【優(yōu)化方案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章§8.7立體幾何中的向量方法精品課件 理 北師大

§8.7立體幾何中的向量方法

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§8.7立體幾何中的向量方法雙基研習(xí)?面對(duì)高考1．直線間的夾角(1)當(dāng)直線l1與l2是異面直線時(shí)，在直線l1上任取一點(diǎn)A作AB∥l2，我們把直線l1和直線AB的夾角叫作_________________________．(2)當(dāng)兩條直線l1與l2共面時(shí)，我們把兩條直線交角中不超過90°的角叫作_________________．(3)已知直線l1與l2的方向向量分別為s1，s2.雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理異面直線l1與l2的夾角兩直線的夾角〈s1，s2〉2．平面間的夾角(1)兩個(gè)平面所成的二面角的平面角的大小就是這__________________．(2)如圖，平面π1和π2的法向量為n1和n2，θ＝∠MRN為兩平面的夾角，它由_________確定．兩個(gè)平面的夾角〈n1，n2〉θ＝____________或θ＝______________．〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉直線的方向向量平面的法向量夾角思考感悟如何求線面距離與面面距離？提示：求這兩種距離，通常都轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．課前熱身1．(原創(chuàng)題)已知兩平面的法向量分別為n1＝(0,1,0)，n2＝(0，－1，－1)，則兩平面的夾角為(

