《金新學案》高考數(shù)學總復習 9.6空間角課件 文 大綱人教

第6課時空間角1．異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的

叫做a與b所成的角．(2)范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是

.銳角(或直角)2．直線與平面所成的角(1)定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的

所成的角．當直線和平面平行時，直線和平面所成的角為

．當直線和平面垂直時，直線和平面所成的角為

．(2)范圍：直線和平面所成角θ的取值范圍是

.0°的角90°的角射影3．二面角(1)二面角的定義二面角：從一條直線出發(fā)的兩個

所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的

，每個半平面叫做二面角的面，如圖所示，棱為l，兩個面分別為α、β的二面角記作

，由A∈α，B∈β，二面角也記作

.半平面棱α－l－βA－l－B二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一點O，在兩個半平面內(nèi)分別作射線

，

，則∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，如圖所示．OA⊥lOB⊥l(2)二面角的取值范圍：

．[0，π]4．(B)妙用空間向量求空間角(1)向量法求異面直線所成的角若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝

.(2)向量法求線面所成的角求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.(3)向量法求二面角求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.1．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線BC1和B1D1所成的角為(

)A．30°

B．45°C．60°D．90°答案：

C2．已知二面角α－l－β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為(

)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由題易知m，n所成的角為兩平面所成的角，故選B.答案：

B3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(

)答案：

A4．平面α∩平面β＝CD，P為這兩個平面外一點，PA⊥α于A，PB⊥β于B，若PA＝2，PB＝1，AB＝，則二面角α－CD－β的大小為________．答案：60°5．如右圖所示，已知AB為平面α的一條斜線，B為斜足，AO⊥α，O為垂足，BC為α內(nèi)的一條直線，∠ABC＝60°，∠OBC＝45°，則斜線AB和平面α所成的角為____________．答案：

