第2章 信號的采樣與重建

1第2章信號的采樣與重建第1章中我們討論了離散時(shí)間信號，然而工程和現(xiàn)實(shí)生活中大部分信號為模擬信號。如何對模擬信號進(jìn)行數(shù)字處理？本章主要討論模擬信號的采樣與重建，并引出采樣定理、奈奎斯特采樣頻率的概念；對用到的模擬低通濾波器的特性指標(biāo)進(jìn)行了分析；并介紹了欠采樣和采樣率轉(zhuǎn)換技術(shù)。2.1數(shù)字信號處理系統(tǒng)的模擬接口

數(shù)字信號處理：用數(shù)字序列表示信號，通過數(shù)字計(jì)算機(jī)去處理這些序列。要對自然方式產(chǎn)生的模擬信號進(jìn)行數(shù)字處理，則可按照以下方法進(jìn)行。模擬信號數(shù)字化（A/D)數(shù)字信號處理處理后的數(shù)字信號模擬化（D/A）具體過程如圖2.1所示。2圖2.1數(shù)字信號處理系統(tǒng)的框圖A/D變換器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)采樣保持器D/A變換器平滑濾波器模擬信號模擬信號連續(xù)時(shí)間信號連續(xù)時(shí)間信號數(shù)字信號抗混疊濾波器模擬信號的采樣與保持。所謂采樣是從模擬信號中“抽取”信號的離散樣值，最常用的采樣方法是等間隔采樣，即每隔一個(gè)固定的時(shí)間T采一個(gè)信號樣值，T稱為采樣周期。采樣保持器按照設(shè)定的采樣周期對信號進(jìn)行采樣，并將采樣得到的瞬時(shí)幅值保持至下一采樣時(shí)刻。理想采樣保持器輸出的是一階梯狀的波形，階梯前沿的幅值與此刻的模擬信號保持一致，階梯的寬度就是采樣周期T見圖2.2。采樣保持器輸出的是連續(xù)時(shí)間信號。但實(shí)際應(yīng)用中采樣保持器總存在一定的偏差。3

A/D轉(zhuǎn)換---量化：用二進(jìn)制數(shù)碼對應(yīng)的電平替代采樣電平值，圖2.2中的小圓點(diǎn)處的幅度稱為量化電平。A/D轉(zhuǎn)換---數(shù)字化（編碼）：將量化后的電平用二進(jìn)制數(shù)碼表示。

模擬信號的數(shù)字化工程上通常用A/D轉(zhuǎn)換器來實(shí)現(xiàn)。由于A/D轉(zhuǎn)換器采用有限的二進(jìn)制位，所以表示的信號幅度也是有限的，若用b位二進(jìn)制數(shù)碼表示，則只能表示2b個(gè)電平（量化電平），所以量化電平和模擬信號相比存在一定的誤差，誤差的大小和A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)有關(guān)。A/D轉(zhuǎn)換器將采樣保持器的輸出信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，A/D轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換時(shí)間應(yīng)小于采樣周期T。A/D轉(zhuǎn)換后的信號是一串?dāng)?shù)字，不但在時(shí)間上進(jìn)行了離散化，在幅度上也進(jìn)行了量化，這種信號稱為數(shù)字信號。4模擬信號數(shù)字化:采樣、量化、編碼。圖2.2

