等式與不等式性質(zhì)基本不等式習(xí)題課教案（Word版）

《等式與不等式性質(zhì)、基本不等式習(xí)題課》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)；2．掌握基本不等式，結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問(wèn)題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1．不等式基本性質(zhì)及應(yīng)用；2．基本不等式及變形公式的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：利用基本不等式求最值時(shí)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件．課前準(zhǔn)備PPT課件教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，不等式有哪些性質(zhì)？基本不等式能解決哪些問(wèn)題？使用時(shí)需注意哪些條件？師生活動(dòng)：兩個(gè)學(xué)生在黑板上默寫，其余同學(xué)紙上默寫，以精準(zhǔn)把握他們對(duì)基本知識(shí)的掌握程度．易錯(cuò)的，易混的用彩色粉筆標(biāo)注．教師總結(jié)：在類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的基本性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意：①由于不等號(hào)具有方向性，注意在性質(zhì)1“自反性”和性質(zhì)4“兩邊同乘負(fù)數(shù)”時(shí)，不等號(hào)要變號(hào)．②性質(zhì)6、性質(zhì)7、性質(zhì)8中都有a，b＞0的條件．③性質(zhì)1和性質(zhì)3是可逆的．④性質(zhì)5給出的是一個(gè)充分不必要條件：即條件“a＞b，c＞d”，是條件“a+c＞b+d”的充分不必要條件，后者推不出前者．對(duì)于基本不等式使用時(shí)，要注意：解決最值問(wèn)題時(shí)的三個(gè)限制條件：“一正、二定、三相等”．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)梳理、歸納幫助學(xué)生將頭腦中零散的數(shù)學(xué)知識(shí)相互連接起來(lái)，構(gòu)成系統(tǒng)的知識(shí)鏈．把涉及的有關(guān)概念或知識(shí)點(diǎn)鞏固和深化，為例題分析做好充分的準(zhǔn)備．典例研究（一）基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè)例1（1）若，，則一定有（）A．B．C．D．（2）已知，下列說(shuō)法中正確的是（）A．的最小值是2B．，的最小值是2C．D．函數(shù)的最小值2（3）已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則______．問(wèn)題2：每個(gè)題對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)和方法分別是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，之后小組討論，整個(gè)過(guò)程老師檢查學(xué)生的做題情況，掌握情況．最后根據(jù)學(xué)生的問(wèn)題針對(duì)性的講解．預(yù)設(shè)答案：（1）D；（2）C；（3）36．設(shè)計(jì)意圖：本題組緊扣不等式的基本性質(zhì)和基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)概念的核心和易錯(cuò)點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，一方面檢測(cè)學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的掌握情況，另一方面使學(xué)生進(jìn)一步理解知識(shí)的內(nèi)涵，為后面的綜合應(yīng)用掃清障礙．知識(shí)的綜合應(yīng)用例2已知，求的取值范圍．問(wèn)題3：如何求上式的范圍？用到哪些不等式性質(zhì)？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)求范圍，注意等價(jià)性．預(yù)設(shè)答案：，，．變式：已知，求的取值范圍．追問(wèn)1：上式如何求范圍？和例2比較，在方法上有什么異同？需要注意什么？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的性質(zhì)求范圍，注意等價(jià)性．把學(xué)生中的正解和錯(cuò)解分別在展臺(tái)上展示．學(xué)生受求解二元一次方程組解法的影響，可能會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由，得，，所以．師生共同分析錯(cuò)解的原因在于將不等式多次使用有時(shí)會(huì)擴(kuò)大取值范圍．其根本原因是，不等式的性質(zhì)5本質(zhì)上是一個(gè)充分不必要條件．因此不能由a+b，a-3b的范圍求a，b的范圍，再由a，b的范圍求的取值范圍．預(yù)設(shè)答案：將a+b，a-3b看作性質(zhì)5中的條件，用他們表示，再聯(lián)合運(yùn)用性質(zhì)4和5求解．解：設(shè)，則，解得，所以，由以上兩式相加，得．追問(wèn)2：通過(guò)例2及變式，你能說(shuō)說(shuō)在利用不等式求范圍問(wèn)題時(shí)，應(yīng)怎樣求解才能使得所求范圍正確？師生活動(dòng)：學(xué)生反思后，師生總結(jié)得到：利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某個(gè)不等式的范圍要注意：同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），但是這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，如果在解題中多次使用，就有可能擴(kuò)大取值范圍．