【高三數(shù)學一輪復習】由遞推公式求通項的7種方法及破解數(shù)列中的3類探索性問題課件

由遞推公式求通項的7種方法及破解數(shù)列中的3類探索性問題一、由遞推公式求通項的7種方法

1、an＋1＝an＋f(n)型把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－a

n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．

[例3]

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.

[解]設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3)．

5、an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，與已知遞推式比較，解出x，y，從而轉(zhuǎn)化為{an＋xn＋y}是公比為p的等比數(shù)列．

[例5]

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an.

6、an＋1＝pa(p>0，an>0)型這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an＋1＝pan＋q型數(shù)列，再利用待定系數(shù)法求解．二、破解數(shù)列中的3類探索性問題

1．條件探索性問題

此類問題的基本特征是：針對一個結(jié)論，條件未知需探求，或條件增刪需確定，或條件正誤需判定，解決此類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結(jié)論成立的充分條件，在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充分條件，應引起注意．

[例1]已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n項和Sn滿足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(2)設(shè)cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．

[思路點撥]

處理第(2)問中的cn＋1>cn恒成立問題，可通過構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再來研究所構(gòu)造的函數(shù)的最值．

[解]

(1)由已知得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)．又a2－a1＝1，所以數(shù)列{an}是以a1＝2為首項，1為公差的等差數(shù)列．所以an＝n＋1.

因為bn＋1＝4bn＋6，即bn＋1＋2＝4(bn＋2)，又b1＋2＝a1＋2＝4，所以數(shù)列{b2＋2}是以4為公比，4為首項的等比數(shù)列．所以bn＝4n－2.

(2)因為an＝n＋1，bn＝4n－2，所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1>cn成立，需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，化簡得3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立，即(－1)n－1λ<2n－1恒成立，①當n為奇數(shù)時，即λ<2n－1恒成立，當且僅當n＝1時，2n－1有最小值1，所以λ<1；②當n為偶數(shù)時，即λ>－2n－1恒成立，當且僅當n＝2時，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.

又λ為非零整數(shù)，則λ＝－1.

綜上所述，存在λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．

[點評]對于數(shù)列問題，一般要先求出數(shù)列的通項，不是等差數(shù)列和等比數(shù)列的要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列．遇到Sn要注意利用Sn與an的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為an，再研究其具體性質(zhì)．遇到(－1)n型的問題要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況進行討論，本題易忘掉對n的奇偶性的討論而致誤．

2．結(jié)論探索性問題此類問題的基本特征是：有條件而無結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定．解決此類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論，在探索過程中常可先從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結(jié)論，再就一般情形去認證結(jié)論．

[思路點撥]處理第(2)問中的是否存在問題，可先假設(shè)存在正整數(shù)m，n，把m，n轉(zhuǎn)化為一個變量求出這個變量的范圍，根據(jù)正整數(shù)求其值，若在所求范圍內(nèi)能夠得到適合題目的值，則存在，否則就不存在．第(3)問中Tn與9的大小比較可以通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)比較Tn與9的大?。甡[解]

(1)因為a＝2a＋anan＋1，即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0.又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1.所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列．由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n(n∈N*)．

[點評]對于結(jié)論探索性問題，需要先得出一個結(jié)論，再進行證明．注意含有兩個變量的問題，變量歸一是常用的解題思想，一般把其中的一個變量轉(zhuǎn)化為另一個變量，根據(jù)題目條件，確定變量的值．遇到數(shù)列中的比較大小問題可以采用構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行證明，這是解決復雜問題常用的方法．

3．存在探索性問題此類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立．解決此類問題的一般方法是：假定題中的數(shù)學對象存在或結(jié)論成立或暫且認可其中的一部分結(jié)論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用．

(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am－1，as－1，an－1成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．

[思路點撥]

第(1)問中an＋1與an的關(guān)系以分式形式給出，可以通過取倒數(shù)處理，目的仍然是變?yōu)榈炔?/p>