模擬信號的數(shù)字化數(shù)字信號數(shù)碼量化電平模擬信號采樣保持信號量化電平0.380.630.810.890.900.870.750.610.360.240.145為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時(shí)間信號的采樣與重建的基本條件，對圖2.1進(jìn)行一定的簡化，見圖2.4.理想采樣器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)理想內(nèi)插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)圖2.4圖2.1的簡化表示數(shù)字/模擬轉(zhuǎn)換與平滑濾波。工程上用D/A轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)從數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。D/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號類似與采樣保持信號，是一階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號。D/A轉(zhuǎn)換器每得到一個(gè)數(shù)字就建立一個(gè)新的量化電平，并通過零階保持在T時(shí)間段內(nèi)保持此電平直至下一個(gè)數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個(gè)階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號。該信號與原模擬信號的頻譜并不相同，只有通過平滑濾波器濾除高頻分量，才能得到平滑的模擬信號。如圖2.3所示。6數(shù)字信號轉(zhuǎn)化成模擬信號數(shù)字信號數(shù)碼量化電平D/A輸出信號模擬信號圖2.3數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號：D/A轉(zhuǎn)換、平滑濾波72.2模擬信號的采樣與重建對于信號的采樣與重建我們首先關(guān)心的是模擬信號經(jīng)采樣后是否能保持原有的信息；其次，由數(shù)字信號恢復(fù)模擬信號應(yīng)該具備哪些條件？要清楚這些問題我們先來討論采樣的過程。對于等間隔采樣，設(shè)其采樣周期為T，則其采樣頻率為fs=1/T,對應(yīng)的角頻率為采樣可以用圖2.5(a)所示的電子開關(guān)來實(shí)現(xiàn)。T12圖2.5(a)電子開關(guān)示意圖開關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，若閉合時(shí)間為秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為的脈沖，脈沖的幅度是這段時(shí)間內(nèi)信號的幅度，這種取樣稱為脈沖取樣或自然取樣。8這一采樣過程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，以p(t)表示,見圖2.5(b);調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t),則采樣輸出為：圖2.5(c)數(shù)學(xué)模型T圖2.5(b)調(diào)制脈沖

一般τ很小,τ越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值（采樣信號圖形如圖2.6(a)所示）。此過程可用圖2.5(c)所示的數(shù)學(xué)模型表示。9若開關(guān)閉合時(shí)間τ→0時(shí)，p(t)則可認(rèn)為是周期性的沖激函數(shù)，我們用M(t)表示這個(gè)周期沖激函數(shù),見圖2.5(d)。圖2.5(d)M(t)這種采樣可看作是對周期沖激函數(shù)的調(diào)幅過程，稱之為沖激采樣或理想采樣。則采樣后的輸出信號為理想采樣的時(shí)間波形圖見圖2.6(b)所示。10(a)脈沖采樣(b)理想采樣圖2.6采樣信號圖形

11采樣信號的頻譜對于理想采樣采樣信號與連續(xù)時(shí)間信號有如下關(guān)系，對上式兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換得：其中：M(t)是周期為Ts的周期脈沖信號，因此，可將其展開成傅里葉級數(shù)：12其中：13

所以，理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓,重復(fù)周期為s(采樣頻率)，即采樣信號的頻譜是以s為周期的連續(xù)信號。圖2.7頻譜周期延拓若xa(t)是實(shí)帶限信號，且：則采樣信號的頻譜如圖2.7所示。1……1/Ts14若xa(t)是實(shí)帶限信號，但則采樣信號的頻譜如圖2.8所示，此時(shí)頻譜產(chǎn)生了混疊?！瓐D2.8頻譜混疊通常，將采樣頻率的一半稱為折疊頻率，當(dāng)信號的最高頻率(Ωm)低于折疊頻率時(shí)，采樣信號的頻譜不發(fā)生混疊，因此可將采樣信號通過低通濾波器濾出基帶頻譜，恢復(fù)出原信號；而當(dāng)信號的最高頻率大于折疊頻率時(shí)，信號就被反折回來，造成頻譜的混疊，一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜。115工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊濾波器使得信號的最高頻率小于采樣頻率的一半。教材p51表2.1列出了一些典型信號的上限頻率和采樣頻率。一般將能夠恢復(fù)出原始信號的最低采樣頻率（），稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率。下面我們討論從離散信號中恢復(fù)出連續(xù)時(shí)間信號的相關(guān)問題。16如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超過折疊頻率:

則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此有

將采樣信號通過一個(gè)理想低通濾波器（特性如圖2.9(a)所示濾波器的帶寬等于c),則可恢復(fù)出原連續(xù)時(shí)間信號。理想低通濾波器17若低通濾波器的頻率響應(yīng)為:則采樣信號通過濾波器后所得輸出信號為：圖2.9(a)