45°1．求兩條異異面直線所所成的角的的具體步驟驟(1)利用定義構(gòu)構(gòu)造角，可可固定一條條，平移另另一條，或或兩條同時時平移到某某個特殊的的位置．(2)說明作出的的角即為所所求角．(3)通過解三角角形來求角角．2．利用向量量的夾角來來求異面直直線的夾角角時，注意意區(qū)別：當當異面直線線的向量的的夾角為銳銳角或直角角時，就是是該異面直直線的夾角角；當異面面直線的向向量的夾角角為鈍角時時，其補角角才是異面面直線的夾夾角．如圖，已知知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點．(1)求直線B1C與DE所成角的余余弦值；(2)求證：平面面EB1D⊥平面B1CD.解析：方法一：(1)連結(jié)A1D，則由A1D∥B1C知，B1C與DE所成角即為為A1D與DE所成成角角．．連結(jié)結(jié)A1E，由由正正方方體體ABCD－A1B1C1D1，可可設(shè)設(shè)其其棱棱長長為為a，(9B)方法法二二：：如如圖圖所所示示建建立立空空間間直直角角坐坐標標系系D－xyz，設(shè)設(shè)D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，則則E(2,1,0)．[變式式訓訓練練]1.矩形形ABCD與矩矩形形ABEF的公公共共邊邊為為AB，且且平平面面ABCD⊥平面面ABEF，如如圖圖所所示示，，F(xiàn)D＝2，AD＝1，EF＝(1)證明明AE⊥平面面FCB；(2)求異異面面直直線線BD與AE所成成角角的的余余弦弦值值．．解析析：(1)∵平面面ABCD⊥平面面ABEF，且且四四邊邊形形ABCD與ABEF是矩矩形形，，∴AD⊥平面面ABEF.∴AD⊥AE.∵BC∥AD，∴BC⊥AE.又FD＝2，AD＝1，1．求求一一條條直直線線與與平平面面所所成成的的角角，，具具體體步步驟驟如如下下：：(1)作圖圖：：作作(或找找)出斜斜線線在在平平面面內(nèi)內(nèi)的的射射影影，，將將空空間間角角(斜線線與與平平面面所所成成的的角角)轉(zhuǎn)化化為為平平面面角角(兩條條相相交交直直線線所所成成的的銳銳角角)，作作射射影影要要過過斜斜線線上上一一點點作作平平面面的的垂垂線線，，再再過過垂垂足足和和斜斜足足(有時時可可以以是是兩兩垂垂足足)作直直線線．．(2)證明明：：說說明明某某平平面面角角就就是是斜斜線線與與平平面面所所成成的的角角．．(3)計算：：通常常在垂垂線段段，斜斜線段段和射射影所所組成成的直直角三三角形形中計計算．．2．利用用向量量法求求線面面角的的方法法．一是分分別求求出斜斜線和和它在在平面面內(nèi)的的射影影直線線的方方向向向量，，轉(zhuǎn)化化為求求兩個個方向向向量量的夾夾角(或其補補角)；二是通通過平平面的的法向向量來來求，，即求求出斜斜線的的方向向向量量與平平面的的法向向量所所夾的的銳角角，取取其余余角就就是斜斜線和和平面面所成成的角角．如圖，，四棱棱錐P－ABCD的底面面是正正方形形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．(1)求證：：平面面AEC⊥平面PDB；(2)當PD＝AB且E為PB的中點點時，，求AE與平面面PDB所成的的角的的大小?。馕觯海悍椒ㄒ灰?1)證明：：∵四邊形形ABCD是正方方形，，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∴AC⊥平面面PDB.又AC平面面AEC∴平面面AEC⊥平面面PDB.(2)如圖圖，，設(shè)設(shè)AC∩BD＝O，連連結(jié)結(jié)OE.由(1)知AC⊥平面面PDB于O.∴∠∠AEO為AE與平平面面PDB所成成的的角角．．又O，E分別別為為DB，PB的中中點點，，方法法二二：：如如圖圖，，以以D為原原點點建建立立空空間間直直角角坐坐標標系系D－xyz.設(shè)AB＝a，PD＝h，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)．[變式式訓訓練練]2.如圖圖，，在在正正三三棱棱柱柱ABC－A1B1C1中，，AB＝4，AA1＝，，點點D是BC的中中點點，，點點E在AC上，，且且DE⊥A1E.(1)證明明：：平平面面A1DE⊥平面面ACC1A1；(2)求直直線線AD和平平面面A1DE所成成角角的的正正弦弦值值．．解析析：(1)證明明：：如如圖圖所所示示，，由由正正三三棱棱柱柱ABC－A1B1C1的性性質(zhì)質(zhì)知知AA1⊥平面面ABC.(2)方法法一一：：過過點點A作AF垂直直A1E于點點F，連連結(jié)結(jié)DF.由(1)知，，平平面面A1DE⊥平面面ACC1A1，所以以AF⊥平面面A1DE.故∠ADF即為為直直線線AD和平平面面A1DE所成成的的角角．．因為為DE⊥平面面ACC1A1，所所以以DE⊥AC.而△ABC是邊邊長長為為4的正正三三角角形形，，確定定二二面面角角的的平平面面角角的的常常用用方方法法(1)定義義法法：：在在棱棱上上任任取取一一點點，，過過這這點點在在兩兩個個半半平平面面內(nèi)內(nèi)分分別別引引棱棱的的垂垂線線，，這這兩兩條條射射線線所所成成的的角角，，就就是是二二面面角角的的平平面面角角．．(2)三垂垂線線定定理理及及逆逆定定理理法法：：自自二二面面角角的的一一個個半半平平面面上上一一點點A(不在在棱棱上上)向另另一一半半平平面面所所在在平平面面引引垂垂線線，，再再由由垂垂足足B(垂足足在在棱棱上上則則二二面面角角為為直直二二面面角角)向棱棱作作垂垂線線得得到到棱棱上上的的點點C，連連結(jié)結(jié)AC則∠ACB(或其其補補角角)即為為二二面面角角的的平平面面角角．．