高等數(shù)學(xué)下冊試題 題庫 及參考答案

2于2于高數(shù)下試庫一、選擇題（題4，共分）知AB(1,2,1)是空AB

A）A）B）C））解

AB

={1-1，2-0，1-2}={0，，，|AB|=

025

.設(shè)a={1,1,3},-1,2}求c=3-b是BA）{,5}.{-1,5}.C）{1,-1,5}.D）{-1,6}.解

c=3ab=3{1,2{2,-4,4}={1,5}.設(shè)a={1,1,3},-2}，求用基j,k表示量;A）Ai-2j+5k）-i-jC）-i-j+5i-j解c2,5}=--2j+5k.

xyxy0

C）A）

2

B）

4

C

3

D解

（6-21）有

22

112

12

．MM1A）2x+3y=5=0

）C）D）

x0

解

兩12

B

(

6微分方程xyy

y

4

y

的階數(shù)是()A．3B．4C．5D．27．微分方程

通解中應(yīng)含的獨立常數(shù)的個數(shù)為(A)。A．3B．5C．4D．2

8．下列函數(shù)中，哪個是微分方程0解(B)。A．y2

B．

2

C．y

D．y9．微分方程

2

的一個特解是(B)。A．yx

B．

C．y

D．y10．函數(shù)yx下列哪個微分方程的解(C)A．y

B．y

0

C．

y0

D．y

11．C是方程y2

，其C為任意常數(shù)。1A．通解B．特解C．是方程所有的解D．上述都不對12．y

滿足

x

2的特解是(B)。A．yB．y2x

C．2

x2

D．y

x13．微分方程的一個特解具有形式(C)。A．y

*

asin

B．y

*

axC．y

*

xxcos

D．

*

cossinx14．下列微分方程中，(A)是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。A．y

B．C5

D．y

15．微分方程y

滿足初始條件y)。Aex

Be

x

Ce

x

D．

16．在下列函數(shù)中，能夠是微分方程

函數(shù)是(C)。A．y

B．yx

C．yx

D．y

x17．過2的曲線方程yy是(C)。A．y

B．y

C．y

，y

D．y

18．下列微分方程中，可分離變量的是(B)。

xxA．

B．b(k,a,是常數(shù))C．sinyx

D．

x19．方程

0通解是(C)。A．yx

B．y4

x

C．C

D．yx20．微分方程

dxdy滿足|4的特解是(A)。yxA．

y

25

BxC

C．

C

D．x

y

21．微分方程

的通解B)。A．

BCx

C．

D．x22．微分方程y

解為(B)。Aex

Be

Ce

x

D．

23．下列函數(shù)中，為微分方程xdxydy0的通解是(B)。A．xyC

B．

C

C

D．Cx

y024．微分方程ydy通解為(A)。A．2

B．

C．yx

D．y25．微分方cossin的通解是(D)。AsinyCCxsin

ByCD．cosxyC26．y

的通解為yC)。A

B

C

xC

D

xC

27．按照微分方程通解定義，通解是A)。Axx1

2

B1

2Csinx1

2

D．sin1

2

00r00r一單選題2．設(shè)函數(shù)f點（D)

0

0

處連續(xù)是函數(shù)在該點可偏導(dǎo)的(A)充分而不必要條件;(B)必要而不充分條件;(C)必要而且充分條件;(D)既不必要也不充分條件3．函數(shù)點y偏數(shù)存函數(shù)在該可微分的0(B).(A)充分而不必要條件;(B)必要而不充分條件;(C)必要而且充分條件;(D)既不必要也不充分條件4．對于二元函數(shù)f(y),下列結(jié)論正確的是().CA.若limf(x,y)A,則必有l(wèi)imfxy且有l(wèi)imf(xy)A;xyy

xx

yB.若,y)處

和都存在,則在()處f(x,y)可微C.若,y)處和存在且連續(xù),則在(y處f(x,y)微;D.若

zzz和都存在,則..22r6.向(A)3(B)

（A）(C)

(D)25已知三點（121112）MAAB=（C(A)-1；(B)1(C)0；(D)26．已知三點M（0，1（2（2，1，3），則MA|（B

））2;

(B)22;(C)2;(D)-2;7．設(shè)D為園域x

y

ax(0),化積

Fx,yd

為二次積分的正確方法是_________.D

DA.