低通濾波器的系統(tǒng)特性當(dāng)：……1/TSTS0cH(j)Ts-c18實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。下面從時(shí)域討論采樣信號通過理想低通濾波器H(j)的響應(yīng)過程。采樣信號經(jīng)理想低通后的輸出(如圖2.9(b)所示）為:

h(t)圖2.9(b)信號恢復(fù)的原理圖理想低通H(j)的沖激響應(yīng)為

19這里，如下式所示，稱為內(nèi)插函數(shù),其特點(diǎn)是：在采樣點(diǎn)nTs上，函數(shù)值為1，其余采樣點(diǎn)上，值為零（見圖2.10）。內(nèi)插公式表明：連續(xù)函數(shù)可以由它的采樣值來表示，它等于乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和，如圖2.10所示。20圖2.10采樣內(nèi)插恢復(fù)在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，由于只有該采樣值對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)為1，其他采樣點(diǎn)處的內(nèi)插函數(shù)值為零，所以保證了各采樣點(diǎn)上信號值不變，而采樣之間的信號則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成。內(nèi)插公式的意義:

證明了只要滿足采樣頻率高于信號最高頻譜的兩倍，整個(gè)連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息——奈奎斯特定律。21

例2.1

對一個(gè)模擬信號進(jìn)行等間隔采樣，采樣頻率為200Hz，得到離散時(shí)間信號。由頻率為30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5個(gè)正弦信號的加權(quán)和構(gòu)成,分析采樣后信號的混疊效應(yīng)。22由此可見，該采樣信號只包含三個(gè)頻率成分，產(chǎn)生了頻譜混疊(由于采樣頻率200Hz小于信號包含的頻率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的兩倍，因此采樣中這些頻率均會產(chǎn)生折疊）；與頻率為30Hz,50Hz,70Hz的三個(gè)連續(xù)時(shí)間正弦信號的加權(quán)和構(gòu)成模擬信號按200Hz的采樣頻率進(jìn)行等間隔采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間信號具有相同的形式。232.3*

采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性2.3.1濾波器的幅頻特性一般說來，理想濾波器可分為四種，濾波器的幅頻特性是分段函數(shù)，如圖2.11(a)～(d)所示；01(a)01(b)01(c)01(d)圖2.11四種類型的理想模擬濾波器24圖2.12(e)低通濾波器的幅頻特性10通帶過渡帶阻帶但實(shí)際的濾波器其幅頻特性并不是銳截止的通帶和阻帶兩個(gè)范圍，兩者之間有一個(gè)過渡帶，如圖2.12(e)所示；在通帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差逼近于1，在阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差逼近于0.其中Ωc、Ωr分別稱為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率,

