【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 121計(jì)數(shù)原理與概率課件（北師大）

1．排列與組合是中學(xué)數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立性較強(qiáng)的一部分，也是密切聯(lián)系實(shí)際較強(qiáng)的一部分，一直是高考必考內(nèi)容．從近幾年各地高考試題看，預(yù)計(jì)仍會(huì)出排列、組合試題，試題的難度為“較易”到“中等”程度；排列、組合的試題仍會(huì)以現(xiàn)實(shí)生活中的生產(chǎn)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等為背景．2．歷年高考的二項(xiàng)式定理試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，是多年來(lái)缺少變化的試題；考查內(nèi)容還是以每年考的幾方面為主，難度不大；重點(diǎn)考查的內(nèi)容主要有：求多項(xiàng)式系數(shù)和、求某項(xiàng)系數(shù)、求二項(xiàng)式中的參數(shù)值、求常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)、求整數(shù)余數(shù)、求近似值；試題常以選擇或填空形式出現(xiàn)，有時(shí)解答題也會(huì)涉及到這些內(nèi)容，難度與課本習(xí)題相當(dāng)．3．古典概型與幾何概型是兩種最基本的概率問(wèn)題，是高考重點(diǎn)關(guān)注的一個(gè)點(diǎn)，但深度有限．幾何概型只要求會(huì)解決與長(zhǎng)度、面積、體積相關(guān)的概率問(wèn)題，重點(diǎn)是理解概率、學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化、計(jì)算準(zhǔn)確快捷，不宜過(guò)于深化與拓展．4．隨機(jī)變量及其分布在高考中多以解答題的形式出現(xiàn)，分值一般在12分左右，屬中、低檔題．重點(diǎn)考查離散型隨機(jī)變量的分布列，以及由此分布列求隨機(jī)變量的均值、方差，特別是二項(xiàng)分布．1．(1)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本原理，它貫穿于本單元學(xué)習(xí)的始終，體現(xiàn)了解決問(wèn)題時(shí)將其分解的兩種常用方法，即把問(wèn)題分類解決或分步解決，是本單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)．(2)正確區(qū)分使用兩個(gè)原理是學(xué)好本單元的關(guān)鍵．區(qū)分“分類”與“分步”的依據(jù)在于能否“一次性”完成．若能“一次性”完成，則不需“分步”，只需分類；否則，就分步處理.2．二項(xiàng)式定定理是一個(gè)恒恒等式，對(duì)待待恒等式通常常有兩種思路路：一是利用用恒等定理(兩個(gè)多項(xiàng)式式恒等，則對(duì)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相相等)；二是是賦值．這兩兩種思路相結(jié)結(jié)合可以使很很多二項(xiàng)式展展開式的系數(shù)數(shù)問(wèn)題迎刃而而解(要注意意二項(xiàng)式系數(shù)數(shù)與二項(xiàng)式展展開式的系數(shù)數(shù)之間的區(qū)別別)．3．(1)概概率問(wèn)題應(yīng)用用廣泛，貼近近生活，本部部分知識(shí)既有有必修內(nèi)容，，也有選修內(nèi)內(nèi)容．隨著高高考改革的不不斷深入，概概率問(wèn)題正逐逐步成為高考考的熱點(diǎn)內(nèi)容容．(2)解決概概率應(yīng)用問(wèn)題題時(shí)，首先熟熟悉幾種常見(jiàn)見(jiàn)的概率類型型，熟練掌握握其計(jì)算公式式；其次還要要弄清問(wèn)題所所涉及的事件件有什么特點(diǎn)點(diǎn)，事件之間間有什么聯(lián)系系．4．求隨機(jī)變變量的分布列列，重要的基基礎(chǔ)是概率的的計(jì)算，如古古典概率、互互斥事件概率率、相互獨(dú)立立事件同時(shí)發(fā)發(fā)生的概率，，n次獨(dú)立重復(fù)試試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率率等．5．