【講座】高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析及其教學建議

專題講座：

高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析及其教學建議高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析及其教學建議一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析四、對教學的建議一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義（一）數(shù)學建模的內涵（二）數(shù)學建模的價值（三）數(shù)學建模的目標（四）數(shù)學建模能力的構成一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義

數(shù)學建模是通過對實際問題的簡化和抽象后，用數(shù)學原理建立模型，用數(shù)學方法解決問題，再回到實際情境中解釋、驗證所得結果的數(shù)學活動過程。它主要包括分析抽象、建立模型、求解模型和驗證修改四個階段。其過程大致可用下圖表示:實際問題分析抽象建立模型求解模型驗證修改（一）數(shù)學建模的內涵一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義

數(shù)學模型構建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式。數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，是推動數(shù)學發(fā)展的外部驅動力。（二）數(shù)學建模的價值一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義

通過數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學生能夠掌握數(shù)學建模的過程，積累用數(shù)學的語言表達實際問題的經(jīng)驗，提升應用能力和創(chuàng)新意識。（三）數(shù)學建模的目標一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義1、閱讀理解能力2、抽象概括能力3、符號表示能力4、模型選擇能力5、數(shù)學運算能力（四）數(shù)學建模能力的構成一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義1、閱讀理解能力。

閱讀理解能力是學生按照一定思路、步驟感知實際問題的信息，在對信息分析和思考后，獲得對問題感性認識的能力。閱讀理解能力較好的學生，讀得準、讀得快、理解快、理解深，這是數(shù)學建模的前提。如，1999年上海高考卷第22題的問題情境是冷軋鋼板的過程，題中出現(xiàn)了“減薄率”這一專門術語，并給出了即時定義。能否深刻理解該定義，取決于學生閱讀理解能力，這將直接影響該問題的數(shù)學建模。一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義1、閱讀理解能力。

一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義2、抽象概括能力。

將感性材料去偽存真，對問題適當簡化，忽略次要因素，抓住主要矛盾，運用判斷推理等發(fā)現(xiàn)問題本質，在提煉、抽象的基礎上，將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。抽象概括能力較強的學生很容易將實際問題抽象為數(shù)學問題，這是數(shù)學建模的基礎。一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義2、抽象概括能力。

如，將銀行計息的“復利公式”類比和推廣到計算細胞分裂、人口增長等實際問題，這不僅給了學生解決實際問題一把通用的鑰匙，也是培養(yǎng)和提高學生抽象概括能力的重要方式。一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義3、符號表示能力。

把實際問題中表示數(shù)量關系的文字、圖像“翻譯”成數(shù)學符號語言，即數(shù)、式子、方程、函數(shù)、不等式等的能力。這種“翻譯”是數(shù)學建模的基礎性工作。一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義3、符號表示能力。

一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義4、模型選擇能力。

選擇數(shù)學模型是數(shù)學建模中最重要的能力。同一個數(shù)學問題可以有多個數(shù)學模型，同一個數(shù)學模型可以用于多個實際問題，怎樣選擇一個最佳的模型，直接關系到問題解決的質量，是學生的綜合能力的體現(xiàn)，是數(shù)學建模的關鍵能力。一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義4、模型選擇能力。

如，甲、乙兩人相距10千米，他們同時相向而行，甲的速度為2千米/小時，乙的速度為3千米/小時。兩人出發(fā)時，甲身邊的一只小狗以5千米/小時的速度飛奔向乙，遇到乙后，又馬上飛奔向甲，如此反復，問甲、乙相遇時小狗跑的總路程。如果把該問題建模為數(shù)列求和，求出每次小狗與乙或甲相遇時跑的路程，再求所有路程的總和，計算十分麻煩。如果把問題建模為總路程與總時間的關系，求出甲、乙相遇的時間，即小狗跑的總時間，用總時間乘以小狗的速度求得總路程，計算簡單，這個模型十分簡練。一、數(shù)學建模素養(yǎng)的意義5、數(shù)學運算能力。

