勾股定理及其逆定理知識(shí)結(jié)構(gòu)及典型例題解析

勾股定理及逆定理知識(shí)構(gòu)及典型例解析【考要】了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題；加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題．以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．【識(shí)絡(luò)【點(diǎn)理考一勾定勾股理直角三角形兩直角邊

、

的平方和等于斜邊

的平方（：

2

）【點(diǎn)釋勾股定理也叫商高定理，西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直邊的平方和等于斜邊的平.勾股理證：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變；根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定.勾股理應(yīng)勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中Cca，bc，

；知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問.考二勾定的定1.原題與命如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如1把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命.2.股理的定勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)

a、、滿足a

22

，那么這個(gè)三角形是直角三角.【點(diǎn)釋①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為”來確定三角形的可能形狀；②定理中，b，c及a

只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，，滿足

，那么以a，為三邊的角形是直角三角形，但是b為邊；③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，個(gè)三角形是直角三角形3.股①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，a

中，a，，為整數(shù)時(shí)，稱，b，c一組勾股數(shù)；②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3；；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組股數(shù)：n

,n

（n為整數(shù)2n

nn

為整數(shù)）mmn,m（m,m，為整數(shù)）考三勾定與股理定的別聯(lián)區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有【型題類一勾定及逆理綜應(yīng)1．在正方形ABCDE是BC的點(diǎn)，F(xiàn)為CD上點(diǎn)，且角三角形？試說明理由．

，試判eq\o\ac(△,)AEF否是直【思路點(diǎn)撥】首先設(shè)正方形的邊為，則CF=aDF=3a，CE=BE=2a．根據(jù)勾股定可求出AF，AE和EF的度．如果它們?nèi)齻€(gè)的長(zhǎng)度滿足勾股定理eq\o\ac(△,)為角三角形，否則是直角三角形．【答案與解析】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，222222222222E是BC中點(diǎn)，，CF=aDF=3a．由勾股定理得=16a+9a=25a=CE+CF=4a+a=16a+4a=20a，AF=EF2，∴△直角三角形．【總結(jié)升華勾定理的應(yīng)用．在解答此類題時(shí)有一個(gè)小竅門，題干中各邊長(zhǎng)都沒有給出確定的，我們已知各邊長(zhǎng)的比值，這時(shí)我們可以將邊長(zhǎng)設(shè)成具體的值．這樣解題時(shí)用到的都是數(shù)字，表達(dá)便．舉反：【變】如，矩形ABCD對(duì)角線AC=10，BC=8則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為（A.14B.16C.20D.28【答案D.根據(jù)題意可知五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴AB=6，圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為6+8+6+8=282．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.則BD的長(zhǎng)（）.A.

14

B.

C.

32

D.

3【思路點(diǎn)撥以A為心AB長(zhǎng)半徑作圓，延長(zhǎng)BA交⊙于F，連接DF．eq\o\ac(△,在)中由勾股理即可求出BD的．【答案與解析A為圓長(zhǎng)半徑作圓BA交⊙接DF證∠FDB=90°∠CBF∴DF=CB=1，BF=2+2=4，∴BD=BF

15故選B．【總結(jié)升華本考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出以A圓心AB長(zhǎng)為徑的圓，構(gòu)建直角三角形32222從而求解．舉反：【變】如，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cmAC是面圓的直徑，高，P是線BC上點(diǎn)且．只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A4+

）cmB．5cmC．cmD．7cm【答案】【解析】解：側(cè)面展開圖如圖所示：圓的底面周長(zhǎng)6cm，AC．PC=BC，PC=×6=4cm．在eq\o\ac(△,Rt)中AP=AC+CP，．故選B類二勾定及逆理其知的合用3．如圖，在Rt中∠ACB，AC＝BC＝1將△ABC繞A點(diǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點(diǎn)B經(jīng)的路徑為弧BD則圖中陰影部分的面積．4【思路點(diǎn)撥先根據(jù)勾股定理得到＝

