復(fù)變函數(shù)教案第五章

mm-讓章節(jié)名第五章留數(shù)學(xué)時(shí)安6時(shí)教學(xué)要理解孤立奇點(diǎn)的念并掌握判別孤立奇點(diǎn)類別的方法理解留數(shù)的定義熟練掌握計(jì)算留數(shù)的方法理解留數(shù)基本定理熟練掌握用留數(shù)理論計(jì)算積分。教學(xué)內(nèi)：理解孤立奇點(diǎn)的概念，掌握判別孤立奇點(diǎn)類別的方法2．了解解析函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)3．理解留數(shù)的定義4．熟練掌握計(jì)算留數(shù)的方法；5．理解留數(shù)基本定理，熟練掌握用留數(shù)理論計(jì)算積分。教學(xué)重留數(shù)的定義，留數(shù)的計(jì)算教學(xué)難用留數(shù)理論計(jì)算積分教學(xué)手課堂講授教學(xué)過第五章留§1孤立奇1.相關(guān)定義定義1點(diǎn)a函數(shù)f()若f)在點(diǎn)域0內(nèi)解析，則稱為函數(shù)(z)的孤立奇點(diǎn)．定義2

設(shè)a函數(shù)()孤立奇點(diǎn)：⑴若f()點(diǎn)a羅朗級數(shù)的主要部分為零，則稱a為f(z可去奇點(diǎn)；⑵若f()點(diǎn)a羅朗級數(shù)的主要部分有有限多項(xiàng)，設(shè)為ccc(z)(z)z

,

0則稱)m（階）極點(diǎn)；⑶若f()點(diǎn)a羅朗級數(shù)的主要部分有無限多項(xiàng)稱a為f)的本性奇點(diǎn)．sinez例依定義點(diǎn)z0為的可去奇點(diǎn)點(diǎn)0的二級極點(diǎn)點(diǎn)z2

1

的本性奇點(diǎn)．2.函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)⑴函數(shù)在可去奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)定理1

若a(z孤立奇點(diǎn)，則下列三個(gè)條件是等價(jià)的：①a為f(z)的可去奇點(diǎn)；-讓limf(z；③函數(shù)f()的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界．⑵函數(shù)在極點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)定理2

若a(z孤立奇點(diǎn)，則下列三個(gè)條件是等價(jià)的．a(chǎn)為f()m極點(diǎn)；f(z)在a的某個(gè)去心鄰0內(nèi)可表示為f(z)

h()(z)

其中h()在a的鄰域zR內(nèi)解析，(a01③a為級點(diǎn)（可去奇點(diǎn)視作解析點(diǎn)時(shí)fz定理3

a為函數(shù)f()的極點(diǎn)的充分必要條件是limf(za⑶函數(shù)在本性奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)定理4a為函數(shù)f()的本性奇點(diǎn)的充分必要條件limf(z)不存在，即當(dāng)z，(z既不趨于有限值，也不趨于定理5

若a(z本性奇點(diǎn))在a充分小的鄰域內(nèi)不為零，1則為的本性奇點(diǎn)．fz例

設(shè)fz)5(1

，試求()復(fù)平面上的奇點(diǎn)，并判定其類別．解

首先，求f()奇點(diǎn)．(z)的奇點(diǎn)出自方程1

的解．解方程得Ln((2ki,k0000-讓若設(shè)zi則易為(z)孤立奇點(diǎn)．另外，因(1z)

0z)

0

所以，由零點(diǎn)的定義為1kf(z)的一級極點(diǎn)．§2留數(shù)

的一級零點(diǎn)．從而z(k,均為1定3

設(shè)a為函數(shù)f()孤立奇點(diǎn)，為圓周：z

，若f(z)在0

上解析，則稱i

c

f(為()點(diǎn)a的留數(shù)（或殘數(shù)作Res(,)a)即Res(f,)

i

c

f()d2留數(shù)計(jì)算規(guī)則：規(guī)則1如果為f(z的一級極點(diǎn)，那Res(f)z)z.規(guī)則2如果為f(z的級極點(diǎn)，那么1d,z)lim{()(mz

m

f()}.規(guī)則3設(shè)f(z)

