【講座】高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)分析與思考

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的分析與思考幾個(gè)基本的問(wèn)題：

1．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)教什么?

什么是核心概念的問(wèn)題？

2．問(wèn)題診斷：通過(guò)問(wèn)題診斷，針對(duì)核心概念、概念、定理課堂教學(xué)中出現(xiàn)的疑難問(wèn)題進(jìn)行有效的剖析指導(dǎo)。

3．案例分析：明確數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，使教學(xué)措施有的放矢，做到心中有數(shù)；能有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學(xué)問(wèn)題的方法，針對(duì)不同問(wèn)題，采取合適的教學(xué)方法、策略和模式。

第一部分：研究的緣起，及研究?jī)?nèi)容：第二部分：數(shù)學(xué)核心概念的理論探討第三部分：高中數(shù)學(xué)課程核心概念的探討第四部分：數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)探討借鑒：傳統(tǒng)概念教學(xué)模式體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心概念特征的教學(xué)操作模式（1）操作階段——概念的引入；（2）過(guò)程階段——概念的抽象概括（3）對(duì)象階段——概念的鞏固與深化（4）概型階段——概念的運(yùn)用。第五：數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)案例通過(guò)對(duì)其聯(lián)系性、奠基性、豐富性特征的教學(xué)準(zhǔn)備分析，并以數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)操作模式為基礎(chǔ)，展開(kāi)相關(guān)的教學(xué)過(guò)程分析。一.我們現(xiàn)在面臨的現(xiàn)實(shí)是什么？課改在前進(jìn)要解決的問(wèn)題很多：新課程提倡的理念很難準(zhǔn)確把握新教材的改革設(shè)計(jì)難適應(yīng)教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上課程改革與考試評(píng)價(jià)制度的改革不配套。。。。。二.教學(xué)方面的問(wèn)題課堂教學(xué)抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，沒(méi)有前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想主線，在學(xué)生沒(méi)有基本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時(shí)就進(jìn)行大量解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動(dòng)不得要領(lǐng)，在無(wú)關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費(fèi)學(xué)生的寶貴時(shí)間，數(shù)學(xué)課堂中無(wú)效益無(wú)質(zhì)量。學(xué)生題目做了千千萬(wàn)，效果甚微。數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量沒(méi)有隨著課改而改變，而是越來(lái)越使得問(wèn)題嚴(yán)重。三。教師方面的問(wèn)題分析教師對(duì)數(shù)學(xué)課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不準(zhǔn)，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念和思想方法的體系結(jié)構(gòu)缺乏必要的了解