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)例2和變式，及學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)解的原因分析，進(jìn)一步理解不等式的意義及邏輯關(guān)系，提高學(xué)生邏輯推理能力．例3（1）已知，求函數(shù)的最大值．（2）已知，且，求的最大值．問(wèn)題：觀察以上題目，如何轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式？用基本不等式求最值時(shí)需滿足什么條件？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后，回答解題思路，教師引導(dǎo)學(xué)生將已知條件及所求的結(jié)論與基本不等式的條件和結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，尋找解題的突破口，并強(qiáng)調(diào)不等式成立的條件．在（2）中引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造使用基本不等式的條件，要求學(xué)生寫出規(guī)范步驟，并注意變量的取值范圍．預(yù)設(shè)答案：解：（1）．．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．，，即故當(dāng)時(shí)，取最大值1．（2）法1：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為．法2：由x+y=1，得y=1-x，且0＜x＜1，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為．法3：．則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為．變式1：已知，且，求的最小值．追問(wèn)1：上面變式和例3比較，在解題思路上什么相同之處，你還有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察變式1和例3之間的區(qū)別，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)造的思維，提示沒有定值時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)造定值，要將表達(dá)式變形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如何創(chuàng)造性的用“1”在解答過(guò)程中進(jìn)行過(guò)渡，并總結(jié)“1”的代換方法．也應(yīng)學(xué)會(huì)將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題進(jìn)行解決，同時(shí)讓學(xué)生說(shuō)出自己的思路，師生共同對(duì)每一種思路可行或不可行的原因進(jìn)行分析．學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)解：由，及，得xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)即x=2，y=18時(shí)取等號(hào)，所以，取得最小值12．這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從基本不等式求最值需滿足的三個(gè)條件入手分析錯(cuò)誤原因在于等號(hào)取不到．預(yù)設(shè)答案：解：法1：由得，且x＞1，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即x=4時(shí)取等號(hào)，時(shí)，取得最小值16．法2：．，則，當(dāng)且僅當(dāng)，又，時(shí)，取得最小值16．變式2：已知，且，求的最小值．追問(wèn)2：上式和變式1式子不同，如何求解？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從變式1的思路出發(fā)，尋求變式2的解題思路，同時(shí)指出表象不同的問(wèn)題，有時(shí)本質(zhì)是相同的．預(yù)設(shè)答案：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，取得最小值8．變式3：已知，，求的最小值．追問(wèn)3：根據(jù)上式形式特征，如何構(gòu)造基本不等式的形式進(jìn)行求解？師生活動(dòng)：學(xué)生思考并進(jìn)行解答，教師提醒學(xué)生應(yīng)注意所求式子和已知條件的關(guān)系，將分母看成一個(gè)整體變量，將已知代數(shù)式構(gòu)造成分母的形式．預(yù)設(shè)答案：解：由，得(2x+2)+(y+1)=4，2x+2＞0，y+1＞0．則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以所求式子的最小值為2．*變式4：已知，且，求的最小值．追問(wèn)4：觀察上面問(wèn)題，和變式1，2對(duì)比，你發(fā)現(xiàn)了它們的共同點(diǎn)了嗎？和例3比較，你還有其他想法嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察式子特征，和變式1的式子比較，發(fā)現(xiàn)已知條件可以轉(zhuǎn)化為變式1的條件形式，因此可以用變式1的方法求最值．和例3（1）比較，可以將已知條件進(jìn)行因式分解成乘積形式，利用不等式求解．預(yù)設(shè)答案：解：法1：由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，∴的最小值是5．法2：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即∴的最小值是5．法3：由，可得，即，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即等號(hào)成立，∴的最小值是5．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)在應(yīng)用基本不等式解決問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)觀察，學(xué)會(huì)變形．若“一正、二定、三相等”的條件不滿足時(shí)，則需要對(duì)條件作出調(diào)整和轉(zhuǎn)化，使其滿足上述條件，方可利用基本不等式．