第3章 3.2 第 2 課時 一元二次不等式的應(yīng)用

<a≤a22<a≤a22第時

一元二次不等的應(yīng)用學習目標掌握一元二次不等式的實際應(yīng)點).2.解三個“次”之間的關(guān)系.3.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點．[自預(yù)習·探新知]1．分式等式的解法主導思想：化分式不等式為整式不等式類型

同解不等式

>0(<0)

法一：或法二：f(xg()>0(<0)法一：

≥0(0)

或法二：

>a

先移項轉(zhuǎn)化為上述兩種形式思考：

x3－3>0與(x3)(＋等價嗎？將>0變形為(－3)(x，x2＋2有什么好處？[示]等式．

等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不2．(1)不等式的解集為R(或恒成立的條件不等式

ax＋bx＋c>0＋bx＋<0xxxxxxa＝0

b＝0，>0

b＝0，<0a≠0

a>0Δ

有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法f(x≤a成立?f(x≤amaxf(x≥a成立?f(x)≥amin思考x－在區(qū)間[2,3]恒成立的幾何意義是什么？區(qū)[2,3]不等x－的解集有什么關(guān)系？[示]

x－1>0在區(qū)間[上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝－1在區(qū)間[2,3]上的圖象恒在x軸方．區(qū)間[內(nèi)的元素一定是不等式x－的解，反之不一定成立，故區(qū)間[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．3．從實際題中抽象出一元二次不等式模型的步驟：閱讀理解，認真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準不等關(guān)系．設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系)．解不等式(或求函數(shù)最值)．回扣實際問題．思考：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？[示]

解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為，用來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解．[礎(chǔ)自測]1．思考析1不等式>1的解集為x)求解mf(x)恒成立時，可轉(zhuǎn)化為求解f()的最小值，從而求出m的范圍．()[案]

×

×11x－1提示：(1)?－1>0?{x故(>()恒成立轉(zhuǎn)化為mf(x)，(2)．max2xxx422222xxx422222x＋12．不等式≥5的解集是________．≤

14

x＋15－1[不等式?≥?≤，

得10<x≤.]3已知關(guān)于的不等式－＋2a>0R上恒成立則實數(shù)a的取值范圍是________.0,8[因為x

－ax＋2a>0在R上恒成立，所以a－4×2，所以a4.在如圖3-2-1所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(單位：m)的取值范圍是．圖3-2-1x40－[10,30][矩形高為，由三角形相似得：＝，x>0yx<40，4040y<40，≥，整理得y＋x＝，將y＝40－x代入≥300整理得x＋300≤0，解得x≤30.][合探究·攻重難]分式不等式的解法解下列不等式：

－40x(1)

x－3x＋2

<0；(2)

x＋12x－3

≤1.[]

x－3(1)?(－3)(＋?－2<<3，x＋2∴原不等式的解集為{|2<x<3}．3322232322232∵

x＋12x－3

≤1，∴

x＋12x－3

－1≤0∴

－x＋42x－3

≤0，即

x－4x－

≥0.此不等式等價于(－4)且x－≠，3解得x或≥4，∴原不等式的解集為或x≥4

[律方法]．對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．．對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分不要去分母，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．[蹤訓練]1．解下列等式：

x＋15x＋≥0；x－3x＋1[解]

(1)根據(jù)商符號法式

x＋1x－3

≥0可化成等式組解這個不等式組，可得x≤－1或即知原不等式的解集為{|≤－1x．不等式

5x＋1x＋12<3可改寫為－，即<0.x＋1x＋1＋1可將這個不等式轉(zhuǎn)化成2(x－＋1)<0，解得－1<4225225222225225222所以，原不等式的解集為{－1<x．一元二次不等式的應(yīng)用國家原計劃以2元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入元納稅元稱作稅率為個百分點，即．為了減輕農(nóng)民負擔，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加x個百分點．試確定的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的思路探究將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言“率降低x個百分點”即調(diào)節(jié)后稅率為(8x“收購量能增加x個百分點，此時總收購量為(12x%)噸，“原計劃的78%”為2×8%×[]

設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為元．y＝2＋2x%)·(8－12＝－m(x＋42x－400)(0<≤8)．依題意，得y≥2m8%×78%12即－m(x整理，得x

＋42－≥2×8%×78%，＋42－880，解得－≤≤2.根據(jù)x的實際意義，知x≤8，所以x的范圍為0,2]．[蹤訓練]2．某校園有一塊長為m，寬為m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．[]

設(shè)花卉帶的寬度為x，則中間草坪的長為(2x)m，寬1為(2)m.據(jù)題意可得(800－2x)(600－2)×800×600理得x－700＋600×100≥0，即600)(x－≥，所以≤100或x≥，x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為0,100]不等式恒成立問題2222222222222222222222[究問題]1．若函數(shù)f()＝ax＋＋2對切∈R，f(恒成立，如何求實數(shù)的取值范圍？提示：若a0顯然f(x不能對一切∈都成立．所以a≠0，此時只有二次函數(shù)(x)＝