(3)作棱棱的的垂垂面面法法：：自自空空間間一一點點作作與與棱棱垂垂直直的的平平面面，，截截二二面面角角得得兩兩條條射射線線，，這這兩兩條條射射線線所所成成的的角角就就是是二二面面角角的的平平面面角角．．(4)向量法：：利用空間間向量方方法求二二面角，，可以有有兩種辦辦法：一一是分別別在二面面角的兩兩個面內(nèi)內(nèi)找到一一個與棱棱垂直且且從垂足足出發(fā)的的兩個向向量，則則這兩個個向量的的夾角的的大小就就是二面面角的平平面角的的大小；；二是通通過平面面的法向向量來求求：設(shè)二二面角的的兩個面面的法向向量分別別為n1和n2，則二面面角的大大小等于于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．(2010·北京東城城區(qū)模擬擬)如圖，在在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，D為AB的中點．．(1)求證：AC⊥BC1；(2)求證：AC1∥平面CDB1；(3)求二面角角C1－AB－C的正切值值．解析：方法法一：(1)在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC1在底面上上的射影影為BC.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得AC⊥CB，∴AC⊥BC1.(2)設(shè)BC1與CB1交于點O，則O為BC1的中點，，連接OD.在△ABC1中，D、O分別為AB，BC1的中點，，故OD為△ABC1的中位線線，∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)過C作CE⊥AB于E，連接C1E，由CC1⊥底面ABC，可得C1E⊥AB.故∠CEC1為二面角角C1－AB－C的平面角角．方法二：：∵在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，CC1兩兩垂直直，如圖圖，以C為坐標原原點，建建立空間間直角坐坐標系C－xyz，則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．(2)同方法一一．(3)由題易知知平面ABC的一個法法向量為為m＝(0,0,1)，設(shè)平面C1AB的一個法法向量為為n＝(x0，y0，z0)，[變式訓練練]3.(2010·平頂山第第一次調(diào)調(diào)研)如圖，在在四棱錐錐V－ABCD中，底面面ABCD是正方形形，側(cè)面面VAD是正三角角形，側(cè)側(cè)面VAD⊥底面ABCD.(1)證明：AB⊥平面VAD；(2)求平面VAD與平面VDB所成二面面角的大大?。馕觯悍椒ㄒ唬海?1)因為平面面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD＝AD，又AB在平面ABCD內(nèi)，AB⊥AD，所以AB⊥平面VAD.(2)由(1)知AD⊥AB，AB⊥AV，依題意，設(shè)設(shè)AB＝AD＝AV＝1，所以BV＝BD＝，，如圖圖，設(shè)VD的中點為E，連接AE、BE，則AE⊥VD，BE⊥VD，所以∠AEB是平面VDA與平面VDB所成二面角角的平面角角．方法二：(1)同證法一．．(2)設(shè)AD的中點為O，連接VO，則VO⊥底面ABCD.又設(shè)正方形形的邊長為為1，建立空間間直角坐標標系如圖所所示．1．構(gòu)造異面面直線所成成角常用方方法：(1)過一條異面面直線上的的已知點，，作另一條條直線的平平行線，或或同時平移移兩條直線線使異面直直線所成的的角成為相相交直線的的交角；(2)當直接過異異面直線上上的點平移移直線有困困難時，可可利用題設(shè)設(shè)中的特殊殊點(如中點等)將異面直線線分別平移移至該點或或考慮兩異異面直線是是否垂直；；(3)通過構(gòu)造輔輔助平面、、輔助幾何何體來平移移直線．2．“線線角抓平平移，線面面角定射影影，二面角角求平面角角”，也就是說說求異面直直線所成角角一般要通通過平移構(gòu)構(gòu)建三角形形來完成，，常用中位位線法、平平行四邊形形法、補形形法等轉(zhuǎn)化化為可解三三角形去完完成．直線線與平面所所成的角，，關(guān)鍵是找找到直線在在此平面上上的射影，，為此，必必須在這條條直線上的的某一點處處作(或找)平面的一條條垂線．求求二面角時時要先證后后用，不加加論證就斷斷言所作(或找)的角就是所所求二面角角的平面角角是常犯的的知識性錯錯誤，而在在證明平面面角時，往往往會用到到線面垂直直．如果不不作出這些些角就轉(zhuǎn)化化為求向量量的夾角．．通過對近三三年高考試試題的統(tǒng)計計分析，有有以下的命命題規(guī)律：：1．考查熱點點：空間角角的求解．．2．考查形式式：選擇、、填空、解解答題均可可出現(xiàn)．3．考查角度度：一是對線面面角的考查查，解題時時要明確線線面角的范范圍．二是對二面面角的考查查，充分理理解掌握二二面角的定定義．三是對線線線角的考查查，是證明明直線與直直線垂直的的一種方法法．4．命題趨勢勢：改變設(shè)設(shè)問方式，，已知空間間角，然后后求解其他他的量．(12分)(2010·山東卷)如圖，在五五棱錐P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角角形．(1)求證：平面面PCD⊥平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大大??；(3)求四棱錐P－ACDE的體積．規(guī)范解答：(1)證明明：：∵∠∠ABC＝45°°，AB＝2，BC＝4，∴在△ABC中，，由由余余弦弦