已知三角函數(shù)值求角學案

7.3.5已知三角函數(shù)值求角學習目標核心素養(yǎng)1.掌握利用三角函數(shù)線求角的方法，會由已知的三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx，arccosx，arctanx表示角．(重點、難點)2.熟記一些比較常見的三角函數(shù)值及其在區(qū)間[－2π，2π]上對應的角．(重點)通過已知三角函數(shù)值求角的學習，提升學生的邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).【新知探究】1.已知正弦值，求角對于正弦函數(shù)y＝sinx，如果已知函數(shù)值y(y∈[－1,1])，那么在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有唯一的x值和它對應，記為x＝arcsin_yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中－1≤y≤1，－\f(π,2)≤x≤\f(π,2))).2.已知余弦值，求角對于余弦函數(shù)y＝cosx，如果已知函數(shù)值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它對應，記為x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．3.已知正切值，求角一般地，如果y＝tanx(y∈R)且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么對每一個正切值y，在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)，有且只有一個角x，使tanx＝y(tǒng)，記為x＝arctan_yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜x＜\f(π,2))).思考：符號arcsina(a∈[－1,1])arccosa(a∈[－1,1])，arctana(a∈R)分別表示什么？[提示]arcsina表示在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，正弦值為a的角；arccosa表示在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))上，余弦值為a的角；arctana表示在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，正切值為a的角．【小試身手】1.下列說法中錯誤的是()A．a(chǎn)rcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－eq\f(π,4) B．a(chǎn)rcsin0＝0C．a(chǎn)rcsin(－1)＝eq\f(3,2)π D．a(chǎn)rcsin1＝eq\f(π,2)C[根據(jù)已知正弦值求角的定義知arcsin(－1)＝－eq\f(π,2)，故C項錯誤．]2.已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＝eq\f(\r(3),2)，則α＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)D[因為α是三角形的內(nèi)角，所以α∈(0，π)，當sinα＝eq\f(\r(3),2)時，α＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，故選D．]3.已知tan2x＝－eq\f(\r(3),3)且x∈[0，π]，則x＝________.eq\f(5π,12)或eq\f(11π,12)[∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．∵tan2x＝－eq\f(\r(3),3)，∴2x＝eq\f(5π,6)或2x＝eq\f(11π,6)，∴x＝eq\f(5π,12)或eq\f(11π,12).]已知正弦值求角【例1】已知sinx＝eq\f(\r(3),2).(1)當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，求x的取值集合；(2)當x∈[0,2π]時，求x的取值集合；(3)當x∈R時，求x的取值集合．[思路探究]嘗試借助正弦曲線及所給角的范圍求解．[解](1)∵y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，且sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，∴x＝eq\f(π,3)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))是所求集合．(2)∵sinx＝eq\f(\r(3),2)＞0，∴x為第一或第二象限角，且sineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，∴在[0,2π]上符合條件的角有x＝eq\f(π,3)或x＝eq\f(2,3)π，∴x的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))).(3)當x∈R時，x的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,3)))，或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).1.給值求角問題，由于范圍不同，所得的角可能不同，一定要注意范圍條件的約束作用．2.對于已知正弦值求角有如下規(guī)律：sinx＝a(|a|≤1)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))x∈[0,2π]x＝arcsina0≤a≤1－1≤a＜0x1＝arcsinax2＝π－arcsinax1＝π－arcsinax2＝2π＋arcsina1.已知sinα＝eq\f(3,5)，根據(jù)所給范圍求角α.(1)α為銳角；(2)α∈R.[解](1)由于sinα＝eq\f(3,5)，且α為銳角，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＝arcsineq\f(3,5).(2)由于sinα＝eq\f(3,5)，且α∈R，所以符合條件的所有角為α1＝2kπ＋arcsineq\f(3,5)(k∈Z)，α2＝2kπ＋π－arcsineq\f(3,5)(k∈Z)，即α＝nπ＋(－1)narcsineq\f(3,5)(n∈Z).已知余弦值求角【例2】已知cosx＝－eq\f(1,3).(1)當x∈[0，π]時，求值x；(2)當x∈R時，求x的取值集合．[思路探究]解答本題可先求出定義arccosa的范圍的角x，然后再根據(jù)題目要求，利用誘導公式求出相應的角x的集合．[解](1)∵cosx＝－eq\f(1,3)且x∈[0，π]，∴x＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))).(2)當x∈R時，先求出x在[0,2π]上的解．∵cosx＝－eq\f(1,3)，故x是第二或第三象限角．