fèi)用的25%，②拆去1m舊墻所得材料用以建成1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻費(fèi)用的50%，③為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出1m的空缺．試問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)當(dāng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費(fèi)用最小？設(shè)計(jì)意圖：考查解決實(shí)際問題的能力．參考答案：1．A利用不等式的性質(zhì)或者舉反例判斷．取a=1，b=-1，B，C選項(xiàng)都錯了．對于D，取a=-1，b=-2，D也錯了．由不等式的性質(zhì)4可乘性知，再根據(jù)可加性得選項(xiàng)正確，故選A．2．C解析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取“=”號．3．（1），8，（2）94．解當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．5．解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，，的最大值是．