復雜的建模問題一般運算量比較大，可能還有近似計算，圖像分析等，所以即使數(shù)學模型正確合理，如果運算能力欠缺，有時也會前功盡棄。數(shù)學運算能力也是數(shù)學建模能力的重要構成，在建模教學中只重視抽象、概括和推理，不重視計算的做法是不可取的。（一）新課標的要求二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（二）高中常見數(shù)學模型（一）新課標的要求

新數(shù)學課程標準的一個重點是讓學生全面了解數(shù)學背景、意義和價值，尤其是它的應用性與方法。數(shù)學建模是達到此目標的一個極好途徑。在近幾年的高考中，這方面題目的數(shù)量和分值逐漸增加，特別是考查的題材更貼近實際生活，靈活性也大大提高，那就要求在教學中更應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)。因此，在高中階段滲透建模思想是非常必要的。二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透數(shù)學建模的教學重點在新課程中規(guī)定的應用：1、初步掌握建立函數(shù)模型解決問題的過程和方法，能應用導數(shù)等解決一些簡單的實際問題。2、等差數(shù)列和等比數(shù)列有著廣泛的應用，教學中應重視通過具體實例（如教育貸款、購房貸款、放射性物質的衰變、人口增長等），使學生理解這兩種數(shù)列模型的作用，培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力。3、會從實際情境中抽象出一些簡單的線性規(guī)劃問題并加以解決；會用基本不等式解決實際中簡單的最值問題.4、能運用三角函數(shù)知識分析處理實際問題,掌握利用正弦定理、余弦定理解決實際應用；二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透數(shù)學建模的教學重點在新課程中規(guī)定的應用：5、了解圓錐曲線與二次方程的關系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。6、幾何教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，并能解決一些簡單的推理論證及應用問題。7、初步學會利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現(xiàn)象的方法，并能用所學知識解決一些簡單的實際問題；8、能用抽樣方法解決簡單的實際問題,會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題；能把一些實際問題抽象成兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布等模型加以解決。二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（二）高中常見數(shù)學模型：1、函數(shù)模型；2、數(shù)列模型；3、不等式(組)模型；4、三角模型；5、平面解析幾何模型；6、立體幾何模型；7、排列組合模型；8、概率統(tǒng)計模型。二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透1、函數(shù)模型

高中常見的函數(shù)有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等。

函數(shù)模型經(jīng)常涉及到成本投入、利潤產(chǎn)出及關于效益、價格、流量、面積、體積等實際問題。解答這類問題一般要利用數(shù)量關系,列出目標函數(shù)式,然后用函數(shù)有關知識和方法加以解決。大量的實際問題隱含著量與量之間的關系,建立量與量的函數(shù)關系,就成為解題的關鍵,一旦函數(shù)關系建立了，即可用函數(shù)知識來解決實際問題。二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（1）一次函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（2）二次函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（2）二次函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（3）指數(shù)函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（3）指數(shù)函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（4）對數(shù)函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（5）冪函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（5）冪函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（6）分段函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透（6）分段函數(shù)模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透2、數(shù)列模型

生活中頻頻出現(xiàn)的存款利息、分期付款、環(huán)境保護、增長率、貸款、房貸等熱點問題，常常需要用數(shù)列的知識來解答。通過數(shù)列模型的建立，將有助于我們在生活中更好地進行優(yōu)化決策，培養(yǎng)我們的應用意識、主體意識和創(chuàng)新精神，真正做到“學以致用”。常見的數(shù)列模型有：等差數(shù)列模型，等比數(shù)列模型等。二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透3、不等式(組)模型

不等式(組)模型經(jīng)常涉及到統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化、水土流失等一些有關不等量或最值的實際問題。解答這類問題一般是先列出不等式(組),然后用不等式知識求解,關鍵是找出各變量的關系。二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模素養(yǎng)在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透4、三角模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透5、平面解析幾何模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透6、立體幾何模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透7、排列組合模型