只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)措施無(wú)的放矢，對(duì)是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中無(wú)數(shù)對(duì)自己設(shè)計(jì)的教學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不能從設(shè)計(jì)層面給出令人信服的解釋，往往只把問(wèn)題歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學(xué)問(wèn)題的方法，往往感到教學(xué)問(wèn)題的存在而不知其存在，或者發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題及其根源但找不出解決問(wèn)題的有效方法。四.努力的方向---專業(yè)化數(shù)學(xué)學(xué)科的專業(yè)素養(yǎng)有較好的數(shù)學(xué)功底能準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)思想懂得數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有根本的重要性具有揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所隱含的科學(xué)方法和理性思維過(guò)程的能力和“技術(shù)”。。。。。。教育學(xué)科的專業(yè)素養(yǎng)一個(gè)人的可持續(xù)發(fā)展：不僅要有扎實(shí)的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動(dòng)發(fā)展的需求、終身學(xué)習(xí)的愿望、熱情、能力和堅(jiān)持性、健康向上的人生觀和價(jià)值觀。教師在這些方面對(duì)學(xué)生的影響力，就是教師的教育學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)的最重要指標(biāo)?！皟蓚€(gè)素養(yǎng)”的結(jié)合善于抓住數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法，懂得削枝強(qiáng)干；方法多樣、有趣味、少而精；能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使學(xué)生有效學(xué)習(xí)、主動(dòng)發(fā)展，使他們不僅學(xué)業(yè)成就得到提高，而且發(fā)展均衡。五、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)——教什么？構(gòu)建反映數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展邏輯、符合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系，使核心概念、思想方法在數(shù)學(xué)課堂中得到落實(shí)，是提高教學(xué)質(zhì)量和效益的突破口，同時(shí)也是教學(xué)改革的抓手，因?yàn)槭箤W(xué)生真正領(lǐng)會(huì)和把握數(shù)學(xué)概念的核心，領(lǐng)悟概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，才能形成功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。六、基于概念的核心、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)框架1.教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線索概念及其解析（概念的核心）目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)問(wèn)題診斷（達(dá)成目標(biāo)已有條件和需要的新條件的分析）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)目標(biāo)檢測(cè)的設(shè)計(jì)2.概念和概念解析概念：內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)概念解析：重點(diǎn)是在揭示內(nèi)涵的基礎(chǔ)上說(shuō)明概念的核心之所在；對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位的分析，對(duì)內(nèi)容所反映的思想方法的明確。在此基礎(chǔ)上確定教學(xué)重點(diǎn)。3.目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動(dòng)每一階段所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)：用了解。。。及行為動(dòng)詞經(jīng)歷。。。表述目標(biāo)：闡明經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會(huì)做哪些以前不會(huì)做的事目標(biāo)解析：解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究等的含義。特別注意對(duì)概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的解析教學(xué)目標(biāo)的三層級(jí)模型第一層級(jí)主成分：以記憶為主要標(biāo)志，培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力測(cè)試：基本事實(shí)、方法的記憶水平標(biāo)準(zhǔn)：獲得的知識(shí)量以及掌握的準(zhǔn)確性第二層級(jí)主成分：以理解為主要標(biāo)志，培養(yǎng)的是以理解為主的基本能力測(cè)試：能否順利地解決常規(guī)性、通用性問(wèn)題，包括能否滿意地解決綜合性問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)：運(yùn)用知識(shí)的水平，如正確、敏捷、靈活、深刻等第三層級(jí)主成分：以探究為主要標(biāo)志，培養(yǎng)的是以評(píng)判為主的基本能力測(cè)試：能否對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行反思，即檢驗(yàn)過(guò)程的正確性、合理性及其優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)：思維的深刻性、批判性、全面性、獨(dú)創(chuàng)性等4.教學(xué)問(wèn)題診斷分析教師根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙的原因進(jìn)行分析。在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)4.教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行實(shí)現(xiàn)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。5.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在邏輯線索給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過(guò)程，突出思想方法的領(lǐng)悟過(guò)程分析以“問(wèn)題串”方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每一問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖、師生活動(dòng)預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力，等6.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)習(xí)題、練習(xí)方式的檢測(cè)。要明確每一個(gè)（組）習(xí)題或練習(xí)的設(shè)計(jì)目的，加強(qiáng)檢測(cè)的針對(duì)性、有效性注意防止一步到位，過(guò)早給綜合題、難題有害無(wú)益；基礎(chǔ)不夠的題目更是貽害無(wú)窮——題目出不好是老師專業(yè)素養(yǎng)低的表現(xiàn)之一“函數(shù)主線”為例1.對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)（1）函數(shù)是刻畫(huà)變量與變量之間依賴關(guān)系的模型（2）函數(shù)是連接兩類對(duì)象（兩個(gè)集合）的橋梁（3）函數(shù)是圖形數(shù)形結(jié)合主要載體：

