第四章 桿件的強(qiáng)度與剛度

第四章桿件的強(qiáng)度與剛度內(nèi)容提要本章介紹桿件在拉壓、扭轉(zhuǎn)與彎曲時(shí)的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制，應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算，變形和剛度計(jì)算，以及桿件在組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。本章內(nèi)容是桿件計(jì)算的核心。

4.1拉壓桿4.2受扭軸

4.3單跨梁

本章內(nèi)容4.4組合變形小結(jié)

4.1桿件拉壓時(shí)的內(nèi)力計(jì)算4.1.1工程實(shí)例和計(jì)算簡圖工程中承受軸向拉伸或壓縮的桿件：桁架中的桿件［圖

(a)］斜拉橋中的拉桿［圖(b)］

閘門啟閉機(jī)中的螺桿［圖

(c)］

承受軸向拉伸或壓縮的桿件稱為拉(壓)桿。拉壓桿的計(jì)算簡圖拉壓桿的受力特點(diǎn)：外力或外力合力的作用線與桿件的軸線重合

。FF拉壓桿的變形特點(diǎn)：沿軸線方向的伸長或縮短，同時(shí)橫向尺寸也發(fā)生變化。4.1.2.軸力和軸力圖物體沒有受到外力作用時(shí)，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間就存在著相互作用的內(nèi)力。這種內(nèi)力相互平衡，使得各質(zhì)點(diǎn)之間保持一定的相對位置。1.內(nèi)力的概念在物體受到外力作用后，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相對位置就要發(fā)生改變，內(nèi)力也要發(fā)生變化而達(dá)到一個(gè)新的量值。這里所討論的內(nèi)力，指的是因外力作用而引起的物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力的改變量，即由外力引起的“附加內(nèi)力”，簡稱為內(nèi)力。

●內(nèi)力隨外力的增大而增大，當(dāng)內(nèi)力達(dá)到某一限度時(shí)就會(huì)引起構(gòu)件的破壞，因而它與構(gòu)件的強(qiáng)度問題是密切相關(guān)的。截面法是求構(gòu)件內(nèi)力的基本方法。下面通過求解圖（a）所示拉桿m—m橫截面上的內(nèi)力來具體闡明截面法。2.截面法為了顯示內(nèi)力，假想地沿橫截面m—m將桿截開成兩段，任取其中一段，例如取左段，作為研究對象。左段上除受到力F的作用外，還受到右段對它的作用力，此即橫截面m—m上的內(nèi)力[圖(b)]。根據(jù)均勻連續(xù)性假設(shè)，橫截面m—m上將有連續(xù)分布的內(nèi)力，以后稱其為分布內(nèi)力，而把內(nèi)力這一名詞用來代表分布內(nèi)力的合力(力或力偶)?，F(xiàn)要求的內(nèi)力就是圖(b)中的合力FN。因左段處于平衡狀態(tài)，故列出平衡方程?！芚＝0FN－F＝0得F

N＝F這種假想地將構(gòu)件截開成兩部分，從而顯示并求解內(nèi)力的方法稱為截面法。用截面法求構(gòu)件內(nèi)力可分為以下四個(gè)步驟：截、取、代、平。1）截開沿需要求內(nèi)力的截面，假想地將構(gòu)件截開成兩部分。2）取出取截開后的任一部分作為研究對象。3）代替把棄去部分對留下部分的作用以截面上的內(nèi)力代替。

根據(jù)均勻連續(xù)性假設(shè)，橫截面m—m上將有連續(xù)分布的內(nèi)力，以后稱其為分布內(nèi)力，而把內(nèi)力這一名詞用來代表分布內(nèi)力的合力(力或力偶)。4）平衡列出研究對象的靜力平衡方程，解出需求的內(nèi)力。∑X＝0FN－F＝0得F

N＝F

●若取右段為研究對象，同樣可求得軸力FN＝F∑X＝0

F－

FN＝0得F

N＝F3.軸力圖FN的作用線與桿軸線重合，故FN稱為軸力。規(guī)定軸力的正負(fù)號如下：當(dāng)軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時(shí)，桿件受拉伸長，軸力為正；反之，桿件受壓縮短，軸力為負(fù)。以平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，垂直于桿軸線的坐標(biāo)（按適當(dāng)?shù)谋壤┍硎鞠鄳?yīng)截面上的軸力數(shù)值，從而繪出軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，稱為軸力圖，也稱FN圖。通常將正的軸力畫在上方，負(fù)的畫在下方。

【例4.1】拉壓桿如圖所示，求橫截面1—1、2—2、3—3上的軸力，并繪制軸力圖?！窘狻?/p>

1）求支座反力。由桿AD的平衡方程∑X

＝0FD－2kN

－3kN

＋6kN

＝0得

FD

＝－1kN

2)

求橫截面1—1、2—2、3—3上的軸力。設(shè)截面上的軸力為FN1，由平衡方程∑X＝0FN1－2kN＝0FN1＝2kN算得的結(jié)果為正，表明F為拉力。得11①1—1截面FN1

●當(dāng)然也可以取右段為研究對象來求軸力F，但右段上包含的外力較多，不如取左段簡便。因此，計(jì)算時(shí)應(yīng)選取受力較簡單的部分作為研究對象。設(shè)截面上的軸力為FN2，由平衡方程∑X＝0

FN2－2kN－3kN＝0得FN2＝5kN22FN2②2—2截面

沿橫截面3—3將桿截開，取右段為研究對象，可得軸力F為

FN3＝FD＝－1kN算得的結(jié)果為負(fù)，表明F為壓力。③3—3截面FN333軸力圖一般應(yīng)與受力圖對正。在圖上應(yīng)標(biāo)注內(nèi)力的數(shù)值及單位，在圖框內(nèi)均勻地畫出垂直于橫軸的縱坐標(biāo)線，并標(biāo)明正負(fù)號。當(dāng)桿豎直放置時(shí)，正負(fù)值可分別畫在桿的任一側(cè)，并標(biāo)明正負(fù)號。

3)

繪制軸力圖。251FN圖(kN)【例4.1】小結(jié)●最大軸力FNmax=5kN。內(nèi)力較大的截面稱為危險(xiǎn)截面，例如本題中BC段各橫截面。4.1.3拉壓桿的應(yīng)力1.應(yīng)力的概念軸力是拉壓桿橫截面上分布內(nèi)力的合力，它只表示截面上總的受力情況，單憑軸力的大小還不能判斷桿件在外力作用下是否發(fā)生破壞。例如，相等的內(nèi)力分布在較大的面積上時(shí)，比較安全；分布在較小的面積上時(shí)，就比較危險(xiǎn)。因此，為了解決強(qiáng)度問題，還必須研究截面上各點(diǎn)處內(nèi)力的分布規(guī)律，即用截面上各點(diǎn)處的內(nèi)力的大小和方向來表明內(nèi)力作用在該點(diǎn)處的強(qiáng)弱程度。為此，引入應(yīng)力的概念。A上的平均應(yīng)力：

M點(diǎn)處的應(yīng)力：

M點(diǎn)處的正應(yīng)力：

M點(diǎn)處的切應(yīng)力：

=pcos

=psin

應(yīng)力的常用單位為Pa（帕），1Pa=1N/m2。

工程實(shí)際中常采用帕的倍數(shù)單位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其關(guān)系為

1kPa=1×103Pa1MPa=1×106Pa1GPa=1×109Pa2.拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力因?yàn)槔瓑簵U橫截面上的軸力沿截面的法向，所以橫截面上只有正應(yīng)力σ。由于橫截面上正應(yīng)力的合力等于軸力，因此欲計(jì)算正應(yīng)力σ，必須知道σ在截面上的分布規(guī)律。為此，我們來觀察拉壓桿的變形。

在圖(a)所示拉桿的側(cè)面任意畫兩條垂直于桿軸的橫向線ab和cd。拉伸后可觀察到橫向線ab、cd分別平行移到了a'b'