轉(zhuǎn)化的方法有拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊項(xiàng)、變號(hào)等．通過(guò)一系列的問(wèn)題，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不只是學(xué)習(xí)解題的套路，更要通過(guò)不斷地思考變換的問(wèn)題，讓自己思維更廣闊，增強(qiáng)自己的思維能力，培養(yǎng)將未知轉(zhuǎn)化為已知的能力．例4某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=________噸．問(wèn)題5：如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀題目，理解題意，嘗試解決．教師可以提出問(wèn)題，幫助學(xué)生分析：（1）一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和如何用表示？（答案：）（2）要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，此問(wèn)題可以用基本不等式來(lái)求最值嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本例的教學(xué)，可以幫助學(xué)生理解如何用基本不等式模型理解和識(shí)別生活中的最值問(wèn)題，也就是最優(yōu)化問(wèn)題，從而用基本不等式解決問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型思想，從而能體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．預(yù)設(shè)答案：解：設(shè)一年的總費(fèi)用為萬(wàn)元，由題知，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即噸時(shí)取等號(hào)．故一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30．三、歸納總結(jié)問(wèn)題6：回顧本節(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程，回答以下問(wèn)題：（1）如何利用作差（商）法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??？（2）不等式的基本性質(zhì)有哪些？需要注意哪些條件？（3）基本不等式是什么？能夠解決什么問(wèn)題？在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意什么？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確研究?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是為了研究不等式的性質(zhì)．而不等式性質(zhì)是解決不等式問(wèn)題的理論依據(jù)．基本不等式是解決最值的有力工具．并掌握利用這些基本知識(shí)求解問(wèn)題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)及轉(zhuǎn)化辦法．四、布置作業(yè)：教科書復(fù)習(xí)參考題2第1，2，3，4題．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．設(shè)，且，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用能力，特別是的大小關(guān)系．2．已知，則的最小值是（）A．2B．C．4D．5設(shè)計(jì)意圖：考查在多次使用基本不等式求最值時(shí)等號(hào)成立的條件要一致．3．（1）若a＞0，b＞0，ab=2a+b，則a+b的最小值為______，ab的最小值為_______．（2）若0＜x＜1，則的最小值為_______．4．已知，試比較與的大小．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生用作差（商）法比較兩個(gè)代數(shù)式（實(shí)數(shù)）大小的能力及分類討論思想的應(yīng)用．5．設(shè)求的最大值．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生面對(duì)沒有定值的情況，如何對(duì)表達(dá)式恒等變形，創(chuàng)造定值．*6．已知為不全相等的正實(shí)數(shù)，且．求證：．設(shè)計(jì)意圖：考查利用基本不等式證明不等式及“1”的代換．*7．某農(nóng)場(chǎng)有一廢棄的豬圈，留有一面舊墻長(zhǎng)12m，現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建一個(gè)豬圈．平面圖為矩形，面積為56m2，預(yù)計(jì)：①修復(fù)1m舊墻的費(fèi)用是建造1m新墻費(fèi)用的25%，②拆去1m舊墻所得材料用以建成1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻費(fèi)用的50%，③為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出1m的空缺．試問(wèn)：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)當(dāng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費(fèi)用最??？設(shè)計(jì)意圖：考查解決實(shí)際問(wèn)題的能力．參考答案：1．A利用不等式的性質(zhì)或者舉反例判斷．取a=1，b=-1，B，C選項(xiàng)都錯(cuò)了．對(duì)于D，取a=-1，b=-2，D也錯(cuò)了．由不等式的性質(zhì)4可乘性知，再根據(jù)可加性得選項(xiàng)正確，故選A．2．C解析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取“=”號(hào)．3．（1），8，（2）94．解當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．5．解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，，的最大值是．