解析幾何、向量圖形、函數(shù)函數(shù)概念的“注意事項(xiàng)”集合A、B都是數(shù)集任意性唯一性可以一對(duì)一、多對(duì)一，但不能一對(duì)多y=f(x)是一個(gè)整體，不是f與x的乘積值域C={f(x)|x屬于A}是集合B的子集函數(shù)的三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定在不適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，用不適當(dāng)?shù)姆椒◤?qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，把學(xué)生“教糊涂了”。如何讓學(xué)生體會(huì)“定義域”的重要性：抽象強(qiáng)調(diào)“定義域”很重要，“解析式相同，定義域不同就是不同的函數(shù)”沒(méi)有作用。有實(shí)際意義的具體例子最有效。例如，商品購(gòu)買、路程與時(shí)間，等等。先讓學(xué)生寫(xiě)出解析式，再大家分析函數(shù)主線1.具體函數(shù)模型：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)2.函數(shù)與方程、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與不等式、函數(shù)與線性規(guī)劃、函數(shù)與算法、導(dǎo)數(shù)3.數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、常微分方程、偏微分方程、泛函分析數(shù)學(xué)主線簡(jiǎn)要把書(shū)讀厚，又能把書(shū)讀薄———華羅庚讀厚：就是要把每一個(gè)邏輯關(guān)系、每一個(gè)細(xì)節(jié)搞清楚，想清楚讀?。壕褪且プ≌n程的主線、基本脈絡(luò)，抓住課程的內(nèi)在聯(lián)系，形成整體認(rèn)識(shí)必修一：函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題1.定義域、值域問(wèn)題在定義域、值域問(wèn)題上，教材只對(duì)最基本的函數(shù)提出要求，教學(xué)中也不要做拓展，應(yīng)當(dāng)把主要精力放在使學(xué)生理解函數(shù)的基本概念和思想上，以使學(xué)生有更多的時(shí)間考慮如何建立函數(shù)模型以反映實(shí)際問(wèn)題中變量之間的依賴關(guān)系2.關(guān)于反函數(shù)問(wèn)題只要求以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解，通過(guò)比較同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)說(shuō)明即可。不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)3.重視二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題直接考查：（江蘇省2014年第10高考題）已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于任意x屬于[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

六、怎樣才算“教完了”？

1.舍不得在概念、原理的發(fā)生發(fā)展過(guò)程上化時(shí)間————“這樣能教完嗎？”

2.給學(xué)生吃“壓縮餅干”