、c'd'位置，但仍為直線，且仍然垂直于桿軸[圖(b)]。根據(jù)這一現(xiàn)象，可假設(shè)變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。這就是平面假設(shè)。

設(shè)想桿是由許多縱向纖維所組成，根據(jù)平面假設(shè)，可斷定桿變形時(shí)任意兩橫截面間各縱向纖維的伸長相等。又根據(jù)均勻連續(xù)性假設(shè)，各條纖維的性質(zhì)相同，因而它們的受力必定相等。所以橫截面上的法向分布內(nèi)力是均勻分布的，即σ等于常量。這個(gè)結(jié)論對于壓桿也是成立的。因?yàn)棣覟槌Ａ?，所以軸力F等于正應(yīng)力σ與橫截面面積A的乘積，即FN＝σA或這就是拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。正應(yīng)力σ的符號和軸力FN的符號規(guī)定相同，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。FN●作用于桿件上的軸向外力一般是外力系的靜力等效力系，在外力作用點(diǎn)附近的應(yīng)力比較復(fù)雜，并非均勻分布。研究表明，上述靜力等效替換對原力系作用區(qū)域附近的應(yīng)力分布有顯著影響，但對稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力分布影響很小，可以忽略。這就是圣維南原理。根據(jù)這一原理，除了外力作用點(diǎn)附近以外，都可用公式計(jì)算應(yīng)力?！纠?.2】一正方形截面的磚柱（壓桿有時(shí)也稱為柱）如圖所示，F(xiàn)＝50kN。求磚柱的最大正應(yīng)力?！窘狻坑媒孛娣ㄇ蟮蒙稀⑾聝啥螜M截面上的軸力分別為FN1＝－50kN，F(xiàn)N2＝－150kN因?yàn)樯稀⑾聝啥螜M截面的面積也不相同，所以必須算出各段橫截面上的應(yīng)力，加以比較后才能確定柱的最大正應(yīng)力。由橫截面上的應(yīng)力計(jì)算公式，得可見，磚柱的最大正應(yīng)力發(fā)生在柱的下段各橫截面上，其值為σmax＝1.1MPa（壓）●以后我們稱應(yīng)力較大的點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，例如本題中柱下段橫截面上各點(diǎn)。

●如果桿的各橫截面上的軸力都相同，那么桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面積最小的橫截面上。若是等直桿，則發(fā)生在軸力最大的橫截面上。在一般情況下，應(yīng)加以比較后確定。4.1.4拉壓桿的變形桿件在軸向拉伸或壓縮時(shí)，所產(chǎn)生的主要變形是沿軸線方向的伸長或縮短，稱為縱向變形；與此同時(shí)，垂直于軸線方向的橫向尺寸也有所縮小或增大，稱為橫向變形[圖(a，b)]。

dd1d1d1.縱向變形（1）縱向總變形拉、壓桿的原長為l，在軸向外力F的作用下，長度l變?yōu)閘1，桿的縱向變形為△l＝l1－l

對于拉桿，△l為正值，表示縱向伸長[圖(a)]；對于壓桿，△l為負(fù)值，表示縱向縮短[圖(b)]。dd1dd1（2）縱向線應(yīng)變根據(jù)平面假設(shè)，桿的各段都是均勻變形的，單位長度的縱向變形為式中的ε稱為縱向線應(yīng)變。顯然，拉伸時(shí)ε＞0，為拉應(yīng)變；壓縮時(shí)ε＜0，為壓應(yīng)變。ε是一個(gè)量綱為1的量。（3）胡克定律大量的實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)桿的變形為彈性變形時(shí)，桿的縱向變形△l與外力F及桿的原長l成正比，而與桿的橫截面面積A成反比，即上式稱為胡克定律。又因?yàn)镕=FN，所以因σ＝，ε＝，故上式變?yōu)檫@是胡克定律的另一表達(dá)式。它表明：在彈性限度內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。

●式中的比例常數(shù)E稱為彈性模量，它與材料的力學(xué)性能有關(guān)，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個(gè)指標(biāo)。E的數(shù)值可由試驗(yàn)測定。E的單位與應(yīng)力的單位相同。一些常用材料的E的約值列于表4.1中，以供參考。EA稱為桿的拉壓剛度，它是單位長度的桿產(chǎn)生單位長度的變形所需的力。表4.1常用材料的E和ν的約值材料名稱E/GPaν低碳鋼196～2160.24～0.28中碳鋼2050.24～0.2816錳鋼196～2160.25～0.30合金鋼186～2160.25～0.30鑄鐵59～1620.23～0.27混凝土15～350.16～0.18石灰?guī)r410.16～0.34木材(順紋)10～12橡膠0.00780.472.橫向變形（1）橫向總變形設(shè)拉、壓桿在變形前、后的橫向尺寸分別為d與d1

，則其橫向變形△d為△d＝d1－d

（2）橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變

為（3）泊松比

大量的試驗(yàn)表明，當(dāng)桿的變形為彈性變形時(shí)，橫向線應(yīng)變

與縱向線應(yīng)變?chǔ)诺慕^對值之比是一個(gè)常數(shù)。此比值稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，用ν表示，即對于拉桿，△d與

都為負(fù)；對于壓桿，△d與

都為正。ν＝ν是一個(gè)量綱為1的量，其數(shù)值隨材料而異，也是通過試驗(yàn)測定的。一些常用材料的ν的約值也列于表4.1中?？紤]到

與ε的正負(fù)號恒相反，可得利用上式，可由縱向線應(yīng)變或正應(yīng)力求橫向線應(yīng)變。反之亦然。

【例4.3】圖示木方柱受軸向荷載作用，橫截面邊長a＝200mm，材料的彈性模量E＝10GPa，桿的自重不計(jì)。求各段柱的縱向線應(yīng)變及柱的總變形。

【解】由于上下兩段柱的軸力不等，故兩段柱的變形要分別計(jì)算。各段柱的軸力為

FNBC＝－100kNFNAB＝－260kN各段柱的縱向變形為各段柱的縱向線應(yīng)變?yōu)槿目傋冃螢閮啥沃淖冃沃?，即△l=△lBC+△lAB=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm4.1.5材料在拉(壓)時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能是材料在外力作用下其強(qiáng)度和變形等方面表現(xiàn)出來的性質(zhì)，它是構(gòu)件強(qiáng)度計(jì)算及材料選用的重要依據(jù)。材料的力學(xué)性能由試驗(yàn)測定。本節(jié)以工程中廣泛使用的低碳鋼（含碳量＜0.25％)和鑄鐵兩類材料為例，介紹材料在常溫、靜載（是指從零緩慢地增加到標(biāo)定值的荷載）下拉(壓)時(shí)的力學(xué)性能。1.材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能（1）低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能

為了便于比較不同材料的試驗(yàn)結(jié)果，必須將試驗(yàn)材料按照國家標(biāo)準(zhǔn)制成標(biāo)準(zhǔn)試件。金屬材料常用的拉伸試件如圖所示，中部工作段的直徑為d0，工作段的長度為l0，稱為標(biāo)距，且l0=10d0或l0=5d0。試驗(yàn)時(shí)將試件的兩端裝在試驗(yàn)機(jī)的夾頭中，緩慢平穩(wěn)地加載直至拉斷。

拉力F與試件的伸長量Δl之間的關(guān)系曲線稱為拉伸曲線或F-△l曲線。圖（a）為Q235鋼的拉伸曲線。圖（a）拉伸曲線受試件幾何尺寸的影響，不能直接反映材料的力學(xué)性能。為了消除試件尺寸的影響，將拉力F除以試件的原橫截面面積A0，得到應(yīng)力σ=F/A0作為縱坐標(biāo)，將標(biāo)距的伸長量除以標(biāo)距的原有長度l0，得到應(yīng)變?chǔ)?△l/l0作為橫坐標(biāo)，這樣就得到一條應(yīng)力σ與應(yīng)變?chǔ)胖g的關(guān)系曲線(圖b)，稱為應(yīng)力-