2a

dx

a

f()

B.2

2a

2a

f(x)0

0

0C.

(

cos

D.

22

2cos0

f

dxdx12222dxdx1222228．設(shè)I

ln

f(x),改變積分次序,則I______.

B

A.

ln3

dy

f(x,y)

B.

ln3

dy

e

f(x,C.

ln3

()dx

D.

dy

ln

f(x,)

9．二次積分

cos

f(

cos

sin

可以寫成___________.D

A.

1y

f(xy)dx

B.

1

dy

f(xydx0

0

0

0C.

1

f(x)

D.

1

dx

x

f(y)0

0

010．是由曲面x2y22z2所成的空間區(qū)域，在柱面坐標系下將三重積分Iy表示為三次積分I

CA．

2

2

f()dz0

0

0B.

2

2

d

2

f(

sin

z)

C．D．

0

0002d000

fz)(z11．設(shè)L為xy面內(nèi)直線段，其方程為:a,cy則（C）（A）（B）c（C）0（D）12．設(shè)L為xy直線段，其方程為:xd，則（C）（A）（B）c（C）0（D）

LL

PP13．（D）

設(shè)

有

級

數(shù)

n

n

,

則

lim0nn

是

級

數(shù)

收

斂

的(A)(C)

充分條件；(B)既不充分也不必要條件；(D)

充分必要條件；必要條件;

14．

冪

級

數(shù)

n

的

收

徑

半

徑R=（D）

n(A)3(B)0(C)2(D)115．（A）

冪

級

數(shù)

1n

x

的

收

斂

半

徑

R(A)1(B)0(C)2(D)316若

an

n

的斂半R，

an

n

的（A）

n

n(A)

(B)2(C)

R

(D)無法求得17.lim則級()DnnA.C.

收斂且和為B.發(fā)散D.

收斂但和不一定為可能收斂也可能發(fā)散18.為正項級數(shù),則()nnA.收斂B.收斂,nnn

2n

收斂BC.若

2,也收斂D.nnn

發(fā)散,limn19.設(shè)冪級xnn

n

在點x處收斂則該級數(shù)在()AA.絕對收斂B.條件收斂C.

發(fā)散D.斂散性不定20.級數(shù)

sinn!n

(,則該級數(shù)()BA.是發(fā)散級數(shù)B.是絕對收斂級數(shù)C.是條件收斂級數(shù)D.可能收斂也可能發(fā)散二、填空題（題4，共分）1.ab=（公式）答案∣∣?∣b∣

a

)

zyzzxyarcsinxyx2.a=(a，(bb，)則a·bzyzzxyarcsinxyx3.aij

（計算）答案

aaxybbxy

ab

zz4.

[abc]答案

5.平的點法式方程是答案

xy()006.設(shè)

z

，其定義域為

(

y

y

x)y7.設(shè)

fx,xy

，則

fx

(

fx

)8.

f

f

在該點連續(xù)的

的條件，

ff

在該點可微分的

的條件(分，必)9.

zf

及存是

f

在該點可微分的

條件(必要)10.在橫上填上方程的名稱0方程的名稱是答案可分離變量微分方程；②xy

2

xy

2

ydy方程的名稱是答案可分離變量微分方程；③

y方程的名稱是答案齊次方程；④

sinx程的名稱是

答案一階線性微分方程；⑤y

0程的名稱是答案二階常系數(shù)齊次線性微分方程.11.在間角坐標{;

ij,k}，(2,－3,，(a)關(guān)于坐平面；(2)坐軸；(3)坐原點的各個對稱點的坐.[解：M(a)關(guān)于xOy平面的對稱點坐標為(ab－c，M(ab)于yOz平的對稱點坐標為(－ab)M(ab)于xOz平的對稱點坐標為(a－,)，M(ab)于x軸面對稱點坐標(－b,，M(ab)于y軸對點的坐標(－a,b,)，M(ab)于z軸對稱點的坐標為－,－b).類似考慮P－3，－即12.要下列各式成立，量

,b

應(yīng)滿足什么條件？（1）（3）（5）

a;aab;a.