二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透8、概率統(tǒng)計模型8、概率統(tǒng)計模型二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透二、數(shù)學建模在高中數(shù)學內容的滲透三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析（一）綜合性（二）現(xiàn)實性（三）文化性（四）創(chuàng)新性三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析1、綜合性三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析1、綜合性三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析2、現(xiàn)實性三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析3、文化性三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析答案：B三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析答案：B三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析4.創(chuàng)新性三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析三、高考試題中數(shù)學建模的考查趨勢分析四、對教學的建議1、加強審題閱讀訓練，夯實數(shù)學建模基礎；2、優(yōu)化課堂教學過程,提高數(shù)學建模能力；3、重視教材題目挖掘，掌握數(shù)學建模模型；5、關注數(shù)學實際應用，開闊數(shù)學建模眼界。4、強化運算能力培養(yǎng)，完善數(shù)學建模過程；四、對教學的建議1、加強審題閱讀訓練，夯實數(shù)學建模基礎四、對教學的建議1、加強審題閱讀訓練，夯實數(shù)學建?；A第一，仔細閱讀，嘗試將題目中的文字語言用數(shù)學語言表述出來；第二，通過閱讀，找出題中的關鍵元素，如已知什么、要求做什么，抓住反映數(shù)量的關鍵詞，充分挖掘隱含條件，弄清已知和未知之間有什么關系，缺什么條件；第三，利用示意圖、表格、圖象等，進行分析、聯(lián)想、類比，發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關系，并把這些數(shù)量關系用數(shù)學符號表示出來，把一個實際問題轉化為數(shù)學問題，從而利用數(shù)學建模思想解決問題。四、對教學的建議2、優(yōu)化課堂教學過程,提高數(shù)學建模能力（1）為了培養(yǎng)高中學生的建模意識,數(shù)學教師應首先需要提高自己的建模意識。（2）在數(shù)學課堂教學過程中教師要根據(jù)教學內容有意識地滲透數(shù)學建模的思想和方法。（3）在數(shù)學教學活動中,專門開展以數(shù)學建模為主題的教學環(huán)節(jié)。四、對教學的建議（1）為了培養(yǎng)高中學生的建模意識,數(shù)學教師應首先需要提高自己的建模意識。

教師是關鍵,首先要保證教師具有扎實的專業(yè)基礎是保證教學成功的前提。教師首先應轉變觀念,教學觀念要有明顯改變,教學方法要符合高中數(shù)學新課程理念,數(shù)學建模的教學內容的分析要透徹、處理要得當,重點、難點要把握準確等,教師的課堂教學設計要符合實際,選擇的教學案例和方法要符合學生的知識水平與心理特征,鼓勵學生積極充分地參與教學活動。2、優(yōu)化課堂教學過程,提高數(shù)學建模能力四、對教學的建議（2）在數(shù)學課堂教學過程中教師要根據(jù)教學內容有意識地滲透數(shù)學建模的思想和方法。

數(shù)學課堂教學中老師要最大限度地激發(fā)學生的興趣和探索意識,要采取循序漸進的方法,由簡到繁,由易到難的順序,滲透數(shù)學建模的思想和方法，逐步提高學生對數(shù)學建模的理解和認識,從而提高數(shù)學建模成功的機會和解決問題的效率。在教學過程中把這一套系統(tǒng)的建模方法逐步交給學生,給學生一些在數(shù)學模型的應用的初步體驗。四、對教學的建議3）在數(shù)學教學活動中,專門開展以數(shù)學建模為主題的教學環(huán)節(jié)。

在學完某一內容后,教師專門提出一個事先設計好的,開放性的并與該學習內容有關的數(shù)學建模問題,引導學生主動查閱文獻資料,鼓勵學生積極開展討論,主動探索解決問題。通過教師的引導以及所學知識的具體應用和對具體問題的解決,使學生能積極合作完成數(shù)學建模的問題。這一過程不僅使他們對新知識有更好的認識,而且增強了他們利用外界工具的能力和與他人合作的能力,同時也增強他們的綜合素質和創(chuàng)新能力以及獲取新知識的能力。四、對教學的建議3、重視教材題目挖掘，掌握數(shù)學建模模型四、對教學的建議3、重視教材題目挖掘，掌握數(shù)學建模模型四、對教學的建議4、強化運算能力培養(yǎng)，完善數(shù)學建模過程運算能力是思維能力和運算技能的結合，