應(yīng)變曲線或σ-ε曲線。

1）低碳鋼拉伸過程的四個(gè)階段①彈性階段。

σ-ε曲線上OB段為彈性階段。在此階段內(nèi)，如果卸除荷載，則變形能夠完全消失。彈性階段的應(yīng)力最高值稱為彈性極限，用σe表示，即B點(diǎn)處的應(yīng)力值。在此階段內(nèi)，除AB這一小段外，OA段為直線，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，材料服從胡克定律，因此圖中直線OA的斜率即為材料的彈性模量E，即E=tan。

在σ-ε曲線上對應(yīng)于點(diǎn)A的應(yīng)力，表示應(yīng)力與應(yīng)變成比例關(guān)系的最大值，稱為比例極限，用σp表示。Q235鋼的比例極限σp﹦200MPa。由于比例極限與彈性極限非常接近難以區(qū)分，實(shí)際應(yīng)用中常將兩者視為相等。②屈服階段。BC段稱為屈服階段。在此階段，σ-ε曲線沿著鋸齒形上下擺動(dòng)。此時(shí)應(yīng)力基本保持不變而應(yīng)變卻急劇增加，材料暫時(shí)失去了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為屈服或流動(dòng)。

在屈服階段中，對應(yīng)于曲線最低點(diǎn)的應(yīng)力稱為材料的屈服極限，用σs表示。Q235鋼的屈服極限σs=235MPa。如果試件表面經(jīng)過磨光，屈服時(shí)試件表面會(huì)出現(xiàn)一些與試件軸線成45°的條紋稱為滑移線。

●材料在屈服時(shí)產(chǎn)生顯著的塑性變形，這是構(gòu)件正常工作所不允許的，因此屈服極限σs是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。③強(qiáng)化階段。CD段稱為強(qiáng)化階段。在這一階段，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，要使它繼續(xù)發(fā)生變形必須增加外力，這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。這一階段曲線最高點(diǎn)D所對應(yīng)的應(yīng)力值稱為強(qiáng)度極限或抗拉強(qiáng)度，用σb表示，Q235鋼的強(qiáng)度極限σb﹦400MPa。④頸縮階段。在這一階段，試件的變形開始集中于某一局部區(qū)域內(nèi)，橫截面面積出現(xiàn)局部迅速收縮，這種現(xiàn)象稱為頸縮現(xiàn)象。點(diǎn)擊畫面

試件拉斷后，彈性應(yīng)變（O3O4）恢復(fù)，塑性應(yīng)變(OO3)永遠(yuǎn)殘留。試件工作段的長度由l0伸長到l，斷口處的橫截面面積由原來的A0縮減到A。由于局部截面的收縮，試件繼續(xù)變形所需拉力逐漸減小，直至曲線的E點(diǎn)，試件被拉斷。

工程中反映材料塑性性能的兩個(gè)指標(biāo)分別為延伸率：斷面收縮率：Q235鋼的延伸率δ=20%～30%，斷面收縮率ψ=60%～70％。

●工程中常把

的材料稱為塑性材料，如碳鋼、黃銅、鋁合金等；而把δ<５％的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、陶瓷、玻璃、混凝土等。2）冷作硬化在強(qiáng)化階段任一點(diǎn)G時(shí)，逐漸卸除荷載，則應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系將沿著與OA近乎平行的直線O1G回到O1點(diǎn)，如圖所示。O1O2這部分彈性應(yīng)變消失，而OO1這部分塑性應(yīng)變則永遠(yuǎn)殘留。如果卸載后重新加載，則應(yīng)力與應(yīng)變曲線將大致沿著O1GDE的曲線變化，直至斷裂。

●由此可以看出，重新加載后材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性應(yīng)變減少了OO1。這種在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載再重新加載時(shí)，比例極限σp提高而塑性變形降低的現(xiàn)象稱為材料的冷作硬化。

●在實(shí)際工程中常利用冷作硬化提高材料的強(qiáng)度。例如冷拉后的鋼筋比例極限提高了，可以節(jié)約鋼材的用量，降低工程造價(jià)。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些時(shí)候則要避免或設(shè)法消除冷作硬化。

圖中給出了幾種塑性材料的σ-ε曲線?？梢钥闯?，除了16Mn鋼與低碳鋼的σ-ε曲線比較相似外，一些材料（如鋁合金）沒有明顯的屈服階段，但它們的彈性階段、強(qiáng)化階段和頸縮階段則都比較明顯；另外一些材料（如MnV鋼）則只有彈性階段和強(qiáng)化階段而沒有屈服階段和頸縮階段。

●對于沒有屈服階段的塑性材料，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定以產(chǎn)生0.2％塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值作為材料的名義屈服極限，用σ0.2表示。（2）鑄鐵等脆性材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能

鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示。由應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以看出，它沒有明顯的直線段，應(yīng)力與應(yīng)變不成正比關(guān)系。在工程計(jì)算中通常以產(chǎn)生0.1%的總應(yīng)變所對應(yīng)的曲線的割線斜率來表示材料的彈性模量，E=tan。鑄鐵在拉伸過程中，沒有屈服階段，也沒有頸縮現(xiàn)象。拉斷時(shí)應(yīng)變很小，約為0.4%~0.5%，是典型的脆性材料。拉斷時(shí)的應(yīng)力稱為強(qiáng)度極限或抗拉強(qiáng)度，用σb表示。

強(qiáng)度極限σb是衡量脆性材料強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。常用灰鑄鐵的抗拉強(qiáng)度很低約為120～180MPa。

●由于鑄鐵等脆性材料拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限很低，因此不宜用于制作受拉構(gòu)件。2.材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能（1）塑性材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能金屬材料的壓縮試件一般采用圓柱形的短試件，試件高度與截面直徑的比值為1.5～3。

低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示，同時(shí)在圖中用虛線表示拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。由圖可以看出，在屈服階段以前，低碳鋼拉伸與壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本重合。因此，低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量Ε、屈服極限σs都與拉伸試驗(yàn)的結(jié)果基本相同。

在屈服階段后，試件出現(xiàn)了顯著的塑性變形，越壓越扁，由于上下壓板與試件之間的摩擦力約束了試件兩端的橫向變形，試件被壓成鼓形。由于橫截面不斷增大，要繼續(xù)產(chǎn)生壓縮變形，就要進(jìn)一步增加壓力，因此由σ=F/A0得出的σ-ε曲線呈上翹趨勢，故測不出壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限。

●低碳鋼壓縮時(shí)的一些性能指標(biāo)可通過拉伸試驗(yàn)測出，而不必再作壓縮試驗(yàn)。一般塑性材料都存在上述情況。但有些塑性材料壓縮與拉伸時(shí)的屈服極限不同，如鉻鋼、硅合金鋼，因此對這些材料還要測定其壓縮時(shí)的屈服極限。（2）脆性材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能

1）圖示為鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線（圖中也大致畫出了拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線）。鑄鐵拉、壓時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線都沒有明顯的屈服階段，但壓縮時(shí)塑性變形較明顯。

鑄鐵的抗壓強(qiáng)度σc遠(yuǎn)大于抗拉強(qiáng)度σb，大約為抗拉強(qiáng)度的4～5倍。破壞時(shí)不同于拉伸時(shí)沿橫截面，而是沿與軸線約成45°～55°的斜截面破壞，這說明鑄鐵的壓縮破壞是由于超過了材料的抗剪能力而造成的。

2）混凝土是由水泥、石子、沙子三種材料用水拌和經(jīng)過凝固硬化后而成的人工石料。圖1為混凝土拉、壓時(shí)的σ-ε曲線，由圖可知混凝土的抗壓強(qiáng)度為抗拉強(qiáng)度的10倍左右。圖1