)A．45°

B．135°C．45°或135°D．90°答案：A答案：A答案：B4．已知知點(diǎn)M(－1,1，－2)，平面面π的法向向量n＝(1，－2,2)，點(diǎn)Q(0,0,0)在平面面π內(nèi)，則則點(diǎn)M到平面面π的距離離為________．考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一求異面直線所成的角例1(2010年高考考天津津卷)如圖，，在長長方體體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是是棱BC，CC1上的點(diǎn)點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求異面面直線線EF與A1D所成角角的余余弦值值；(2)證明：：AF⊥平面面A1ED；(3)求二面面角A1-ED-F的正弦弦值．．【思路點(diǎn)點(diǎn)撥】建立適適當(dāng)?shù)牡淖鴺?biāo)標(biāo)系，利利用向向量運(yùn)運(yùn)算求求解．．【名師點(diǎn)評(píng)】利用向量的的夾角來求求異面直線線的夾角時(shí)時(shí)，注意區(qū)區(qū)別：當(dāng)異異面直線的的向量的夾夾角為銳角角或直角時(shí)時(shí)，就是該該異面直線線的夾角；；當(dāng)異面直直線的向量量的夾角為為鈍角時(shí)，，其補(bǔ)角才才是異面直直線的夾角角．考點(diǎn)二直線和平面所成的角在利用空間間向量求線線面角時(shí)，，首先求出出直線的方方向向量與與平面的法法向量的夾夾角，再通通過互余關(guān)關(guān)系來得到到相應(yīng)的線線面角，但但要注意：：若平面法法向量與直直線方向向向量的夾角角為α(α可為銳角或或鈍角)，則直線與與平面所成成的角θ應(yīng)滿足sinθ＝|cosα|.例2【思路點(diǎn)撥】(1)以CD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，OC為x軸，BO為y軸，OM為z軸建立空間間直角坐標(biāo)標(biāo)系，利用用空間向量量的坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算求解．．【解】取CD中點(diǎn)O，連接OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O(shè)為原點(diǎn)，直直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空空間直角坐坐標(biāo)系，如如圖所示．．【名師點(diǎn)評(píng)】求直線與平平面的夾角角一般有兩兩種方法，，一是作出出線面角，，其關(guān)鍵是是找到直線線在平面內(nèi)內(nèi)的射影，，可由面面面垂直的性性質(zhì)確定；；二是由向向量法求解解，但要注注意兩角的的關(guān)系．變式訓(xùn)練1(2009年高考湖南南卷)如圖，在正正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)E在A1C1上，且DE⊥AE.(1)證明：平面面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正正弦值．解：(1)由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.考點(diǎn)三求二面角利用空間向向量方法求求二面角，，可以有兩兩種辦法：：一是分別別在二面角角的兩個(gè)面面內(nèi)找到一一個(gè)與棱垂垂直且從垂垂足出發(fā)的的兩個(gè)向量量，則這兩兩個(gè)向量的的夾角的大大小就是二二面角的平平面角的大大??；二是是通過平面面的法向量量來求：設(shè)設(shè)二面角的的兩個(gè)面的的法向量分分別為n1和n2，則二面角角的大小等等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．例3【思路點(diǎn)撥】給出的圖形形便于建立立空間直角角坐標(biāo)系，，建系后，，利用空間間向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算求求解．【解】(1)如圖所示，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸軸，建立空空間直角坐坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.【規(guī)律小結(jié)】利用向量方方法來解決決二面角問問題，關(guān)鍵鍵是求出兩兩個(gè)半平面面的法向量量，再求這這兩個(gè)法向向量所成的的角，此時(shí)時(shí)還應(yīng)注意意所求的二二面角是銳銳二面角，，還是鈍二二面角．考點(diǎn)四利用空間向量求距離用空間向量量求點(diǎn)到平平面的距離離的方法步步驟是：(1)求出平面的的單位法向向量n0；(2)任取一條過過該點(diǎn)的該該平面的一一條斜線段段，求出其其向量坐標(biāo)標(biāo)n1；(3)求出n0與n1的數(shù)量積的的絕對(duì)值，，即得點(diǎn)到到平面的距距離d＝|n0·n1|，其中單位位法向量由由法向量除除以它的模模得到，斜斜線段可以以任取，但但必須經(jīng)過過該點(diǎn)．例4【思路點(diǎn)撥】【解】(1)如圖，以S為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，射線SD，SC分別為x軸，y軸正向，建建立空間直直角坐標(biāo)系系，設(shè)A(xA，yA，zA)，【規(guī)律小結(jié)結(jié)】利用向量量法求點(diǎn)點(diǎn)面距，，其步驟驟如下：：①求出該平平面的一一個(gè)法向向量；②找出過該該點(diǎn)的平平面的任任一條斜斜線段對(duì)對(duì)應(yīng)的向向量；③求出法向向量與斜斜線段所所對(duì)應(yīng)向向量的數(shù)數(shù)量積的的絕對(duì)值值再除以以法向量量的模，，即可求求出點(diǎn)到到平面的的距離，，如圖．．方法感悟方法技巧巧1．用向量量知識(shí)證證明立體體幾何問問題有兩兩種基本本思路：：一種是是用向量量表示幾幾何量，，利用向向量的運(yùn)運(yùn)算進(jìn)行行判斷；；另一種種是用向向量的坐坐標(biāo)表示示幾何量量，共分分三步：：(1)建立立體體圖形與與空間向向量的聯(lián)聯(lián)系，用用空間向向量(或坐標(biāo))表示問題題中所涉涉及的點(diǎn)點(diǎn)、線、、面，把把立體幾幾何問題題轉(zhuǎn)化為為向量問問題；(2)通過向量量運(yùn)算，，研究點(diǎn)點(diǎn)、線、、面之間間的位置置關(guān)系；；(3)根據(jù)運(yùn)算算結(jié)果的的幾何意意義來解解釋相關(guān)關(guān)問題．．2．若利用用向量求求角，各各類角都都可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為向向量的夾夾角來運(yùn)運(yùn)算．(1)求兩異面面直線a、b的夾角θ，須求出出它們的的方向向向量a，b的夾角，，則cosθ＝|cos〈a，b〉|.(如例1)(2)求直線l與平面α的夾角θ，可先求求出平面面α的法向量量n與直線l的方向向向量a的夾角．．則sinθ＝|cos〈n，a〉|.(如例2)(3)求二面角角α-l-β的大小θ，可先求求出兩個(gè)個(gè)平面的的法向量量n1，n2所成的角角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．(如例3)3．求點(diǎn)到平面面的距離，若若用向量知識(shí)識(shí)，則離不開開以該點(diǎn)為端端點(diǎn)的平面的的斜線段．(如例4)失誤防范1．用向量知識(shí)識(shí)證明立體幾幾何問題，仍仍然離不開立立體幾何中的的定理．如要要證明線面平平行，只需要要證明平面外外的一條直線線和平面內(nèi)的的一條直線平平行，即化歸歸為證明線線線平行，用向向量方法證直直線a∥b，只需證明向向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直直線的方向向向量與平面的的法向量垂直直來證明線面面平行，仍需需強(qiáng)調(diào)直線在在平面外．2．利用向量求求角，一定要要注意將向量量夾角轉(zhuǎn)化為為各空間角．．因?yàn)橄蛄繆A夾角與各空間間角的定義、、范圍不同．．考情分析考向瞭望?把脈高考利用向量解決決立體幾何問問題是高考中中每年必考的的知識(shí)點(diǎn)之一一，考查重點(diǎn)點(diǎn)是利用向量量討論平行與與垂直，以及及利用向量求求空間的角和和距離，題型型主要為解答答題，難度中中等偏高，主主要考查向量量的坐標(biāo)運(yùn)算算，同時(shí)考查查學(xué)生的空間間想象能力和和運(yùn)算能力．．預(yù)測(cè)2012年高考仍將以以用空間向量量證明平行與與垂直，以及及求空間角為為主要考點(diǎn)，，重點(diǎn)考查空空間想象能力力和運(yùn)算能力力．真題透析例【解】(1)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，AB，AD，AP所在直線分別別為x，y，z軸建立空間直直角坐標(biāo)系．．【名師點(diǎn)評(píng)】(1)本題易出錯(cuò)的的地方是誤以以為兩個(gè)平面面的法向量所所成的角等于于所求二面角角的大小，在在計(jì)算時(shí)對(duì)兩兩個(gè)面的法向向量和二面角角的關(guān)系判