3.基礎(chǔ)知識(shí)——“題型教學(xué)”，解題技巧大雜燴，“一步到位”問(wèn)題在哪里？不“準(zhǔn)”————或者是沒(méi)有圍繞概念的核心，或者是教錯(cuò)了不“簡(jiǎn)”————在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化了不“精”————讓學(xué)生在知識(shí)的外圍重復(fù)訓(xùn)練，耗費(fèi)學(xué)生大量時(shí)間、精力但達(dá)不到對(duì)知識(shí)的深入理解“教完了”應(yīng)該以學(xué)生是否理解為準(zhǔn)，以學(xué)生是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為準(zhǔn)，特別是學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解和熟練水平位標(biāo)準(zhǔn)，而不是教師在課堂上有沒(méi)有把內(nèi)容“講完”廣種薄收是懶漢的做法七、重結(jié)果輕過(guò)程的危害數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中?！八枷搿笔歉拍畹撵`魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是技能到能力的橋梁；“過(guò)程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺(tái)，是思維訓(xùn)練的通道，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土囊沒(méi)有過(guò)程==沒(méi)有思想沒(méi)有思想就難以理解概念的實(shí)質(zhì)缺乏數(shù)學(xué)思想方法的紐帶，概念間的關(guān)系無(wú)法認(rèn)識(shí)、聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辯別性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)”都會(huì)大打折扣。沒(méi)有“過(guò)程”的教學(xué)把“思維的體操”降格為“刺激-反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)例如：三角函數(shù)認(rèn)知分析（1）三角函數(shù)是一類特殊函數(shù)，“三角函數(shù)”是“函數(shù)”的下位概念，用“概念同化”方式學(xué)習(xí)，要理解“三要素”的具體內(nèi)涵，其中核心是“對(duì)應(yīng)法則”（2）從角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)，一種“形式推廣“，載體要從直角三角形過(guò)渡到直角坐標(biāo)系，其核心是要明確用坐標(biāo)定義三角函數(shù)的思想方法；（3）體會(huì)將”任意點(diǎn)“化歸到”單位圓上的點(diǎn)“的意義————求簡(jiǎn)的思想教學(xué)難點(diǎn)（1）先要在弧度制下（用單位圓的半徑度量角）實(shí)現(xiàn)角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)，再實(shí)現(xiàn)數(shù)到坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，不是直接的對(duì)應(yīng)，會(huì)造成理解困難；（2）角三角函數(shù)的”比值“過(guò)渡到坐標(biāo)表示的比值，需要從函數(shù)角度重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題（3）求簡(jiǎn)到”單位圓上的坐標(biāo)“，思想方法深刻，學(xué)生不容易理解三角函數(shù)定義的教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)：請(qǐng)回答下列問(wèn)題前面學(xué)習(xí)了任意角，你能說(shuō)說(shuō)任意角概念與平面幾何中的角的概念有什么不同嗎？引進(jìn)象限角概念有什么好處？在度量角的大小時(shí)，弧度制與角度制有什么區(qū)別？我們是怎樣簡(jiǎn)化弧度制的度量單位的？設(shè)計(jì)意圖：從為學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念服務(wù)的角度復(fù)習(xí)，關(guān)注的是思想方法先行組織者：我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型例如：指數(shù)函數(shù)描述了”指數(shù)爆炸“，對(duì)數(shù)函數(shù)描述了”對(duì)數(shù)增長(zhǎng)“等。圓周運(yùn)動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)，其中最基本的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其變化規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？”任意角的三角函數(shù)“就是一個(gè)刻畫(huà)這種”周而復(fù)始“的變化規(guī)律的函數(shù)模型設(shè)計(jì)意圖：解決”學(xué)習(xí)的必要性“問(wèn)題，明確要研究的問(wèn)題問(wèn)題1：對(duì)于三角函數(shù)我們并不陌生，初中學(xué)過(guò)角三角函數(shù)，你能說(shuō)說(shuō)它的自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么嗎？任意畫(huà)一個(gè)角α，你能借助三角板，根據(jù)角三角函數(shù)的定義找出sinα的值嗎？設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)角度重新認(rèn)識(shí)角三角函數(shù)定義，突出”與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)“。問(wèn)題2：你能借助象限角的概念，用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示角三角函數(shù)嗎？設(shè)計(jì)意圖：比值”坐標(biāo)化“問(wèn)題3：上述表達(dá)式比較復(fù)雜，你能將它化簡(jiǎn)嗎？設(shè)計(jì)意圖：為”單位圓法”作鋪墊。學(xué)生答出“取點(diǎn)P(x,y)使”后追問(wèn)“為什么可以這樣做？”教師講授：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P(x,y),定義正弦函數(shù)為y=sinα，余弦函數(shù)為y=cosα設(shè)計(jì)意圖：“定義”是一種“規(guī)定”；把精力放在定義合理性的理解上問(wèn)題4你能說(shuō)明上述定義符合函數(shù)定義的要求嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用函數(shù)的三要素說(shuō)明定義的合理性，以此進(jìn)一步明確三角函數(shù)的正弦函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域例1分別求自變量所對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟例2角x的終邊過(guò)P(求它的三角函數(shù)值。三角函數(shù)概念的“精致”函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)的三角函數(shù)值終邊相同的角的同名三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)的比較：因襲與擴(kuò)張從“形”的角度看三角函數(shù)---三角函數(shù)線，聯(lián)系的觀點(diǎn)終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示的三角函數(shù)結(jié)束語(yǔ)數(shù)學(xué)理解的核心是對(duì)基本概念及其所反映的數(shù)學(xué)思想方法的理解圍繞數(shù)學(xué)核心概念、思想方法進(jìn)行教學(xué)在挖掘知識(shí)所蘊(yùn)含的價(jià)值資源上狠下功夫四、多少的比較方法之一：數(shù)數(shù)66多少的比較方法之二：比較少多映射自然數(shù)的比較122436n2n自然數(shù)與偶數(shù)一樣多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)推廣推廣●●●●●這個(gè)運(yùn)動(dòng)表明：當(dāng)x沿直線趨于正無(wú)窮大時(shí)，圓周上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜈呌陧旤c(diǎn)這個(gè)運(yùn)動(dòng)表明：當(dāng)x沿直線趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，圓周上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蜈呌陧旤c(diǎn)演示表明：在直線上無(wú)論x是趨于,還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點(diǎn)沿著圓周分別按逆時(shí)針和順時(shí)針都趨于一個(gè)共同的點(diǎn)——頂點(diǎn)！圓周比直線多一點(diǎn)！新概念集合A與B稱為基數(shù)相等，如果A，B之間存在1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系（1-1映射）。記為顯然基數(shù)概念推廣了個(gè)數(shù)概念。幾個(gè)有趣的結(jié)論1、有理數(shù)與自然數(shù)一樣多這個(gè)集合的基數(shù)不超過(guò)自然數(shù)的基數(shù)，而自然數(shù)是其子集，所以這兩個(gè)集合的基數(shù)相等。同樣的理由知道有理數(shù)與自然數(shù)一樣多。幾個(gè)有趣的結(jié)論2、（0，1）與（0，+∞）的點(diǎn)一樣多幾個(gè)有趣的結(jié)論3、（0，1）的點(diǎn)比自然數(shù)多；5、自然數(shù)是基數(shù)最小的無(wú)窮集合。4、自然數(shù)的所有子集所成的集合與（0，1）的基數(shù)一樣；6、一個(gè)集合的基數(shù)（?）小于其子集所成的集合的基數(shù)（2?