混凝土壓縮時(shí)，破壞形式與端部摩擦有關(guān)。圖2（a）是立方體試塊端部未加潤滑劑時(shí)的破壞情況。圖2（b）是立方體試塊端部加潤滑劑時(shí)的破壞情況。兩種破壞形式所對應(yīng)的抗壓強(qiáng)度不同，后者破壞荷載較小。工程中統(tǒng)一規(guī)定采用兩端不加潤滑劑的試驗(yàn)結(jié)果，來確定材料的抗壓強(qiáng)度。圖2

●由于鑄鐵、混凝土等脆性材料的抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度高，宜用于制作承壓構(gòu)件，如底座、橋墩、基礎(chǔ)等。3.安全因數(shù)與許用應(yīng)力（1）極限應(yīng)力

通過拉壓試驗(yàn)可以測出反映材料強(qiáng)度的兩個(gè)性能指標(biāo)，即σs和σb。對低碳鋼等塑性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限σs(σ0.2)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生顯著的塑性變形，影響構(gòu)件正常工作；而對鑄鐵等脆性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度σb或抗壓強(qiáng)度σc時(shí)，會(huì)發(fā)生斷裂，喪失工作能力。工程中將塑性材料的屈服極限σs(σ0.2)和脆性材料的抗拉強(qiáng)度σb（抗壓強(qiáng)度σc）統(tǒng)稱為極限應(yīng)力，用σ0表示。（2）安全因數(shù)與許用應(yīng)力構(gòu)件工作時(shí)的最大應(yīng)力稱為最大工作應(yīng)力。要求構(gòu)件內(nèi)最大工作應(yīng)力小于極限應(yīng)力σ0。構(gòu)件內(nèi)的最大工作應(yīng)力限制在極限應(yīng)力范圍內(nèi)還是不夠的，這是因?yàn)椋孩儆?jì)算簡圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)之間存在著差異。②材料的不均勻性。③荷載值的偏差。④構(gòu)件需要有必要的強(qiáng)度儲(chǔ)備。為了保證構(gòu)件能安全正常地工作，必須將材料的極限應(yīng)力打一個(gè)折扣，除以一個(gè)大于1的因數(shù)n以后，作為構(gòu)件最大工作應(yīng)力所不允許超過的數(shù)值，這個(gè)應(yīng)力值稱為許用應(yīng)力，用[σ]表示，即[σ]=σ0/n

對于塑性材料[σ]=σs/ns或[σ]=σ0.2/ns對于脆性材料[σ]=σb/nb或[σ]=σc/nb式中：ns和nb——塑性材料和脆性材料的安全因數(shù)。

●安全因數(shù)的確定是一件復(fù)雜的工作，一般情況下，在工業(yè)的各個(gè)部門都指定有自己的安全因數(shù)規(guī)范供設(shè)計(jì)人員查用。如無規(guī)范，則對塑性材料一般取ns=1.4～1.7，對脆性材料一般取nb=2.5～5。4.1.6拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算1.強(qiáng)度條件要保證拉壓桿不致因強(qiáng)度不足而破壞，應(yīng)使桿的最大正應(yīng)力σmax不超過材料的許用應(yīng)力[σ]，即σmax≤[σ]（a）這就是拉壓桿的強(qiáng)度條件。對于等直桿，由于，所以強(qiáng)度條件可寫為（b）2.三類強(qiáng)度計(jì)算問題1）強(qiáng)度校核。已知桿的材料、尺寸和承受的荷載（即已知[σ]、A和F），要求校核桿的強(qiáng)度是否足夠。此時(shí)只要檢查式（b）是否成立。2）設(shè)計(jì)截面尺寸。已知桿的材料、承受的荷載（即已知[σ]、F），要求確定橫截面面積或尺寸。為此，將式（b）改寫為據(jù)此可算出必須的橫截面面積。根據(jù)已知的橫截面形狀再確定橫截面尺寸。

●當(dāng)采用工程中規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)截面（例如型鋼）時(shí)，可能會(huì)遇到為了滿足強(qiáng)度條件而須選用過大截面的情況。為經(jīng)濟(jì)起見，此時(shí)可以考慮選用小一號的截面，但由此而引起的桿的最大正應(yīng)力超過許用應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)一般限制在5%以內(nèi)，即3）確定許用荷載。已知桿的材料和尺寸（即已知[σ]和A），要求確定桿所能承受的最大荷載。為此，將式（b）改寫為FNmax≤A[σ]先計(jì)算出桿所能承受的最大軸力，再由荷載與軸力的關(guān)系，計(jì)算出桿所能承受的最大荷載?！纠?.4】圖（a）所示三鉸屋架的拉桿采用16錳圓鋼，直徑d=20mm。已知材料的許用應(yīng)力[σ]=200MPa，試校核鋼拉桿的強(qiáng)度。【解】1）求支座反力。取整個(gè)屋架為研究對象，利用對稱性，得FA＝FB＝×20m×q

＝×20m×4kN/m

＝40kN取半個(gè)屋架為研究對象。

2）求拉桿的軸力。由平衡方程∑M＝03.5m×FN＋10m×q×5m－10m×FA＝0得鋼拉桿是等直桿，橫截面上的軸力相同，故桿的最大正應(yīng)力為

3）求拉桿的最大正應(yīng)力。因?yàn)棣襪ax＝182MPa＜[σ]＝200MPa所以鋼拉桿的強(qiáng)度是足夠的。

4）校核拉桿的強(qiáng)度。

【例4.5】圖（a）所示鋼桁架的所有各桿都是由兩個(gè)等邊角鋼組成。已知角鋼的材料為Q235鋼，其許用應(yīng)力[σ]＝170MPa，試為桿EH選擇所需角鋼的型號。【解】

1）求支座反力。取整個(gè)桁架為研究對象，由對稱性，得FA=FB=F=220kNFAFB

假想用截面m－

m將桁架截開，取左邊部分為研究對象[圖b]，由平衡方程∑MC＝03m

×FNEH－4m×FA＝0得FNEH＝293kN

2）求桿EH的軸力。

3）計(jì)算桿EH的橫截面積。桿EH所需的橫截面積為

4）選擇等邊角鋼的型號。

由型鋼表查得，厚度為6mm的7.5號等邊角鋼的橫截面面積為8.797×102mm2＝879.7mm2，用兩個(gè)這樣的等邊角鋼組成的桿的橫截面面積為879.7mm2×2＝1759.4mm2，稍大于1720mm2。因此，選用∟

75×6。

●型鋼是工程中常用的標(biāo)準(zhǔn)截面（見附錄一）。等邊角鋼是型鋼的一種。它的型號用邊長的厘米數(shù)表示，在設(shè)計(jì)圖上則常用邊長和厚度的毫米數(shù)來表示。例如符號

∟80×7表示8號角鋼，其邊長為80mm，厚度為7mm。

【例4.6】如圖(a)所示三角形托架，AB為鋼桿，其橫截面面積為A＝400mm2，許用應(yīng)力[σ]＝170MPa；BC為木桿，其橫截面面積為A＝10000mm2，許用壓應(yīng)力為[σ]＝10MPa。求荷載F的最大值Fmax。

【解】

1）求兩桿的軸力與荷載的關(guān)系。

取結(jié)點(diǎn)B為研究對象[圖(b)]，由平衡方程∑Ｙ＝０ＦN2sin30o－F＝０∑X＝０FN2cos300－FN1＝０得得FN1＝FN2cos300＝F（拉）(壓)

2）計(jì)算許用荷載。AB桿的許用軸力為FN1＝F≤A1[σ]所以對于AB桿，許用荷載為同樣，對于BC桿，許用軸力為FN2＝２F≤A2[σc]許用荷載為為了保證兩桿都能安全地工作，荷載F的最大值為Fmax＝39.3kN

