《萬(wàn)有引力定律》習(xí)題歸類例析

《萬(wàn)有引力定律》習(xí)題歸類例析萬(wàn)有引力定律部分內(nèi)容比較抽象，習(xí)題類型較多，不少學(xué)生做這部分習(xí)題有一種懼怕感，找不著切入點(diǎn)．實(shí)際上，只要掌握了每一類習(xí)題的解題技巧，困難就迎刃而解了．下面就本章的不同類型習(xí)題的解法作以歸類分析．一、求天體的質(zhì)量(或密度)1．根據(jù)天體表面上物體的重力近似等于物體所受的萬(wàn)有引力，由天體表面上的重力加速度和天體的半徑求天體的質(zhì)量由mg=G得.（式中M、g、R分別表示天體的質(zhì)量、天體表面的重力加速度和天體的半徑．）[例1]宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落在星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M和密度ρ.[解析]此題的關(guān)鍵就是要根據(jù)在星球表面物體的運(yùn)動(dòng)情況求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)星球表面物體的重力等于物體受到的萬(wàn)有引力求出星球的質(zhì)量和星球的密度．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)得拋出物體豎直方向上的位移為設(shè)初始平拋小球的初速度為v，則水平位移為x=vt．有eq\o\ac(○,1)當(dāng)以2v的速度平拋小球時(shí)，水平位移為x'=2vt．所以有②在星球表面上物體的重力近似等于萬(wàn)有引力，有mg=G③聯(lián)立以上三個(gè)方程解得而天體的體積為，由密度公式得天體的密度為。2．根據(jù)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，求中心天體的質(zhì)量衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的向心力由中心天體對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供，利用牛頓第二定律得若已知衛(wèi)星的軌道半徑r和衛(wèi)星的運(yùn)行周期T、角速度或線速度v，可求得中心天體的質(zhì)量為[例2]下列幾組數(shù)據(jù)中能算出地球質(zhì)量的是（萬(wàn)有引力常量G是已知的）（）A.地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期T和地球中心離太陽(yáng)中心的距離rB.月球繞地球運(yùn)行的周期T和地球的半徑rC.月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度和月球中心離地球中心的距離rD.月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r[解析]解此題關(guān)鍵是要把式中各字母的含義弄清楚，要區(qū)分天體半徑和天體圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．已知地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和地球的軌道半徑只能求出太陽(yáng)的質(zhì)量，而不能求出地球的質(zhì)量，所以A項(xiàng)不對(duì)．已知月球繞地球運(yùn)行的周期和地球的半徑，不知道月球繞地球的軌道半徑，所以不能求地球的質(zhì)量，所以B項(xiàng)不對(duì)．已知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的角速度和軌道半徑，由可以求出中心天體地球的質(zhì)量，所以C項(xiàng)正確．由求得地球質(zhì)量為，所以D項(xiàng)正確．二、人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)參量與軌道半徑的關(guān)系問(wèn)題根據(jù)人造衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)關(guān)系可得由此可得線速度v與軌道半徑的平方根成反比；角速度與軌道半徑的立方的平方根成反比，周期T與軌道半徑的立方的平方根成正比；加速度a與軌道半徑的平方成反比．[例3兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，周期之比為，則軌道半徑之比和運(yùn)動(dòng)速率之比分別為（）A.B.C.D.[解析]由可得衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期與軌道半徑的立方的平方根成正比，由可得軌道半徑，然后再由得線速度。所以正確答案為C項(xiàng)．三、地球同步衛(wèi)星問(wèn)題衛(wèi)星在軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行周期（繞地球一圈的時(shí)間）與地球的自轉(zhuǎn)周期相同，這種衛(wèi)星軌道叫地球同步軌道，其衛(wèi)星軌道嚴(yán)格處于地球赤道平面內(nèi)，運(yùn)行方向自西向東，運(yùn)動(dòng)周期為23小時(shí)56分（一般近似認(rèn)為周期為24小時(shí)），由得人造地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以人造同步衛(wèi)星離地面的高度為,利用可得它運(yùn)行的線速度為3.07km/s.總之，不同的人造地球同步衛(wèi)星的軌道、線速度、角速度、周期和加速度等均是相同的．不一定相同的是衛(wèi)星的質(zhì)量和衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力．人造地球同步衛(wèi)星相對(duì)地面來(lái)說(shuō)是靜止的，總是位于赤道的正上空，其軌道叫地球靜止軌道．通信衛(wèi)星、廣播衛(wèi)星、氣象衛(wèi)星、預(yù)警衛(wèi)星等采用這樣的軌道極為有利一顆靜止衛(wèi)星可以覆蓋地球大約40％的面積，若在此軌道上均勻分布3顆衛(wèi)星，即可實(shí)現(xiàn)全球通信或預(yù)警．