）Thatis:?<2?

幾個(gè)有趣的結(jié)論一、函數(shù)概念的發(fā)展線索表1五國(guó)教材中函數(shù)概念的發(fā)展主線

由表1可見(jiàn)，函數(shù)概念在五國(guó)教材中的發(fā)展主線基本相同：定義→性質(zhì)→基本初等函數(shù)，但存在如下顯著差異：（1）性質(zhì)和基本初等函數(shù)的編排順序不同；（2）以函數(shù)為核心的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的概念選擇差異較大，特別是圖象變換和函數(shù)種類。如法國(guó)教材，有理函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)都有涉及，并且介紹了多項(xiàng)式函數(shù)的形式化定義，而中國(guó)教材只涉及五個(gè)最基本的具體冪函數(shù)。

我認(rèn)為，因?yàn)楦鲊?guó)的國(guó)情、數(shù)學(xué)教育理念、教育的傳統(tǒng)乃至教材編者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和定位都是不同的，所以出現(xiàn)差異很自然。這些“不同”所造成的差異不僅體現(xiàn)在核心概念網(wǎng)絡(luò)體系的構(gòu)建上，也體現(xiàn)在對(duì)核心概念本身的關(guān)注點(diǎn)、為學(xué)生構(gòu)建的學(xué)習(xí)方式等方面。二、對(duì)函數(shù)概念的關(guān)注點(diǎn)核心概念位居數(shù)學(xué)知識(shí)體系的中心，其強(qiáng)大的生長(zhǎng)力可以產(chǎn)生“柱根相連，柱枝相托，枝葉擴(kuò)展”的“概念群”。函數(shù)概念更具代表性，與之相關(guān)的概念眾多，例如：常量、變量、運(yùn)動(dòng)、變化、集合、對(duì)應(yīng)、關(guān)系、映射、模型，以及應(yīng)用、聯(lián)系……對(duì)這些相關(guān)概念的重視程度，各國(guó)教材既有共性也有差異。