【例4.7】圖(a)表示一等直桿，其頂部受軸向荷載F的作用。已知桿的長度為l，橫截面面積為A，材料的容重為

，許用應(yīng)力為[σ]，試寫出考慮桿自重時(shí)的強(qiáng)度條件（桿的自重可看作沿軸線均勻分布的荷載）。

【解】應(yīng)用截面法[圖(b)]，桿的任一橫截面m—

m上的軸力為負(fù)號表示軸力為壓力。由此繪出桿的軸力圖如圖(c)所示。根部橫截面上的軸力最大，其值為由拉壓桿的強(qiáng)度條件，得或F＝FNmax＋

Al(壓)

●由此例可知，當(dāng)考慮桿的自重時(shí)，相當(dāng)于材料的許用應(yīng)力減小了

l。若

，則自重對桿的影響很小，可以忽略；若有一定數(shù)量的值，則自重對強(qiáng)度的影響應(yīng)加以考慮。例如，有一長l＝10m的等直鋼桿，鋼的容重

＝76440N/m3，許用應(yīng)力[σ]＝170MPa，則＝0.45%≤1；若有同樣長度的磚柱，磚的容重

＝17640N/m3，許用應(yīng)力[σ]＝1.2MPa，而＝15%。

因此一般地，金屬材料制成的拉壓桿在強(qiáng)度計(jì)算中可以不考慮自重的影響（有些很長的桿件，如起重機(jī)的吊纜、鉆探機(jī)的鉆桿等除外）；但對磚、石、混凝土制成的柱（壓桿），在強(qiáng)度計(jì)算中應(yīng)該考慮自重的影響。

●當(dāng)考慮桿的自重時(shí)，如果按桿根部橫截面上的正應(yīng)力σmax來設(shè)計(jì)截面，把桿制成等直桿，那么只有根部橫截面上的應(yīng)力達(dá)到材料的許用應(yīng)力[σ]，其他橫截面上的應(yīng)力都比[σ]小，顯然造成了材料的浪費(fèi)。因此，為了合理地利用材料，應(yīng)使桿的每一橫截面上的應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力[σ]，這樣設(shè)計(jì)的桿稱為等強(qiáng)度桿，其形狀如圖(a)所示。不過，等強(qiáng)度桿的制作復(fù)雜而且昂貴，故在工程中，一般都制成與等強(qiáng)度桿相近的階梯形桿[圖(b)]或截錐形桿[圖(c)]。4.2

受扭軸4.2.1

工程實(shí)例和計(jì)算簡圖工程中承受扭轉(zhuǎn)的桿件：汽車方向盤的操縱桿［圖(a)］Me(a)機(jī)器中的傳動(dòng)軸［圖(b)］鉆機(jī)的鉆桿［圖(c)］(c)MeABMtBMeAMeBF2F2A(b)房屋中的雨篷梁和邊梁［圖(d，e)］MeMFF(e)MeAMeAMtFAFBAB(d)

●工程中常把以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸。本書主要研究圓軸的扭轉(zhuǎn)。

扭轉(zhuǎn)桿件的受力特點(diǎn)：在桿件兩端受到兩個(gè)作用面垂直于桿軸線的力偶的作用，兩力偶大小相等、轉(zhuǎn)向相反。

扭轉(zhuǎn)桿件變形特點(diǎn)：桿件任意兩個(gè)橫截面都繞桿軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)，兩橫截面之間的相對角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，用表示。單擊圖片受扭軸的計(jì)算簡圖MeMe4.2.2扭矩和扭矩圖1.外力偶矩的計(jì)算工程中作用于軸上的外力偶矩一般不直接給出，而是由軸的轉(zhuǎn)速和軸所傳遞的功率進(jìn)行計(jì)算。若軸的轉(zhuǎn)速為n（單位為r／min），軸的功率為P（單位為kW），則外力偶矩為式中：Me——軸上某處的外力偶矩，單位為N·m；

P——軸上某處輸入或輸出的功率，單位為kW；

n——軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。2.扭矩和扭矩圖由于左端有外力偶作用，為使其保持平衡，m—m截面上必存在一個(gè)內(nèi)力偶矩。它是截面上分布內(nèi)力的合力偶矩，稱為扭矩，用T來表示。MeMeMe

T－Me=0得

T＝Me由平衡方程Me若取右段為研究對象，也可得到相同的結(jié)果，但扭矩的轉(zhuǎn)向相反。T＝MeMeMeTMe為了使同一截面上扭矩不僅數(shù)值相等，而且符號相同，對扭矩T的正負(fù)號作如下規(guī)定：使右手四指的握向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致，若拇指指向截面外法線，則扭矩T為正，反之為負(fù)。MeMeMeMeT為了直觀地表示出軸的各個(gè)截面上扭矩的變化規(guī)律，與軸力圖一樣用平行于軸線的橫坐標(biāo)表示各橫截面的位置，垂直于軸線的縱坐標(biāo)表示各橫截面上扭矩的數(shù)值，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，將扭矩隨截面位置的變化規(guī)律繪制成圖，稱為扭矩圖。在扭矩圖中，把正扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方，負(fù)扭矩畫在下方。

【例4.8】已知傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n＝300r／min，主動(dòng)輪A的輸入功率PA＝29kW，從動(dòng)輪B、C、D的輸出功率分別為PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。試?yán)L制該軸的扭矩圖。MeBMeCMeAMeD【解】

1)

計(jì)算外力偶矩。軸上的外力偶矩為

2)

計(jì)算各段軸內(nèi)橫截面上的扭矩。

得T1為負(fù)值，表示假設(shè)的扭矩方向與實(shí)際方向相反。由平衡方程MeBMeCMeAMeDxT1MeB11

得由平衡方程MeBMeCMeAMeDMeBMeC22得由平衡方程MeD33

3)

繪制扭矩圖。最大扭矩發(fā)生在CA段軸的各個(gè)截面上，其值為|Tmax|=573N·m。223573350T圖(N.m)4.2.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算1.扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)現(xiàn)象與分析圖（a）所示為一圓軸，在其表面畫上若干條縱向線和圓周線，形成矩形網(wǎng)格。扭轉(zhuǎn)變形后[圖（b）]，在彈性范圍內(nèi)，可以觀察到以下現(xiàn)象：ee1）各縱向線都傾斜了一個(gè)微小的角度，矩形網(wǎng)格變成了平行四邊形。2）各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，但它們都繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度。ee根據(jù)以上觀察到的現(xiàn)象，可以作出如下的假設(shè)及推斷：①由于各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，可以假設(shè)圓軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)后仍保持為平面，各橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)。這一假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)。②由于各圓周線的間距保持不變，故知橫截面上沒有正應(yīng)力。③由于矩形網(wǎng)格歪斜成了平行四邊形，即左右橫截面發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動(dòng)，故可推斷橫截面上必有切應(yīng)力τ，且切應(yīng)力的方向垂直于半徑。④由于各縱向線都傾斜了一個(gè)

角度

，故各矩形網(wǎng)格的直角都改變了

角，直角的改變量稱為切應(yīng)變。切應(yīng)變

是切應(yīng)力τ引起的。2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力（1）切應(yīng)力的計(jì)算公式圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力的計(jì)算公式為（推導(dǎo)從略）式中：T——橫截面上的扭矩，以絕對

值代入；

——橫截面上欲求應(yīng)力的點(diǎn)處

到圓心的距離；Ip——橫截面對圓心的極慣性矩。TRdA切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，切應(yīng)力的方向則與半徑垂直，并與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。由切應(yīng)力的計(jì)算公式可知，當(dāng)

=R時(shí)，切應(yīng)力最大，最大切應(yīng)力為（2）最大切應(yīng)力則有式中：Wp——扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位為mm3或m3。

●扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式只適用于圓軸。令

（3）極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計(jì)算極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp是只與橫截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。直徑為D的圓截面和外徑為D、內(nèi)徑為d的圓環(huán)形截面，它們對圓心的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為圓截面：