為了衛(wèi)星之間不互相千擾，大約30左右才能放置1棵，這樣地球的同步衛(wèi)星只能有120顆．可見(jiàn)，空間位置也是一種資源。[例4]關(guān)于“亞洲一號(hào)”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說(shuō)法正確的是（）A.已知它的質(zhì)量是t，若將它的質(zhì)量增為t，其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍B.它的運(yùn)行速度為7.9km/sC.它可以繞過(guò)北京的正上方，所以我國(guó)能利用其進(jìn)行電視轉(zhuǎn)播D.它距地面的高度約為地球半徑的5倍,所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的[解析]同步衛(wèi)星的軌道半徑是一定的，與其質(zhì)量的大小無(wú)關(guān)．所以A項(xiàng)錯(cuò)誤．因?yàn)樵诘孛娓浇@地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度近似等于7.9km/s，而衛(wèi)星的線速度隨軌道半徑的增大而減小，所以同步衛(wèi)星的線速度一定小于7.9km/s,實(shí)際計(jì)算表明它的線速度只有3.07km/s。所以B項(xiàng)錯(cuò)誤．因同步衛(wèi)星的軌道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步軌道不可能過(guò)北京的正上方．所以C項(xiàng)錯(cuò)誤．同步衛(wèi)星的向心加速度，物體在地面上的重力加速度，依題意，所以。D選項(xiàng)正確。四、求天體的第一宇宙速度問(wèn)題人造地球衛(wèi)星的線速度可用求得可得線速度與軌道的平方根成反比，當(dāng)r=R時(shí)，線速度為最大值，最大值為7.9km/s.(實(shí)際上人造衛(wèi)星的軌道半徑總是大于地球的半徑，所以線速度總是小于7.9km/s）這個(gè)線速度是地球人造衛(wèi)星的最大線速度，也叫第一宇宙速度．發(fā)射人造衛(wèi)星時(shí)，衛(wèi)星發(fā)射的越高，克服地球的引力做功越大，發(fā)射越困難，所以人造地球衛(wèi)星發(fā)射時(shí)，一般都發(fā)射到離地很近的軌道上，發(fā)射人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為7.9km/s.在其他的星體上發(fā)射人造衛(wèi)星時(shí)，第一宇宙速度也可以用類似的方法計(jì)算，即，式中的M、R、g分別表示某星體的質(zhì)量、半徑、星球表面的重力加速度．[例5]若取地球的第一宇宙速度為8km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球的倍，這順行星的第一宇宙速度約為（）A.2km/sB.4km/sC.16km/sD.32km/s[解析]由得8m/s，某行星的第一宇宙速度為16m/s五、人造衛(wèi)星的變軌問(wèn)題發(fā)射人造衛(wèi)星要克服地球的引力做功，發(fā)射的越高，克服地球的引力做功越多，發(fā)射越困難．所以在發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)先讓它進(jìn)入一個(gè)較低的近地軌道（停泊軌道）A，然后通過(guò)點(diǎn)火加速，使之做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道（轉(zhuǎn)移軌道）B，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，再次通過(guò)點(diǎn)火加速使其做離心運(yùn)動(dòng)，進(jìn)人同步軌道C。[例6]如圖所示，軌道A與軌道B相切于P點(diǎn)，軌道B與軌道C相切于Q點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A.衛(wèi)星在軌道B上由P向Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速率越來(lái)越小B.衛(wèi)星在軌道C上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速率大于在軌道A上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速率C.衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過(guò)P時(shí)的向心加速度與在軌道A上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的向心加速度是相等的D.衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)受到地球的引力小于經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)受到地球的引力[解析]衛(wèi)星在軌道B上由P到Q的過(guò)程中，遠(yuǎn)離地心，克服地球的引力做功，所以要做減速運(yùn)動(dòng)，所以速率是逐漸減小的，A項(xiàng)正確．衛(wèi)星在A、C軌道上運(yùn)行時(shí)，軌道半徑不同，根據(jù)可知軌道半徑越大，線速度小，所以有,所以B項(xiàng)錯(cuò)誤．衛(wèi)星在A、B兩軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，C項(xiàng)正確、衛(wèi)星在軌道B上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)比經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)離地心的距離要遠(yuǎn)些，受地球的引力要小些，所以D項(xiàng)正確．六、人造天體的交會(huì)對(duì)接問(wèn)題交會(huì)對(duì)接指兩個(gè)航天器（宇宙飛船、航天飛機(jī)等）在太空軌道會(huì)合并連接成一個(gè)整體．它是實(shí)現(xiàn)太空裝配、回收、補(bǔ)給、維修、航天員交換等過(guò)程的先決條件．