初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十八章銳角三角函數(shù)單元復(fù)習(xí)

應(yīng)用舉例第1課時(shí)解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．通過生活中的實(shí)際問題體會(huì)銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用；(重點(diǎn))2．能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用解直角三角形求解．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具．圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖，圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用【類型一】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測(cè)量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測(cè)得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝°，∠BCA＝°，CD＝82米．求AB的長(精確到米)．參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈；°≈，°≈，°≈.解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈.答：AB的長約為.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長度．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題【類型二】求不可到達(dá)的兩點(diǎn)的高度如圖，放置在水平桌面上的臺(tái)燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈?解析：首先過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，進(jìn)而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案．解：過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，∴四邊形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×eq\f(1,2)＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15eq\r(3)＋2＝12＋15eq\r(3)≈(cm)．答：此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE約是.方法總結(jié)：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題【類型三】方案設(shè)計(jì)類問題小鋒家有一塊四邊形形狀的空地(如圖③，四邊形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝，AD＝，CD＝，∠C＝90°，∠A＝53°.小鋒的爸爸想買一輛長，寬的汽車停放在這塊空地上，讓小鋒算算是否可行．小鋒設(shè)計(jì)了兩種方案，如圖①和圖②所示．(1)請(qǐng)你通過計(jì)算說明小鋒的兩種設(shè)計(jì)方案是否合理；(2)請(qǐng)你利用圖③再設(shè)計(jì)一種有別于小鋒的可行性方案，并說明理由(參考數(shù)據(jù)：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝eq\f(4,3))．解析：(1)方案1，如圖①所示，在Rt△AGE中，依據(jù)正切函數(shù)求得AG的長，進(jìn)而求得DG的長，然后與汽車的寬度比較即可；方案2，如圖②所示，在Rt△ALH中，依據(jù)正切函數(shù)求得AL的長，進(jìn)而求得DL的長，然后與汽車的長度比較即可；(2)讓汽車平行于AB停放，如圖③，在Rt△AMN中，依據(jù)正弦函數(shù)求得AM的長，進(jìn)而求得DM的長．在Rt△PDM中，依據(jù)余弦函數(shù)求得PM的長，然后與汽車的長度比較即可．解：(1)如圖①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝eq\f(EG,tan∠A)＝eq\f,\f(4,3))m≈，∴DG＝AD－AG＝－＝＜，故此方案不合理；如圖②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝，∴AL＝eq\f(LH,tan53°)＝eq\f,\f(4,3))≈，∴DL＝AD－AL＝－＝＜，故此方案不合理；(2)如圖③，過DA上一點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，過CD上一點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝，∴AM＝eq\f(MN,sin53°)＝eq\f,≈，∴DM＝－＝.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝，∴PM＝eq\f(DM,cos53°)＝eq\f,≈＞，故此方案合理．方法總結(jié)：本題主要是利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題三、板書設(shè)計(jì)1．