圓環(huán)形截面：

式中：——內(nèi)、外徑的比值?！纠?.9】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85mm，橫截面上的扭矩T=1.5kN·m。求橫截面上內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力，并繪制橫截面上切應(yīng)力的分布圖。TT【解】

1）計(jì)算極慣性矩。極慣性矩為

2）計(jì)算切應(yīng)力。內(nèi)外邊緣處的切應(yīng)力分別為TT橫截面上切應(yīng)力的分布如圖所示。τB=3.圓軸的強(qiáng)度計(jì)算為使圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)能正常工作，必須要求軸內(nèi)的最大切應(yīng)力τmax不超過材料的許用切應(yīng)力[τ]，若用Tmax表示危險(xiǎn)截面上的扭矩，則圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為式中：[τ]——材料的許用切應(yīng)力，通過試驗(yàn)測得。

它與許用拉應(yīng)力之間有如下關(guān)系：塑性材料：[τ]=（0.5～0.6）[σ]脆性材料：

[τ]=（0.8～1.0）[σ]利用強(qiáng)度條件可以對圓軸進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面尺寸和確定許用荷載等三類強(qiáng)度計(jì)算問題?！纠?.10】如圖（a）所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的許用切應(yīng)力[τ]=50MPa，試進(jìn)行強(qiáng)度校核。Me2Me1

【解】1）求危險(xiǎn)截面上的扭矩。繪出軸的扭矩圖如圖（b）所示，BC段各橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的扭矩為Tmax=4kN·mMe2Me1

2）校核軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為軸的最大切應(yīng)力為=34.5MPa<[τ]=50MPa可見軸是安全的?！纠?.11】實(shí)心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，材料的許用切應(yīng)力[τ]=20MPa。（1）選擇實(shí)心軸的直徑D1。(2)若空心軸的內(nèi)外徑比為1/2，選擇空心軸的外徑D2。(3)若實(shí)心部分與空心部分長度相等且采用同一種材料，求實(shí)心部分與空心部分的重量比。MeMe

【解】軸承受的外力偶矩為故軸任一橫截面上的扭矩為

1）選擇實(shí)心軸的直徑。由強(qiáng)度條件T=Me=955N·m得

2）選擇空心軸的外徑D2?？招膱A截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為由強(qiáng)度條件得

3）求實(shí)心部分與空心部分的重量比。實(shí)心部分與空心部分的重量比為●顯然空心軸比實(shí)心軸節(jié)省材料?！駨臋M截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律可以說明為什么工程中許多受扭桿件采用空心圓截面。4.2.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算1.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形（1）扭轉(zhuǎn)角圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形通常是用兩個(gè)橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的相對扭轉(zhuǎn)角來度量的，其計(jì)算公式為（推導(dǎo)從略）T——橫截面上的扭矩，以絕對值代入；G——材料的切變模量；Ip——橫截面對圓心的極慣性矩。

上式也可寫成為式中：

——相距為dx的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角；因此，相距為l的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T的數(shù)值相同，則積分后得扭轉(zhuǎn)角的單位為rad。

●GIp稱為圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度，用它來表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。（2）單位長度扭轉(zhuǎn)角工程中通常采用單位長度扭轉(zhuǎn)角，即對于由同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T的數(shù)值相同，則有單位長度扭轉(zhuǎn)角

的單位為rad／m。2.圓軸的剛度計(jì)算對于承受扭轉(zhuǎn)的圓軸，除了滿足強(qiáng)度條件外，還要求它的扭轉(zhuǎn)變形不能過大。例如，精密機(jī)床上的軸若產(chǎn)生過大變形則會(huì)影響機(jī)床的加工精度；機(jī)器的傳動(dòng)軸如有過大的扭轉(zhuǎn)變形，將使機(jī)器在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生較大振動(dòng)。因此必須對軸的扭轉(zhuǎn)變形加以限制，即使其滿足剛度條件：式中：[

]——單位長度許用扭轉(zhuǎn)角，單位為rad/m，其

數(shù)值是由軸上荷載的性質(zhì)及軸的工作條件等因素決定的，可從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊中查到。在實(shí)際工程中[

]的單位通常為/m，剛度條件變?yōu)椤纠?.12】圖（a）所示的傳動(dòng)軸，在截面A、B、C三處作用的外力偶矩分別為MeA=4.77kN·m、MeB=2.86kN·m、MeC=1.91kN·m。已知軸的直徑D=90mm，材料的切變模量G=80103MPa，材料的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，單位長度許用扭轉(zhuǎn)角[]=1.1/m。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度?！窘狻?)

求危險(xiǎn)截面上的扭矩。

繪出扭矩圖如圖所示。由圖可知，BA段各橫截面為危險(xiǎn)截面，其上的扭矩為Tmax=2.86kN·m（b）T圖

（kN·m）

2)

強(qiáng)度校核。截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)和極慣性矩分別為軸的最大切應(yīng)力為可見強(qiáng)度滿足要求。

3)

剛度校核。軸的單位長度最大扭轉(zhuǎn)角為可見剛度也滿足要求。4.3

單跨梁

4.3.1工程實(shí)例和計(jì)算簡圖1.彎曲的工程實(shí)例工程中有大量的構(gòu)件，它們所承受的荷載是作用線垂直于桿件軸線的橫向力，或者是通過桿軸平面內(nèi)的外力偶。在這些外力的作用下，桿件的橫截面要發(fā)生相對的轉(zhuǎn)動(dòng)，桿件的軸線將彎成曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。彎曲的工程實(shí)例樓板梁公路橋梁單位長度的擋水墻

平面彎曲是工程中最常見的情況，也是最基本的彎曲問題，掌握了它的計(jì)算對于工程應(yīng)用以及進(jìn)一步研究復(fù)雜的彎曲問題具有十分重要的意義。本課程主要研究平面彎曲問題。2.平面彎曲的概念工程中常用梁的橫截面都具有一個(gè)豎向?qū)ΨQ軸。梁的軸線與梁的橫截面的豎向?qū)ΨQ軸構(gòu)成的平面，稱為梁的縱向?qū)ΨQ面。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則梁的軸線將在此對稱面內(nèi)彎成一條曲線，這樣的彎曲變形稱為平面彎曲。3.梁的計(jì)算簡圖為了得到便于分析的計(jì)算簡圖，須對工程中的梁作以下三方面的簡化：

1)梁本身的簡化。通常用梁的軸線來代表梁。

2)荷載的簡化。梁上的荷載一般簡化為集中力、集中力偶或分布荷載。

3)支座的簡化。梁的支座有固定鉸支座、活動(dòng)鉸支座和固定端支座三種理想情況。F1F2●靜定梁有三種型式：懸臂梁、簡支梁和外伸梁。這三種梁的支座反力都可由靜力平衡方程求出。●梁在兩個(gè)支座之間的部分稱為跨，其長度則稱為跨長或跨度。4.3.2梁的內(nèi)力圖1.剪力和彎矩求簡支梁任意橫截面m—m上的內(nèi)力。假想地沿橫截面m—m把梁截開成兩段，取左段為研究對象，在橫截面m—m上必然存在一個(gè)沿截面方向的內(nèi)力FS。由平衡方程∑Y=0FA

FS

=0得FS=FA

FS稱為剪力。因剪力FS與支座反力FA組成一力偶，故在橫截面m—m上必然還存在一個(gè)內(nèi)力偶與之平衡。設(shè)此內(nèi)力偶的矩為M，則由平衡方程∑MO=0MFAx=0得M=FAx

這里的矩心O是橫截面m—m的形心。這個(gè)內(nèi)力偶矩M稱為彎矩，它的矩矢垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。如果取右段梁為研究對象，則同樣可求得橫截面m—m上的剪力FS和彎矩M。為了使無論取左段梁還是取右段梁得到的同一橫截面上的FS和M不僅大小相等，而且正負(fù)號一致，根據(jù)變形來規(guī)定FS、M的正負(fù)號：