空間交會(huì)對(duì)接技術(shù)包括兩部分相互銜接的空間操作，即空間交會(huì)和空間對(duì)接．所謂交會(huì)是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的航天器在軌道上按預(yù)定位置和時(shí)間相會(huì)，而對(duì)接則為兩個(gè)航天器相會(huì)后在結(jié)構(gòu)上連成一個(gè)整體．[例7]關(guān)于航天飛機(jī)與空間站對(duì)接問(wèn)題，下列說(shuō)法正確的是（）A.先讓航天飛機(jī)與空間站在同一軌道上，然后讓航天飛機(jī)加速，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)接B.先讓航天飛機(jī)與空間站在同一軌道上，然后讓航天飛機(jī)減速，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)接C.先讓航天飛機(jī)進(jìn)入較低的軌道，然后再對(duì)其進(jìn)行加速，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)接D.先讓航天飛機(jī)進(jìn)入較高的軌道，然后再對(duì)其進(jìn)行加速，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)接[解析]航天飛機(jī)在軌道運(yùn)行時(shí)，若突然對(duì)其加速時(shí)，地球?qū)︼w機(jī)的萬(wàn)有引力不足以提供航天飛機(jī)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，航天飛機(jī)就會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，所以選項(xiàng)A、B、D不可能實(shí)現(xiàn)對(duì)接。正確答案為C項(xiàng)。七、雙星問(wèn)題兩棵質(zhì)量可以相比的恒星相互繞著旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，叫做雙星．雙星中兩棵子星相互繞著旋轉(zhuǎn)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由兩恒星間的萬(wàn)有引力提供．由于力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小是相等的，因兩子星繞著連線上的一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以它們的運(yùn)動(dòng)周期是相等的，角速度也是相等的，線速度與兩子星的軌道半徑成正比．[例8]兩棵靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而不至于由于萬(wàn)有引力而吸引到一起，以下說(shuō)法中正確的是（）A.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比與其質(zhì)量成反比B.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比與其質(zhì)量成反比C.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成正比D.它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與其質(zhì)量成反比[解析]兩子星繞連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，角速度也相等．由得線速度與兩子星圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是成正比的．因?yàn)閮勺有菆A周運(yùn)動(dòng)的向心力由兩子星間的萬(wàn)有引力提供，向心力大小相等，由可知，所以它們的軌道半徑與它們的質(zhì)量是成反比的．而線速度又與軌道半徑成正比，所以線速度與它們的質(zhì)量也是成反比的．正確答案為B、D選項(xiàng)．八、地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題因地球自轉(zhuǎn)，地球赤道上的物體也會(huì)隨著一起繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)，這時(shí)物體受地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力和地面的支持力作用，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由這兩個(gè)力的合力提供，受力分析如圖所示．實(shí)際上，物體受到的萬(wàn)有引力產(chǎn)生了兩個(gè)效果，一個(gè)效果是維持物體做圓周運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)效果是對(duì)地面產(chǎn)生了壓力的作用，所以可以將萬(wàn)有引力分解為兩個(gè)分力：一個(gè)分力就是物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，另一個(gè)分力就是重力，如圖所示．這個(gè)重力與地面對(duì)物體的支持力是一對(duì)平衡力．在赤道上時(shí)這些力在一條直線上．在赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律可得其動(dòng)力學(xué)關(guān)系為，式中R、M、、T分別為地球的半徑、質(zhì)量、自轉(zhuǎn)角速度以及自轉(zhuǎn)周期。當(dāng)赤道上的物體“飄”起來(lái)時(shí),必須有地面對(duì)物體的支持力等于零，即N=0，這時(shí)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力提供.由此可得赤道上的物體“飄”起來(lái)的條件是：由地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力提供向心力。以上的分析對(duì)其它的自轉(zhuǎn)的天體也是適用的。[例9]地球赤道上的物體重力加速度為g,物體