，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出S，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Rt△ADE△ACB，于是S＋S＝S【答案與解析】∵∠ACB，AC＝BC＝1，∴AB＝，∴S＝

30

2)360

,又∴Rt△ABC繞點(diǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到eq\o\ac(△,Rt)，∴Rt△ADE△ACB∴S＝S＝【總結(jié)升華】本題考查了扇形的積公式：

．S

n360

．也考查了勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．考點(diǎn)涉及到扇形面積的計(jì)算；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性.4.如，矩形紙片中已AD=8，折疊紙片使AB邊與角線AC重，點(diǎn)B落點(diǎn)F處折痕為，EF=3，則AB的為().A.3B.4C.5D.【思路點(diǎn)撥先據(jù)矩形的特點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出△是角三角形，利用勾股定理即可求出CF的，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的．【答案與解析】∵四邊形ABCD是矩形，AD=8∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，

CE

，設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，=AB+BC，（）=x+8，得，故選D．【總結(jié)升華本考查的是翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．5舉反：【變】如為梯形紙片ABCD，E點(diǎn)BC，且∠AEC＝∠C＝∠D，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE為線，將C折BE，使得CD與AB交于點(diǎn)則BF長(zhǎng)度為何（）.A【答案B．

BC．5.5D．65個(gè)方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)面圖所示方DEFH的長(zhǎng)為2米角∠A＝30°，∠B，BC米當(dāng)正方DEFH動(dòng)到什么位置，即當(dāng)

米時(shí)，有DC＝AE＋BC．【思路點(diǎn)撥根據(jù)已知得出假設(shè)AE，可得EC＝12－x利用勾股定理得出DC＋EC＝4＋－x），AE＋BC＝x＋36，即可求x的值【答案與解析】假設(shè)AE＝x，可得＝12－x，∵坡角∠A＝30°，＝90°，BC＝6，∴AC＝12米，∵正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，＝2，∴DC＝DE＋EC＝4＋（12－x），AE

＋BC＝x＋36，∵DC＝AE＋BC，∴4＋（12－x）＝x＋3614解得：＝．3故答案為：

143

．6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【總結(jié)升華】此題主要考查了勾定理的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知表示出CE的度是解決問題的關(guān)鍵．6.某藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造．測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m．現(xiàn)要將其擴(kuò)建等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直邊的直角三角．求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥原并沒有給出圖形，要根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，畫出圖形后，可知本題實(shí)上應(yīng)三類情況討論：一是將△ABC沿直AC折180°，得等腰三角形ABD，如圖；是延長(zhǎng)BC至D，使CD＝4，則BD＝10得等腰三角形，如圖；三是作斜邊AB的中線交BC的長(zhǎng)線于D則DA＝DB，得等腰三角形ABD，圖3．先作出符合條件的圖形后，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可．【答案與解析】分三類情況討論下：（1如圖1所，原來的花圃為eq\o\ac(△,Rt)ABC，其中BC＝6m＝8m∠ACB．勾股定理易AB＝10m，將△ABC沿線AC翻折180°，得等腰三角形，此時(shí)AD＝10m，CD．故擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)為12＋10＋10＝32（m（2）如圖2，因?yàn)锽C＝6m，CD＝4m所以BD＝AB＝10m在Rt△ACD中由勾股定理得AD＝

4

2

8

2＝4

5

，此時(shí)，擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)為4

5

＋10＋10＝20＋4

5

．（3如圖3，設(shè)△ABD中DA，再設(shè)CD＝xm則DA＝(x＋6)m，Rt△ACD中由勾股定理得x＋87＝(x，得x＝3∴擴(kuò)建后等腰三角形花圃的周長(zhǎng)10＋2(x＝BB

803

（mC

A

6

A

8+6

1

D

圖

D

【總結(jié)升華對(duì)無附圖幾何問題，往往需要根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合已知條件及圖形分析求解這樣便于尋找解題思路．舉反：7【變望中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃，現(xiàn)可直接測(cè)量