完全平方公式 課件 人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第2節(jié)

乘法公式第2課時完全平方公式第十四章整式的乘法與因式分解小強(qiáng)去市場買一種水果，價格為每公斤10.2元，現(xiàn)稱出該水果為10.2斤，小強(qiáng)隨即報出了要付現(xiàn)金104.04元.你知道小強(qiáng)為什么算得怎么快嗎？導(dǎo)入新知1.了解并掌握完全平方公式.2.理解完全平方公式的推導(dǎo)過程，并會應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)計算下列多項式的積(1)(p+1)2=__________=_________；p2+2p+1(2)(m+2)2=___________=_________；m2+4m+4(3)(p-1)2=__________=_________；p2-2p+1(4)(m-2)2=__________=_________；m2-4m+4新知完全平方公式(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)(p-1)(p-1)(m-2)(m-2)觀察計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.m2+2×2m+22m2-2×2m+22p2+2p+12P2-2p+12合作探究(1)用多項式乘法證明：(a-b)2=(a-b)(a-b)(a+b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(2)借助幾何圖形證明：如圖，邊長為(a+b)的正方形的面積是(a+b)2

.它的面積還可以視為兩個小正方形和兩個小長方形面積的和，所以(a+b)2=a2+2ab+b2baaba2ababb2即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

.它的面積還可以視為大正方形的面積減去兩個小長方形面積的差，即如圖，邊長為(a-b)的正方形的面積是(a-b)2

.所以(a-b)2=a2-2ab+b2.(2)借助幾何圖形證明：(a-b)2(a-b2)a-bbba-bababb2=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.

兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.完全平方公式特點：(1)兩個公式的等號左邊都是一個二項式的完全平方，兩者僅有一個“符號”不同；(2)兩個公式的等號右邊都是二次三項式，其中首尾兩項是等號左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，兩者也僅有一個“符號”不同.

解：(1)

(4m+n)2

=(4m)2+2·4m·n+n2

=16m2+8mn+n2

；

典例精析

(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.完全平方公式的常見變形

(1)完全平方公式中的字母a，b可以是單項式，也可以是多項式，只要符合這個公式的結(jié)構(gòu)特征就可以運(yùn)用這個公式.(2)完全平方公式等號右邊2ab的符號取決于等號左邊二項式中兩項的符號，若這兩項同號，則2ab的符號為“+”；若這兩項異號，則2ab的符號為“-”.(3)運(yùn)用完全平方公式的時候要避免出現(xiàn)形如(a±b)2=a2±b2

.1.（2020·陜西）計算：(2x-y)2=（）A.4x2-4xy+y2B.4x2-2xy+y2C.4x2-y2D.4x2+y2(2x)2-2·2x·y+y24x2-4xy+y2A課堂練習(xí)解：(1)

(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2

=4m2+4mn+n2

；(2)

(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-4x2-12xy-9y2

.2.計算下列式子：(1)(-2m-n)2

；(2)

(2x+3y)(-2x-3y).解：(3)

(-4a+5b)2=(5b-4a)2=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2

；(4)(x+7y)2=x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2

.2.計算下列式子：(3)(-4a+5b)2

；

(4)

(x+7y)2

.3.（2020·棗莊）圖1是一個長為2a，寬為2b(a＞b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是()A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2圖1圖2ab4ab(a+b)2C(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2完全平方公式兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2歸納新知1.若x2＋kx＋25＝(x±5)2，則k＝________．10或－10課后練習(xí)2.【2020·恩施州】下列計算正確的是(

)A．a(chǎn)2·a3＝a6

B．a(chǎn)(a＋1)＝a2＋aC．(a－b)2＝a2－b2

D．2a＋3b＝5abB3.下列變形中，錯誤的是(

)①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④A4.【2020·郴州】如圖①，將邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形(陰影部分)，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖②所示的長方形．這兩個圖能解釋下列哪個等式？(

)BA．x2－2x＋1＝(x－1)2

B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2

D．x2－x＝x(x－1)5.【中考·宜昌】化簡(x－3)2－x(x－6)的結(jié)果為(

)A．6x－9

B．－12x＋9

C．9

D．3x＋9C6.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，則A為(

)A．2abB．－2abC．4abD．－4abC7.若(y＋a)2＝y(tǒng)2－8y＋b，則a，b的值分別為(

)A．4，16B．－4，－16C．4，－16D．－4，16D8.【中考·貴陽】下面是小穎化簡整式的過程，仔細(xì)閱讀后解答所提出的問題．解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x

(第一步)＝2xy＋4x＋1.

(第二步)(1)小穎的化簡過程從第______步開始出現(xiàn)錯誤；(2)對此整式進(jìn)行化簡．

一解：x(x＋2y)－(x＋1)2＋2x＝x2＋2xy－x2－2x－1＋2x＝2xy－1.9.已知(a＋b)2＝25，ab＝6，則a－b等于(

)A．1B．－1C．1或－1D．以上都不正確C10.(1)【2020·常州】先化簡，再求值：(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.

當(dāng)x＝2時，原式＝2＋1＝3.(2)先化簡，再求值：(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－