1)剪力正負(fù)號。梁截面上的剪力對微段梁內(nèi)任一點(diǎn)的矩為順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。2)彎矩正負(fù)號。梁截面上的彎矩使微梁段產(chǎn)生上部受壓、下部受拉時(shí)為正，反之為負(fù)?！纠?.13】簡支梁如圖（a）所示。求橫截面1—1、2—2、3—3上的剪力和彎矩。

【解】

1)

求支座反力。由梁的平衡方程求得支座A、B處的反力為

FA

=FB=10kN

2)

求橫截面1—1上的剪力和彎矩。

假想地沿截面1—1把梁截開成兩段，因左段梁受力較簡單，故取它為研究對象，并設(shè)截面上的剪力FS1和彎矩M1均為正。列出平衡方程∑Y=0FA

FS1

=0∑MO=0M1FA×1m=0得M1=FA1m=（10

kN）

（1

m）=10kNm得FA

=FS1=10kN

計(jì)算結(jié)果FS1與M1為正，表明兩者的實(shí)際方向與假設(shè)相同，即FS1為正剪力，M1為正彎矩。

3)

求橫截面2—2上的剪力和彎矩。假想地沿截面2—2把梁截開，仍取左段梁為研究對象，設(shè)截面上的剪力FS2和彎矩M2均為正。由平衡方程∑Y=0FA

F1

FS2

=0∑MO=0M2

FA（4m）

+F1（2m）

=0得

M2=FA（4m）

F1（2m）

=10kN（4m）10kN（2m）=20kNm得FS2=FAF1

=10kN10kN=0M2為正彎矩。

4)

求橫截面3—3上的剪力和彎矩。假想地沿截面3—3把梁截開，取右段梁為研究對象，設(shè)截面上的剪力FS3和彎矩M3均為正。由平衡方程∑Y=0FBFS3=0得

FS3=

FB=10kN∑MO=0

M3

+FB1m=0得M3=FB1m=10kN1m=10kNmFS3為負(fù)剪力，M3為正彎矩。

●內(nèi)力計(jì)算規(guī)律從上面例題的計(jì)算過程，可以總結(jié)出內(nèi)力計(jì)算的如下規(guī)律：

1）梁任一橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該截面左邊（或右邊）梁上所有外力在截面方向投影的代數(shù)和。截面左邊梁上向上的外力或右邊梁上向下的外力在該截面方向的投影為正，反之為負(fù)。

2）梁任一橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該截面左邊（或右邊）梁上所有外力對該截面形心之矩的代數(shù)和。截面左邊梁上的外力對該截面形心之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，或右邊梁上的外力對該截面形心之矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。

●利用上述規(guī)律，可以直接根據(jù)橫截面左邊或右邊梁上的外力來求該截面上的剪力和彎矩，而不必列出平衡方程。2.剪力圖和彎矩圖（1）用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖1）剪力方程和彎矩方程若沿梁的軸線建立x軸，以坐標(biāo)x表示梁的橫截面的位置，則梁橫截面上的剪力和彎矩均可表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即以上兩式分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。2）剪力圖和彎矩圖用與梁軸線平行的x軸表示橫截面的位置，以橫截面上的剪力值或彎矩值為縱坐標(biāo)，按適當(dāng)?shù)谋壤L出剪力方程和彎矩方程的圖線，這種圖線稱為剪力圖或彎矩圖。

繪圖時(shí)將正剪力繪在x軸上方，負(fù)剪力繪在x軸下方，并標(biāo)明正負(fù)號；正彎矩繪在x軸下方，負(fù)彎矩繪在x軸上方，即將彎矩圖繪在梁的受拉側(cè)，而不須標(biāo)明正負(fù)號?！纠?.14】繪制圖（a）所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。l【解】

1)

求支座反力。取梁整體為研究對象，由平衡方程∑MA=0，∑MB=0，得

FA=FB=lFAFB

2)列剪力方程和彎矩方程。取圖中的A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由坐標(biāo)為x的橫截面以左梁上的外力列出剪力方程和彎矩方程如下：（0＜x＜l

)（0≤x≤l）●因在支座A、B處有集中力作用，剪力在此兩截面處有突變，而且為不定值，故剪力方程的適用范圍用開區(qū)間的符號表示；彎矩值在該兩截面處沒有突變，彎矩方程的適用范圍用閉區(qū)間的符號表示。

3)

繪剪力圖。由剪力方程可以看出，該梁的剪力圖是一條直線，只要算出兩個(gè)點(diǎn)的剪力值就可以繪出：x=l，F(xiàn)SB

=

x=0，F(xiàn)SA=

4）繪彎矩圖。

由彎矩方程可知，彎矩圖是一條拋物線，至少要計(jì)算出三個(gè)點(diǎn)的彎矩值才能大致繪出：

x=0，MA

=0

x=l，MB=0

x=，MC

=最大剪力發(fā)生在靠近兩支座的橫截面上，其值為

最大彎矩發(fā)生在梁跨中點(diǎn)橫截面上，其值為Mmax=，該截面上剪力為零。本例小結(jié)：簡支梁在集中力作用下的剪力圖與彎矩圖簡支梁在集中力偶作用下的剪力圖與彎矩圖（2）利用圖形規(guī)律繪制剪力圖和彎矩圖

1）剪力圖和彎矩圖的規(guī)律。由上可看出剪力圖和彎矩圖的如下規(guī)律：①梁上沒有荷載段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。當(dāng)剪力為正時(shí)，彎矩圖向右下傾斜；當(dāng)剪力為負(fù)時(shí)，彎矩圖向右上傾斜。②梁上均布荷載段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線。當(dāng)均布荷載向下時(shí)，剪力圖向右下傾斜，彎矩圖向下凸。③梁上集中力作用處，剪力圖上有突變，彎矩圖上有折角。當(dāng)集中力向下時(shí)，剪力圖向下突變；當(dāng)集中力向上時(shí)，剪力圖向上突變；突變的值等于集中力的大小。④梁上集中力偶作用處，剪力圖沒有反應(yīng)，彎矩圖上有突變。當(dāng)集中力偶順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，彎矩圖向下突變；當(dāng)集中力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，彎矩圖向上突變；突變的值等于集中力偶矩的大小。2）利用圖形規(guī)律繪制剪力圖和彎矩圖。利用上述規(guī)律，可以不必列出剪力方程和彎矩方程，而更簡捷地繪制剪力圖和彎矩圖。其步驟如下：

①分段定形。根據(jù)梁所受外力情況將梁分為若干段，并判斷各梁段的剪力圖和彎矩圖的形狀；②定點(diǎn)繪圖。計(jì)算特殊截面上的剪力值和彎矩值，逐段繪制剪力圖和彎矩圖?！纠?.15】繪制圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。

【解】1)求支座反力。利用對稱性，支座反力為FA

=FB

=3qa

2)

繪剪力圖。梁上的外力將梁分成CA、AB、BD三段。CA段受向下均布荷載的作用，剪力圖為向右下傾斜的直線。FSC

=0FSA

=－qa

LqaFs圖AB段受向下均布荷載的作用，剪力圖為向右下傾斜的直線。FSA=－qa＋FA=2qaRqa2qa2qaFs圖并由得剪力為零的截面E的位置x=2a。qa2qa2qa2aFs圖BD段受向下均布荷載的作用，剪力圖為向右下傾斜的直線。FSD=0qa2qa2a2qaqaFs圖

3)繪彎矩圖。梁上的外力將梁分成CA、AB、BD三段。

CA段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。MC

=0M圖AB段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。M圖BD段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。MD=0M圖

●梁的最大彎矩發(fā)生在跨中點(diǎn)截面E上，其值為

,該截面上的剪力FSE

=0。222●梁的最大剪力發(fā)生在支座A右側(cè)和支座B左側(cè)截面上，其值為●本題也可以繪出CE段梁的剪力圖和彎矩圖，利用對稱性而得到全梁的剪力圖和彎矩圖?！纠?.16】繪制圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。