25在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動(dòng)δ和最小阻帶衰減Аt來表示：通帶內(nèi)阻帶內(nèi)262.3.2抗混疊濾波器的指標(biāo)特性根據(jù)采樣定理，若模擬信號xa(t)是實(shí)帶限信號，并且最高頻率分量Ωc不超過Ωs/2，用Ωs的采樣頻率采樣后的信號x(n)可以不失真的重建原有的連續(xù)信號。如果上述條件得不到滿足，在采樣過程中就會產(chǎn)生混疊，模擬信號xa(t)就不能被重建。對于這種情況，在實(shí)際應(yīng)用中就在采樣之前加一抗混疊濾波器首先對模擬信號進(jìn)行濾波。理想模擬抗混疊濾波器應(yīng)當(dāng)滿足：這是一個(gè)理想低通濾波器，實(shí)際應(yīng)用中是無法實(shí)現(xiàn)的。通常是設(shè)計(jì)一低通濾波器逼近這個(gè)理想濾波器，在270101(a)(b)圖2.13抗混疊濾波器的指標(biāo)分配(a)過渡帶無混疊(b)過渡帶增加一倍28無論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過渡帶寬均與采樣頻率直接相關(guān)。采樣頻率越低，為了降低對模擬抗混疊濾波器的指標(biāo)要求，便于設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)抗混疊濾波器，可以采取的方法之一是提高采樣頻率。由圖2.14可見，采樣頻率提高后抗混疊濾波器的過渡帶加寬。00圖2.14不同采樣率情況下的抗混疊濾波器帶寬變化情況29一個(gè)過渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可實(shí)現(xiàn)，通常設(shè)計(jì)時(shí)選擇采樣頻率遠(yuǎn)大于信號最高頻率的兩倍。當(dāng)然，采樣頻率選得越高，A/D轉(zhuǎn)換器的性能要求也越高，采樣數(shù)據(jù)量增加，系統(tǒng)的運(yùn)算速率也必須提高，本書的第七章將討論解決這一問題的方案---過采樣技術(shù)。2.3.3平滑濾波器的指標(biāo)特性由前面的討論可知，D/A轉(zhuǎn)換器包含一個(gè)零階保持器，等效于圖2.15(a)。D/A轉(zhuǎn)換器每得到一個(gè)數(shù)字就建立一個(gè)新的電平，并通過零階保持器在T時(shí)間段內(nèi)保持此電平直至下一個(gè)數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個(gè)階梯狀的連續(xù)時(shí)間信號。該信號的頻譜是原模擬信號的頻譜的周期延拓，只有通過平滑濾波器濾除鏡像高頻分量，才能得到平滑的模擬信號。如圖2.3所示。平滑濾波器的指標(biāo)要求直接和零階保持其相關(guān)。30(a)tT01(b)圖2.15離散時(shí)間系統(tǒng)模型(a)零階保持器模型(b)零階保持器的沖激響應(yīng)理想零階保持器的沖激響應(yīng)等效應(yīng)一矩形脈沖，其寬度為T，高度為1，見圖2.15(b)。正如前面所討論的，D/A輸入的數(shù)字y(n)的頻譜是以采樣角頻率Ωs為周期的，在一個(gè)周期中是關(guān)于Ωs/2對稱的。通過D/A轉(zhuǎn)換后，我們只希望保留-Ωs/2至Ωs/2間的頻率分量，濾除其他所有頻率分量。零階保持器能否做到這一點(diǎn)呢？31零階保持器的頻率響應(yīng)為具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并且在0圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)盡管對于的頻率分量，有一定的衰減，但衰減遠(yuǎn)不能滿足要求，以上的頻率分量仍需進(jìn)一步濾除。4dB320圖2.16零階保持器的頻率響應(yīng)T4dB在實(shí)際應(yīng)用中只需保留()以下的頻率分量，濾除以上的頻率分量可加一模擬低通濾波器；注意到在處有4dB的衰減，平滑濾波器應(yīng)當(dāng)逼近33對于上述模擬濾波器實(shí)現(xiàn)起來有以下兩點(diǎn)困難，(1)帶內(nèi)為單調(diào)上升的模擬濾波器，(2)相位超前的非因果濾波器。對于這種頻響特性濾波器采用數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)會更加方便，這一實(shí)現(xiàn)方法在學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器時(shí)再討論。實(shí)際上只要選擇的采樣頻率遠(yuǎn)大于2，平滑濾波器的頻響特性便可寫成也就是說，遠(yuǎn)小于時(shí)，零階保持器的頻率響應(yīng)可近似地看作是平坦的，而相位超前半個(gè)采樣周期的非因果的模擬系統(tǒng)是無法實(shí)現(xiàn)的。342.4*連續(xù)時(shí)間帶通信號的采樣在2.2節(jié)中，給出了用等間隔采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間信號表示模擬信號的基本條件，其條件是模擬信號的有效頻率分量帶限于直流和Ωs之間，采樣頻率，這樣的模擬信號通常稱為低通信號。然而，在很多應(yīng)用中，模擬信號的有效頻率分量是帶現(xiàn)在一個(gè)更高的頻率范圍，其中。這樣的信號被稱為帶通信號，通常有低通信號調(diào)制而成。為防止混疊，當(dāng)然可以用高于最高頻率的2倍的采樣信號對這樣的帶通模擬信號進(jìn)行采樣，即。然而，這種情況下，由于模擬信號的頻譜是帶通的，大量的頻率分量是零，采樣所獲得的離散時(shí)間信號的頻譜同樣在很寬的頻帶上其頻率分量為零。此外，一般情況下的和均較高，采樣頻率就更高，甚至無法實(shí)現(xiàn)。35對于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶通信號的頻譜會混疊，但由于帶通信號的大量頻率分量為零，如果僅僅與零頻率分量的頻帶產(chǎn)生混疊，帶通信號依然可以恢復(fù)重建。36根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號的頻譜為圖2.17帶通信號的欠采樣M=4(b)欠采樣信號的頻譜(a)帶通信號的頻譜37從圖中可以看出，經(jīng)過一個(gè)理想的通帶為，增益為T的帶通濾波器，可恢復(fù)出。如果這個(gè)信號是低通信號調(diào)制而得，可以將經(jīng)過一個(gè)通帶為的低通濾波器恢復(fù)出調(diào)制信號分量。這種方法常用于數(shù)字無線電接收機(jī)中。如果不是的整數(shù)倍，可以人為地向左或向右擴(kuò)展帶寬，使得帶通信號的最高頻率是擴(kuò)展帶寬的整數(shù)倍。例如，把帶寬向左擴(kuò)展，并假設(shè)帶通信號的最低頻率為，選擇使其滿足是擴(kuò)展帶寬的整數(shù)倍。圖2.18所示帶寬向左擴(kuò)展，并取。在這種情況下，的采樣信號的頻譜會在頻段之間存在一定的間隙。同樣通過一個(gè)適當(dāng)?shù)膸V波器可以重建原模擬信號。38(a)擴(kuò)展帶寬后帶通信號的頻譜(b)采樣信號的頻譜圖2.18擴(kuò)展帶寬后按M=3采樣392.5離散信號的采樣與插值2.5.1離散信號的采樣——整數(shù)M抽取（Decimation)離散時(shí)間信號的采樣實(shí)際上是一抽取過程，它使得采樣率降低。這里僅僅考慮x(n)