(z)(z)

)及z在z解析，如果z0，Q(00

，

'

()，么為f(z的一級極點(diǎn)，而0(),)00()0例1

設(shè)(z)

5

，f,．解法1

由定義**-讓Res(f,0)

i

zz

i

z

5zz

)

z1注意：這里的積分路徑的半徑并非只能取，只須使半徑小于1即可滿足定4義的條件．解法2

因點(diǎn)

10為()孤立奇點(diǎn)，所以，在N):0內(nèi)有335(f(z)12nzn2nzn由此2依（）式f,．解法3

因點(diǎn)z0()一級極點(diǎn)，則按規(guī)則1,0)lim0

5(解法4

因點(diǎn)0(z

5

的一級極點(diǎn)，則按規(guī)則33，定義4

5zRes(f0){}[z設(shè)z函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，為圓周：

，若f(z)Rz

)，則稱331n1n22331n1n22-讓i

c

f()d為函數(shù)()點(diǎn)z的留數(shù)（或殘數(shù)Res(,，即f,

i

c

f(規(guī)則4例2解

1f()(),z2設(shè)f(z),．取圓c:由（）式得12iez

dz

11iez

dz4，定理6

設(shè)區(qū)G是由圍的內(nèi)部構(gòu)成（如圖函數(shù)f(zG內(nèi)除含有限個(gè)奇,a外解析，且G除a,,a外連續(xù)，則1nc

fzziRes(a)jj?

c

??

c

c

?

cG

c5，定7如果函數(shù)()擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，那么f()在有各奇點(diǎn)（包點(diǎn)）的留數(shù)的總和必等于零。例3

計(jì)算積分

2iz2

dza．解

首先，弄清被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部有無奇點(diǎn)．

出被積jj-讓函數(shù)的奇點(diǎn)有a與a21因，所以，，又因故z，即在積分路徑內(nèi)部只有被221積函數(shù)的一個(gè)奇點(diǎn)．其次，經(jīng)檢驗(yàn)，得

z

2iaz

dzi

z

2iaz

z)i)1za2

2i(z)(z)12

]§3留數(shù)在積分計(jì)算上應(yīng)用1.形如

2π

R(cos

積分0通過一定的轉(zhuǎn)化，可得

2π

(z)dz0

z例

計(jì)算I

20

cos212

dpR(x)dx的積2.形如通過一定的轉(zhuǎn)化，可得R(xx

()(z)

nPz)dx2iz)Q(z)j例4

計(jì)算積分

4

2

2

dx．解

經(jīng)驗(yàn)證，此積分可用公式一計(jì)算．首先，求出

()Qz)z

4

z2

2

在上半平面的全部奇點(diǎn)．令42即z

4

2

(

4

2

2z

2

2

2jj-讓(z

2

2

于是，

(z)(z)

在上半平面的全部奇點(diǎn)只有兩個(gè)：13i與i222且知道與均為

(z)(z)

的一級極點(diǎn)．其次，算留數(shù)，有()zQ(z)(zz

13i43i()z2Res(lim(zQ(z)z(zz

13i43i最后，將所得留數(shù)代入公式得

2()(z)dx,Res(4xQ(z)(3

3.形如

(x)exdx(ax)

(x(x)

)的分

(x)(x)

nPz)eikxdx2eikz,)Q(z)j例5

計(jì)算積分

2

eix

2

dx,a0解經(jīng)驗(yàn)證，該積分可用公式二計(jì)算．eiz首先，求出輔助函數(shù)(z)在上半平面的全部奇點(diǎn)．-讓由

2

2

0解得zaizi為f()奇點(diǎn)，而0所以，fz)在上半平面只有一個(gè)奇點(diǎn)其次，計(jì)算留數(shù)．有

ai

且ai為fz)的一級極點(diǎn)．eizRes(,i)i)2zai

eiz(zi)

eai最后，由公式得

2

ei

2

dxi

2

ei

2

ai)

于是容易得到

d與e