（2（4）

ab;aa[解]）ab所的直線垂直時有

aa

；（2,同向時有ab;（3

b且a,b反時有b;（4,反向時有aab;（5,同向，且時有aa13.下情形中的矢量終各構(gòu)成什么圖形？（1把空間中一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點；（2把平行于某一平面的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點；（3把平行于某一直線的一切矢量歸結(jié)到共同的始點；（4把平行于某一直線的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始.[解]）位球面；（2）位圓（3直線；（）相距為兩點二填題1．設(shè)f(x,yx1)ln(x2y則f___1___.2．設(shè)xf(0,1)=____0______.3．二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的公式是4．三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式是5．柱面坐標下的體積元素dv

z6．設(shè)積分區(qū)域D:x

,

,

3。D

11dx11dx7．設(shè)D由曲線sin

所圍成則

2D8．設(shè)積分區(qū)域D為1x

y

,

2

D9．設(shè)1]上連續(xù)，如

1

f0則010．設(shè)為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則

.L11．設(shè)L為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則L

012．等比級aq0)當q時，等比級aq收斂.n13．當____時，數(shù)是收斂的.pn14．當_________時,級絕對收斂的.nn15．若(x,

xy

,則_________.

,16．若f(y)xy

2x

,則fy)_________.

y

17．ux,du_________.

zdydz18．設(shè)zyx

,則

lny(lnyx

y

lnx19.積分

2x

e

dy的值等于_________.

12

(1,20.為園域x

a

,

2

2

,則

2D21.設(shè)Ix2y22,則I

43

a

三、是題

（每題4分共20分）初函數(shù)的定義域是其自然定義域的真子ⅹ

)

x

sinxx

ⅹ)

x

xx3

ⅹ)對任意實數(shù)

x

恒

xx

成立(ⅹ

)

是指數(shù)函數(shù)ⅹ)函

ylogx

的定義域是

(ⅹ

)

3

√

)如對于任意實數(shù)

恒

f

那

f

為常函數(shù).(√

)存既為等差數(shù)又等比數(shù)列的數(shù)√)10.指函是基本初等函.(√

)11.

lim

xx

√)12.函

yx3

為基本初等函數(shù).(√

)13.

xa

1a

x

a

ⅹ)14.

arcsin

是基本初等函數(shù).ⅹ)15.與是價無窮小量.(ⅹ)16.

與

為等價無窮小量.(ⅹ

)17.若數(shù)

f

上單調(diào)遞增那對于任意

f

ⅹ)18.存既奇函數(shù)又為偶函數(shù)的函ⅹ)19.當函

f

在原點處有定義,一成立

f

√)20.若函

yf

f

21.若函

yf

f

22.偶數(shù)奇函數(shù)的乘積為奇函.√

)23.奇數(shù)奇函數(shù)的乘積為偶函.√)24.若數(shù)

f

為奇函數(shù),那一定成立

f

(√

)25.若數(shù)

f

為偶函數(shù),那一定成立

f

ⅹ)

26.

cos

ⅹ

)27.

cossin2x

ⅹ

)28.