由(1)知x＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))是第二象限角，又coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－arccos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(arccos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝－eq\f(1,3)，且2π－arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，所以，由余弦函數(shù)的周期性知，當x＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2kπ或x＝2π－arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2kπ(k∈Z)時，cosx＝－eq\f(1,3)，即所求x值的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ±arccos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))，k∈Z)).cosx＝a－1≤a≤1，當x∈[0，π]時，則x＝arccosa，當x∈R時，可先求得[0，2π]內(nèi)的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccosa，k∈Z}.2.已知cosx＝－eq\f(\r(2),2)且x∈[0,2π)，求x的取值集合．[解]由于余弦函數(shù)值是負值且不為－1，所以x是第二或第三象限角，由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝－coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以在區(qū)間[0,2π)內(nèi)符合條件的第二象限的角是x＝π－eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋π))＝－coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以在區(qū)間[0,2π)內(nèi)符合條件的第三象限的角是x＝eq\f(π,4)＋π＝eq\f(5π,4).故所求角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4))).已知正切值求角【例3】已知tanα＝－3.(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求角α；(2)若α∈R，求角α.[思路探究]嘗試由arctanα的范圍及給值求角的步驟求解．[解](1)由正切函數(shù)在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)可知，符合條件tanα＝－3的角只有一個，即α＝arctan(－3)．(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．1.已知角的正切值求角，可先求出eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的角，再由y＝tanx的周期性表示所給范圍內(nèi)的角．α＝a，a∈R的解集為{α|α＝kπ＋arctana，k∈Z}．3.已知tanx＝－1，寫出在區(qū)間[－2π，0]內(nèi)滿足條件的x.[解]∵tanx＝－1＜0，∴x是第二或第四象限角．由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)＝－1可知，所求符合條件的第四象限角為x＝－eq\f(π,4).又由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)π))＝－taneq\f(π,4)＝－1，得所求符合條件的第二象限角為x＝－eq\f(5,4)π，∴在[－2π，0]內(nèi)滿足條件的角是－eq\f(π,4)與－eq\f(5π,4).三角方程的求解[探究問題]1.已知角x的一個三角函數(shù)值，所求得的角一定只有一個嗎？為什么？[提示]不一定，這是因為角的個數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定，如果在給定的范圍內(nèi)有已知三角函數(shù)值的角不止一個，則所求的角也就不止一個．2.怎樣求解三角方程？[提示]明確所求角的范圍和個數(shù)，結合誘導公式先用arcsina或arccosa或arctana表示一個或兩個特殊角，然后再根據(jù)函數(shù)的周期性表示出所有的角．【例4】若cosx＝coseq\f(π,7)，求x的值．[思路探究]先求出一個周期內(nèi)的角，然后利用周期性找出所有的角．[解]在同一個周期[－π，π]內(nèi)，滿足cosx＝coseq\f(π,7)的角有兩個：eq\f(π,7)和－eq\f(π,7).又y＝cosx的周期為2π，所以滿足cosx＝coseq\f(π,7)的x為2kπ±eq\f(π,7)(k∈Z)．已知三角函數(shù)值求角的步驟：1由三角函數(shù)值的符號確定角的象限；2求出[0，2π上的角；3根據(jù)終邊相同的角寫出所有的角.4．已知sinx＝eq\f(\r(2),2)，且x∈[0,2π]，則x的取值集合為________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))[∵x∈[0,2π]，且sinx＝eq\f(\r(2),2)＞0，∴x∈(0，π)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，y＝sinx遞增且sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴x＝eq\f(π,4)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴x＝eq\f(3π,4)也符合題意．∴x的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).]【課堂小結】1.反正弦、反余弦、反正切的記法與取值范圍名稱反正弦反余弦反正切記法arcsinαarccosαarctanα取值范圍eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))[0，π]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))2.已知三角函數(shù)值求角的步驟一、定象限；二、找銳角；三、寫x∈[0,2π]的角；四、給答案．3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．【當堂達標】1.已知cosx＝－eq\f(\r(2),2)，π＜x＜2π，則x＝()A．eq\f(3π,2) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(7π,4)B[因為x∈(π，2π)且cosx＝－eq\f(\r(2),2)，∴x＝eq\f(5π,4).]2.函數(shù)y＝eq\r(3－2x)＋π－arccos(2x－3)的定義域是________．eq\b\lc\[\rc