2

＋2x＋2的圖象與直角坐標系中的x軸無交點且拋物線開口0向上時，才滿足題意，則8a<0，

1解得a2若函數(shù)f()＝－ax－3對∈[－3，1]恒有f(x)<0立，如何的范圍？提示：要使f(x)<0[－－1]恒成立則必使函數(shù)()＝x－－3在[3，－1]上的圖象在軸的下方，由f()的圖象知，此時a應(yīng)滿足＋，即2<0，解得a<－2.故當a∈(－∞，－時，有f(xx[－3，－1]時恒成立．3．若函數(shù)＝＋2(a－2)x＋4對任意a∈[－時<0恒成立，如何求的取值范圍？提示：由于本題中已知a的取值圍求，所以我們可以把函數(shù)f(x轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是a函數(shù)，求參數(shù)x的取值問題，則令ga＝2·a＋x－4＋4.要使對任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需滿足－2x＋，10＋4<0.因為x－2x＋4<0解集是空集，

即所以不存在實數(shù)x使函數(shù)y＝立．

＋2(a－2)x＋4對意a[3,1]<0恒成已知f(x＝x＋ax＋3－a，若x∈－f()≥0恒成立，求的取值范圍.思路探究對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于零的問題以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．2232242a2mina2224a2min2222222222222222232242a2mina2224a2min222222222222222[]

設(shè)函數(shù)f(x＝x

＋＋3－a在x∈－2,2]的最小值為ga，則a當對稱軸＝－－2，即a>4時，(a)＝(－＝7－3a0，解得a≤，與a>4矛盾，不符合題意．a(chǎn)a當－∈[－2,2]，即4≤a≤4時，g(a)＝3－－≥，解得－≤a≤2，此時－4a2.a當－>2即a<4ga＝f(2)7＋a0解得≥－此時－≤a<－4.綜上，a取值范圍為－7≤a≤2.母題探究：1.(變結(jié)論例條件不變，若f(x)≥恒成立，求的取值范圍．[]

若x∈[－2,2]，f(x≥2成立可轉(zhuǎn)化為：當x∈[－2,2]時，f(x)≥2min<－2，f≥或

－≤2，－≥，或f，解得a取值范圍為[－5，－2＋22]．2(變條件將例題中的條件“f(x＝x＋ax＋3－a∈[－2,2]f(≥0成立”變?yōu)椤安坏仁剑玿＋a－3>0的解集為R”求a的取值范圍．[]

法一：∵不等式＋x＋a－3>0的解集為，∴函數(shù)f(x＝x

＋2x＋a

2

－3圖象應(yīng)在軸上方，∴44(a－3)<0，解得a>2a<－2.法二：令f(x＝x＋2x＋a－，要使x＋＋a－3>0的解集為則a滿足f(x)＝amin

2

－4>0，解得a或<－2.法三：由x＋2x＋a－，得a>x－2＋3，22222maxminx2222222222222maxminx22222222即

2

>＋

＋4，要使該不等式在R上恒成立，必須使

2

大于－x＋＋4最大值，即a>4，故a>2或a<－2.[律方法]1．不等式＋bx＋>0的解是全體實數(shù)(或恒成立的條件是：當a0時，b＝0，>0；，當a≠0時，2．不等式＋bx＋<0的解是全體實數(shù)(或恒成立的條件是：當a0時，b＝0，<0；，當a≠0時，3．()≤恒成立≥[f)]，f(x≥a恒成立≤[f()][當達標·固雙基]1．若集合＝{|－1≤2＋1≤3}，B＝≤0

，則A∩B等于)A．{x－1≤<0}C．{|0≤<2}

B．{x|0<x≤1}D．{≤≤1}B

[＝{－≤x≤1}，B＝{|0<x≤2}，∩B＝{|0<x≤1}．]2．若集合＝{|－ax＋1<0}＝，則實a的取值集合是)A．{aaC．{≤4}

B．{a≤aD．{|0a≤4}D

[a時符合題意．>0時，相應(yīng)二次方程中的

a4a≤0，得{a≤4}綜上，得{≤a≤4}，故選3．不等式

x＋4

>0的解集為________．{－4<x<－3或x－1}

[式可轉(zhuǎn)化為(x＋1)(＋2)(x＋x＋4)>0，根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為－x－3x－1.]4－2x＋a－8≤0對于任∈恒成立的取值范圍是________.－∞

[不等－＋a－8≤0轉(zhuǎn)化a≤－＋2＋8對任∈恒成立，設(shè)f(x＝－x＋2x＋8，易知fx在[1,3]上