【解】

1)

計(jì)算支座反力。由梁的平衡方程∑MA=0，∑MB=0，得

FA

=16kN，F(xiàn)B

=24kN

2)

繪剪力圖。梁上的外力將梁分成AC、CD、DE和EB四段。AC段受向下均布荷載的作用，剪力為向右下傾斜的直線。FA=16kN164FS圖(kN)并由得到剪力為零的截面G的位置x=1.6m。1641.6mFS圖(kN)GCD段和DE段上無荷載作用，截面D上受集中力偶的作用，故CE段的剪力圖為水平線。EB段上無荷載作用，剪力圖為水平線。FE=－24kNR1641.6m24FS圖(kN)

3)

繪彎矩圖。梁上的外力將梁分成AC、CD、DE和EB四段。AC段受向下均布荷載的作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。MA=0GM圖(kN.m)12.812

CD段上無荷載作用，且剪力為負(fù)，故彎矩圖為向右上傾斜的直線。D點(diǎn)左側(cè)截面上的彎矩為M圖(kN.m)12.8128

DE段上無荷載作用，剪力為負(fù)，故彎矩圖為向右上傾斜的直線。MD=28kNmRM圖(kN.m)12.81282428EB段上無荷載作用，剪力為負(fù)，故彎矩圖為向上傾斜的直線。MB=0M圖(kN.m)12.81282428●最大彎矩發(fā)生在D點(diǎn)右側(cè)截面上，其值為

Mmax=28kNm?！窳旱淖畲蠹袅Πl(fā)生在EB段各截面上，其值為|FS|max=24kN。4.3.3梁橫截面上的應(yīng)力梁在平面彎曲時(shí)橫截面上存在兩種內(nèi)力：剪力和彎矩M，它們是橫截面上分布內(nèi)力的合力。在橫截面上只有切向分布內(nèi)力才能合成為剪力，只有法向分布內(nèi)力才能合成為彎矩。因此，梁的橫截面上一般存在著切應(yīng)力

和正應(yīng)力σ，它們分別由剪力和彎矩M所引起。1.梁橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時(shí)橫截面上只有彎矩而無剪力，這種情況稱為純彎曲。下面先研究純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算。（1）橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式取截面具有豎向?qū)ΨQ軸（例如矩形截面）的等直梁，在梁側(cè)面畫上與軸線平行的縱向直線和與軸線垂直的橫向直線，如圖（a）所示。然后在梁的兩端施加外力偶Me,使梁發(fā)生純彎曲圖（b）。此時(shí)可觀察到下列現(xiàn)象：

1)縱向直線變形后成為相互平行的曲線，靠近凹面的縮短，靠近凸面的伸長。

2)橫向直線變形后仍然為直線，只是相對地轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。

3)縱向直線與橫向直線變形后仍然保持正交關(guān)系。根據(jù)所觀察到的表面現(xiàn)象，對梁的內(nèi)部變形情況進(jìn)行推斷，作出如下假設(shè)：1)梁的橫截面在變形后仍然為一平面，并且與變形后梁的軸線正交，只是繞橫截面內(nèi)某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這個(gè)假設(shè)稱為平面假設(shè)。

2)設(shè)想梁由許多縱向纖維組成。變形后，由于縱向直線與橫向直線保持正交，即直角沒有改變，可以認(rèn)為縱向纖維沒有受到橫向剪切和擠壓，只受到單方向的拉伸或壓縮，即靠近凹面纖維受壓縮，靠近凸面纖維受拉伸。根據(jù)以上假設(shè)，靠近凹面纖維受壓縮，靠近凸面纖維受拉伸。由于變形的連續(xù)性，縱向纖維自受壓縮到受拉伸的變化之間，必然存在著一層既不受壓縮、又不受拉伸的纖維，這一層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。

如圖所示。梁彎曲時(shí)，各橫截面繞各自中性軸轉(zhuǎn)過一角度?？梢宰C明，中性軸通過橫截面的形心并垂直于橫截面的豎向?qū)ΨQ軸?？梢宰C明，梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式為式中：M—橫截面上的彎矩；

y—橫截面上待求應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離；

Iz—橫截面對中性軸的慣性矩。

●用公式計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，通常以M、y的絕對值代入，求得的大小，再根據(jù)彎曲變形判斷應(yīng)力的正（拉）或負(fù)（壓）。即以中性層為界，梁的凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力，凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力。（2）橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律和最大正應(yīng)力在同一橫截面上，彎矩M

和慣性矩Iz

為定值，因此由公式可以看出，梁橫截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力σ與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，當(dāng)y=0時(shí)，σ=0，中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力為零。中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓。離中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣y=ymax處正應(yīng)力最大，一邊為最大拉應(yīng)力σtmax，另一邊為最大壓應(yīng)力σcmax。橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律

令則最大正應(yīng)力可表示為式中：Wz——截面對中性軸z的彎曲截面系數(shù)。

它只與截面的形狀及尺寸有關(guān)，是衡量截面抗彎能力的一個(gè)幾何量，其常用單位是mm3或m3

。最大應(yīng)力值為

（3）慣性矩和彎曲截面系數(shù)的計(jì)算對于矩形、圓形及圓環(huán)形等常見簡單截面的慣性矩和彎曲截面系數(shù)，可直接由定義計(jì)算，其結(jié)果列于表中，以備查用。型鋼截面的慣性矩和彎曲截面系數(shù)可由型鋼表查得。常見簡單截面的慣性矩與彎曲截面系數(shù)

梁彎曲時(shí)橫截面上不僅有彎矩而且還有剪力，這種情況稱為橫力彎曲。

由于橫力彎曲時(shí)梁橫截面上不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。由于切應(yīng)力的存在，梁變形后橫截面不再保持為平面。按平面假設(shè)推導(dǎo)出的純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式，用于計(jì)算橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力是有一些誤差的。但是當(dāng)梁的跨度和梁高比＞5時(shí)，其誤差甚小。因此，公式也適用于橫力彎曲。但要注意，純彎曲梁段M為常量，而橫力彎曲梁段M是變量，故應(yīng)用M(x)代替公式中的M。

●在橫力彎曲時(shí)，如果梁的橫截面對稱于中性軸，例如矩形、圓形等截面，則梁的最大正應(yīng)力將發(fā)生在最大彎矩（絕對值）所在橫截面的邊緣各點(diǎn)處，且最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等。梁的最大正應(yīng)力為

●如果梁的橫截面不對稱于中性軸，例如T形截面，由于上、下邊緣至中性軸的距離不相等，則梁的最大正應(yīng)力將發(fā)生在最大正彎矩或最大負(fù)彎矩所在橫截面的邊緣各點(diǎn)處，且最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等（詳見例4.17）。

【例4.17】求圖（a，b)所示T形截面梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。已知T形截面對中性軸的慣性矩Iz=7.64106mm4，且y1=52mm?！窘狻?）繪制梁的彎矩圖。梁的彎矩圖如圖（c）所示。由圖可知，梁的最大正彎矩發(fā)生在截面C上，MC=2.5kNm;最大負(fù)彎矩發(fā)生在截面B上，MB=－4kNm。

2）計(jì)算C截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。

C截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力為

3）計(jì)算B截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。B截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力為綜合以上可知，梁的最大拉、壓應(yīng)力分別為

tmax=tC=28.8MPa

cmax=cB=46.1MPa

2.梁橫截面上的切應(yīng)力梁在橫力彎曲時(shí)，橫截面上有剪力FS，相應(yīng)地在橫截面上有切應(yīng)力。下面對幾種常用截面梁的切應(yīng)力作簡要介紹。（1）矩形截面梁矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。在截面的上、下邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力等于零；最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，并沿中性軸均勻分布，其值為式中：FS——橫截面上的剪力；

A=bh——矩形截面的面積。

矩形截