1.共同關(guān)注點(diǎn)：函數(shù)概念的聯(lián)系性

早在100多年前，F(xiàn)·克萊因就提出中學(xué)要“以函數(shù)觀念和幾何直觀作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心”的觀點(diǎn)?！昂瘮?shù)觀念”（可以進(jìn)一步具體化為“函數(shù)概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法”）作為整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心，可以在整套教材的組織中發(fā)揮聯(lián)系紐帶的作用。從函數(shù)內(nèi)容的具體組織看，各國(guó)教材都不集中安排函數(shù)內(nèi)容，而是與其他領(lǐng)域的知識(shí)相互穿插。其中最突出的是美國(guó)教材，每一章都以穿插學(xué)習(xí)的方式，把與當(dāng)前學(xué)習(xí)的具體函數(shù)有直接聯(lián)系的各種知識(shí)都穿插在一起。例如“線性函數(shù)與數(shù)列”一章，以“線性關(guān)系”為紐帶，將代數(shù)、幾何和統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中的直線方程、等差數(shù)列、回歸直線和階梯函數(shù)等相關(guān)概念融會(huì)貫通，而聯(lián)系它們的核心概念就是線性函數(shù)（如表2）

表2“線性函數(shù)與數(shù)列”的知識(shí)體系為使“聯(lián)系”更加自然，美國(guó)教材以“問(wèn)題解決”為指導(dǎo)思想，圍繞著解決實(shí)際問(wèn)題的需要，通過(guò)建立不同類型的函數(shù)模型，引出相關(guān)概念，讓學(xué)生“了解直線、幾何和統(tǒng)計(jì)之間聯(lián)系”。例如，通過(guò)建立常數(shù)增長(zhǎng)（或下降）情境的函數(shù)模型，導(dǎo)出直線方程的斜截式及其圖象；通過(guò)建立描述兩組相關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型，導(dǎo)出回歸直線的定義等。

從教材呈現(xiàn)來(lái)看，與函數(shù)概念的聯(lián)系表現(xiàn)出“多向性”。例如，我國(guó)教材專設(shè)一節(jié)“函數(shù)與方程”；日本教材在介紹了具體函數(shù)（如三角函數(shù)、有理函數(shù)等）概念和性質(zhì)后，通過(guò)函數(shù)圖象研究相應(yīng)的方程和不等式；法國(guó)教材將算法和函數(shù)密切結(jié)合，如函數(shù)定義一節(jié)中的“能力12用一種算法定義一個(gè)函數(shù)”，其中的問(wèn)題1和問(wèn)題2（見(jiàn)表3）要求學(xué)生從算法到函數(shù)、從函數(shù)到算法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，意在促進(jìn)學(xué)生建立算法和函數(shù)間的聯(lián)系，從而既能從不同角度理解這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，又能在一定的情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇數(shù)學(xué)對(duì)象解決問(wèn)題。表3能力12用一種算法定義一個(gè)函數(shù)2.不同的關(guān)注點(diǎn)：函數(shù)概念定位的差異由于對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的關(guān)注程度不同，各國(guó)教材在素材、知識(shí)點(diǎn)的選擇、呈現(xiàn)方式等方面出現(xiàn)差異。對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵不同的關(guān)注點(diǎn)，本質(zhì)上反映了各國(guó)對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的不同定位，而不同的定位又是不同數(shù)學(xué)教育觀念的具體反映。

o

美國(guó)教材的關(guān)注點(diǎn)：模型美國(guó)教材將函數(shù)定位為“描述兩個(gè)變量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”。因此，函數(shù)概念的模型特性成為關(guān)注重點(diǎn)，主要表現(xiàn)在：

（1）給出函數(shù)定義后，教材對(duì)數(shù)學(xué)模型的涵義進(jìn)行了解釋——現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和概念描述它，并舉例說(shuō)明通常必須簡(jiǎn)化現(xiàn)實(shí)情境以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；