ⅹ

)29.

sin

ⅹ)30.單函一定存在最大值與最小ⅹ)31.單函一定存在反函.(√

)32.互反數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx對.√

)33.若義為

f

存在反函數(shù)那

f

√)34.

lim

12

√

)35.對任的

,

恒

√

)36.函的要素:定域?qū)Ψ▌t與值域(√

)37.若數(shù)

f

在其定義域內(nèi)處處有切線,那該函數(shù)在其義域內(nèi)處處可.(

)38.空是意初等函數(shù)的定義域的真子.(ⅹ

)39.

sini

為初等函數(shù)(ⅹ

)i40.對任的

xR

恒

x

ⅹ

)41.左導(dǎo)處處存在的函,一處處可.(ⅹ)下列題．×；．×；3．√；4．×；5．√）1．任意微方程都有通解。(×)2．微分方的通解中包含了它所有的解。(×)3．函數(shù)微分方程y

(√)4．函y

x

是微分方程

解。(×)5．微分方xy的通解是y

12

(C為任意常數(shù))。√

)下列是題（1．×；．√；3．√；4．×；5．×1．可分離量微分方程不都是全微分方程。()

n!nn!n2．若y12可表為1123．函y

x

是微分方程y

1

解。()124．曲線在斜率等于該點橫坐標的平方，則曲線所滿足的微分方程是

(C是任意常數(shù))。()5．微分方y(tǒng)

，滿足初始條件|

x

的特解e

12

e

2x

。(

)是非題．×；．√1．只要n階線性微分方程n個特解，能寫出其通解。2．已知階線性齊次方程y

y，即可四、計算證明題（每題，共40）1、判斷積數(shù)收斂性

(

2n!解：

lim

(n(n．

由比值法，級數(shù)ydyydxxdy

(

2n!

發(fā)散解：兩邊同除以x2，：即

y1yx．

dyydxx解：兩邊同除以x，令

則

dydx即

dydx

u

得到1clnyu21即xlny

，另外y0

也是方程的解。．

解：ydx得到

1dxy2即

x1y2

另外0

也是方程的解。．方程

y

0

的通解.解:所方程的特征方程為所求通解為

y

Csin2x)1

6.解

.．方程

y

0

的通解.解所給程的特征方為

r2r

22[]x1x4x922[]x1x4x9dxdy1其根為

rr1所以原方程的通解為

x

C

x8.

證明

lim

22

極限不存在8因為

lim

xy2xy

xy

x2yx2y

0

所以極限不存在9.

證明

lim

xyy

極限不存在9設(shè)，

yx2

ky42

不等于定值，極限不存在10.計D

其中D是由直線x及所圍成的閉區(qū)域解畫區(qū)域D可把D看成是X11D

xydy

211221

(x

3

[]28

注積分還可以寫

2x2

111：x=0,y=1的特解。y

：

y=0也是原方，，y=0為y=

c=1為y=e

.y

并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。：

dxyx分-y

1ln|c(

....外x=0,y=1時c=e：y=

1ln|c(|

x

2

xy)dy

，xdxydy

13

x

y

x

2

(4yx)

.

xdydxydy

x

3

xyy

2

15.求

,)

xy

解

lim(,y)

xy

lim(,y)

(xyxy

lim(

xy16.求z

在點(處的偏導(dǎo)數(shù)解xy

1222x1222xy117.設(shè)z3

、、和解

xyyx

3

y

2

xy

2

2y

yy

18.驗證函數(shù)lnx22滿足方程

證因為

2

2

2

2

2

以xx22

yx2因此

()(2)2)2(x(x22)(x)(x2)2(219.計算函數(shù)z全微分解因為2y所以dz

)dy20.函數(shù)z2

在點(0處有極小值當()時(x此z是函數(shù)的極小值21.函zx

2

2

在點(0處有極大值當()時當(x時此是函數(shù)的極大值22.已知三角形ABC的頂點分別是A(1的面積解根據(jù)向量積的定義形面積

ABC

|||AB|22

由于AB

11212an11212an

ijkABAC1

于是

ABC

|4jk2

23.設(shè)有點A和線段的垂直平分面的方程解由題意知道所求的平面就是與A和等距離的點的幾何軌跡設(shè)Mx)為所求平面上的任一點則有即

(x

2

2

2

(x

2

2

2

等式兩邊平