的采樣率降低整數(shù)M倍的抽取過程，即保留第M個(gè)樣本點(diǎn)，而去除M個(gè)樣本點(diǎn)中的M-1個(gè)樣本點(diǎn)，見圖2.19.x(n)0123415……n120345y(m)n圖2.19M=3的離散信號抽取40設(shè)原有的離散信號x(n)的采樣周期為T,經(jīng)過M倍抽取后y(n)的采樣周期為T′，滿足4142式中，。是對信號x(n)抽取后DTFT的表達(dá)式，430(a)圖2.20離散時(shí)間信號抽取前后的頻譜特征0(b)0(c)0(d)44類似于模擬信號的采樣，為了防止混疊，在采樣之前必須采用抗混疊低通濾波器對信號x(n)進(jìn)行濾波，濾波器的特性應(yīng)當(dāng)逼近

實(shí)際低通濾波器的頻響特性表示為

，其單位脈沖響應(yīng)為h(n),稱為抽取濾波器。對濾波器輸出以整數(shù)M倍作抽取得到y(tǒng)(m),這一過程示于圖2.21(a)，圖中“

”

表示整數(shù)M倍抽取，抽取濾波器的特性見圖2.21(c),則可得圖2.21(d)的輸出結(jié)果。對濾波器輸出再作抽取將不產(chǎn)生混疊，見圖2.21(e)。45

h(n)x(n)

w(n)ff抽取濾波器抽取器y(m)(a)0(b)0(c)圖2.21具有抽取濾波器的離散信號抽取過程及各部分信號的頻譜0(e)0(d)462.5.2離散信號的插值——整數(shù)L倍內(nèi)插對離散時(shí)間信號的最簡單的插值方法是插零，首先討論插零后信號頻譜的變化。所謂插零，即對信號x(n)的兩個(gè)采樣點(diǎn)之間插入L-1個(gè)零。此時(shí)采樣頻率提高L倍，得到新的采樣周期,即4