（2）隨后一章（VariationandGraphs），教材舉例說(shuō)明建立函數(shù)模型的兩種方法，一是利用數(shù)學(xué)原理（如各種算法、度量公式、統(tǒng)計(jì)量等），二是通過(guò)擬合數(shù)據(jù)；（3）介紹某種具體函數(shù)時(shí)，都包含了建立函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際情境的內(nèi)容；

（4）Functions，StatisticsandTrigonometry專門設(shè)置了一章“函數(shù)與模型”，總結(jié)AdvanceAlgebra中介紹的函數(shù)模型。從問(wèn)題情境看，美國(guó)教材選擇了大量現(xiàn)實(shí)素材，而且類型具有多樣性；從對(duì)情境的描述看，美國(guó)教材注重問(wèn)題的真實(shí)性、可信性和趣味性。如表4是美國(guó)教材和中國(guó)教材中都有的

細(xì)胞分裂情境，顯然美國(guó)教材給出了更具體豐富的細(xì)節(jié)，不僅出現(xiàn)了一種常見(jiàn)細(xì)菌細(xì)胞的名稱、分裂時(shí)間，而且還配了圖片。

表4教材中的細(xì)胞分裂情境o

德教材的關(guān)注點(diǎn)：圖象和現(xiàn)實(shí)導(dǎo)向

函數(shù)圖象是函數(shù)概念的表示方式之一，同時(shí)它也是研究函數(shù)性質(zhì)、解決相關(guān)問(wèn)題的有力工具。五國(guó)教材都關(guān)注函數(shù)圖象，但德教材對(duì)函數(shù)圖象的研究最具系統(tǒng)性：

（1）在具體函數(shù)（三角、指對(duì)函數(shù)）中，充分利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)；

（2）專門設(shè)置一章（如表5）對(duì)圖象和性質(zhì)進(jìn)行研究，使得每類具體函數(shù)的圖象、定義域、值域、零點(diǎn)、對(duì)稱性、無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)值等都有比較系統(tǒng)的呈現(xiàn)。

表5德國(guó)教材“函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一節(jié)的內(nèi)容三、核心概念的學(xué)習(xí)方式

各國(guó)教材在核心概念學(xué)習(xí)方式上采用了比較一致的做法，即強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。主要有：自主探索、課題學(xué)習(xí)和加強(qiáng)與信息技術(shù)的整合。

1.自主探索

五國(guó)教材的具體做法為：?jiǎn)栴}和活動(dòng)。

o

中國(guó)教材以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)核心概念

我國(guó)教材以“觀察”“思考”“探究”等欄目將問(wèn)題穿插在正文敘述中，主要作用是在知識(shí)形成的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問(wèn)題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)問(wèn)題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動(dòng)。例如教材介紹了函數(shù)的幾個(gè)典型實(shí)例后，為了促進(jìn)學(xué)生思考它們的共同本質(zhì)特征而概括出函數(shù)定義，用“思考：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，變量之間的關(guān)系有什么共同點(diǎn)？”加以引導(dǎo)。o

美、德、法教材均通過(guò)“活動(dòng)”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)核心概念

通過(guò)“活動(dòng)”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是這些國(guó)家教材的一個(gè)共同特色，但呈現(xiàn)方式又各不相同，其中法國(guó)教材最具特色：

（1）相對(duì)于美、德教材將活動(dòng)與知識(shí)講解相整合的做法，法國(guó)教材每一章都劃分為三部分：介紹活動(dòng)，課程知識(shí)，練習(xí)問(wèn)題，將活動(dòng)與知識(shí)講解分離?！敖榻B活動(dòng)”包括一些小的探究、實(shí)踐或認(rèn)知活動(dòng)，重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)在各種背景下的表征方式的認(rèn)識(shí)和問(wèn)題解決上