對(duì)離散型型隨機(jī)變量的的方差應(yīng)注意意：(1)DX表示隨機(jī)變量量X對(duì)EX的平均偏離程程度，DX越大，表明平平均偏離程度度越大，說(shuō)明明X的取值越分散散，反之DX越小，X的取值越集中中，在EX附近，統(tǒng)計(jì)中中常用來(lái)來(lái)描述ξ的分散程度；；(2)DX與EX一樣也是一個(gè)個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一一確定．考綱解讀1．理解分類類加法計(jì)數(shù)原原理和分步乘乘法計(jì)數(shù)原理理．2．會(huì)用分類類加法計(jì)數(shù)原原理或分步乘乘法計(jì)數(shù)原理理分析和解決決一些簡(jiǎn)單的的實(shí)際問(wèn)題.考向預(yù)測(cè)1．對(duì)兩個(gè)原原理的考查一一般只在選擇擇、填空題中中出現(xiàn)．2．注意分類類討論思想和和補(bǔ)集思想的的應(yīng)用．知識(shí)梳理1．分類加法計(jì)數(shù)數(shù)原理完成一件事，，可以有n類辦法，在第第一類辦法中中有m1種方法，在第第二類辦法中中有m2種方法，………，在第n類辦法中有mn種方法，完成成這件事共有有N＝種方法(也稱稱加法原理)．2．分步乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理完成一件事，，需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一一不可，做第第一步有m1種方法，做第第二步有m2種方法，………，做第n步有mn種方法，那么么，完成這件件事共有N＝種方法(也稱稱乘法原理)．m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3．分類加法法計(jì)數(shù)原理與與分步乘法計(jì)計(jì)數(shù)原理，都都涉及的不同方法的的種數(shù)，它們們的區(qū)別在于于：分類加法法計(jì)算原理與與有關(guān)，，各種種方法法，用其其中的的任一一種方方法都都可以以完成成這件件事；；分步步乘法法計(jì)算算原理理與有關(guān)，，各個(gè)個(gè)步驟驟，只有有各個(gè)個(gè)步驟驟都完完成了了，這這件事事才算算完成成．完成一一件事事情分類相互獨(dú)獨(dú)立分步相互依依存基礎(chǔ)自自測(cè)1．(2009年全全國(guó)卷卷Ⅱ)甲、、乙兩兩人從從4門門課程程中各各選修修2門門，則則甲、、乙所所選的的課程程中恰恰有1門相相同的的選法法有()A．6種B．．12種C．24種種D．．30種[答案案]C[解析析]4門課課程，，有1門相相同，，則4種選選法，，不同同的課課程選選法，，甲有有3門門，乙乙就有有2門門，所所以共共有4×3×2＝24(種)．2．某銀行行儲(chǔ)蓄蓄卡的的密碼碼是一一個(gè)4位數(shù)數(shù)碼，，某人人采千千位、、百位位上的的數(shù)字字之積積作為為十位位、個(gè)個(gè)位上上的數(shù)數(shù)字(如2816)的方方法設(shè)設(shè)計(jì)密密碼，，當(dāng)積積為一一位數(shù)數(shù)時(shí)，，十位位上數(shù)數(shù)字選選0，，千位位、百百位上上都能能取0.這這樣設(shè)設(shè)計(jì)出出來(lái)的的密碼碼共有有()A．90個(gè)個(gè)B．．99個(gè)C．100個(gè)D．112個(gè)[答案案]C[解析析]由于千千位、、百位位確定定下來(lái)來(lái)后十十位、、個(gè)位位就隨隨之確確定，，則只只考慮慮千位位、百百位即即可，，千位位、百百位各各有10種種選擇擇，所所以有有10×10＝＝100(個(gè))．[答案案]A[解析析]本題主主要考考查分分步計(jì)計(jì)數(shù)原原理知知識(shí).1名名同學(xué)學(xué)有5種選選擇，，則6名同同學(xué)共共有56種選擇擇．4．(2011·哈哈爾濱濱模擬擬)有有A、B兩種類類型的的車床床各一一臺(tái)，，現(xiàn)現(xiàn)有甲甲、乙乙、丙丙三名名工人人，其其中甲甲、乙乙都會(huì)會(huì)操作作兩種種車床床，丙丙只會(huì)會(huì)操作作A種車床床，先先從三三名工工人中中選2名分分別去去操作作以上上車床床，則則不同同的選選派方方法有有()A．．6種種B．．5種種C．．4種種D．．3種種[答答案案]C[解解析析]若選選甲甲、、乙乙2人人，，則則包包括括甲甲操操作作A車床床，，乙乙操操作作B車床床或或甲甲操操作作B車床床，，乙乙操操作作A車床床，，共共有有2種種選選派派方方法法；；若若選選甲甲、、丙丙2人人，，則則只只有有甲甲操操作作B車床床，，丙丙操操作作A車床床這這1種種選選派派方方法法；；若若選選乙乙、、丙丙2人人，，則則只只有有乙乙操操作作B車床床，，丙丙操操作作A車床床這這1種種選選派派方方法法．．∴共有有2＋＋1＋＋1＝＝4(種種)不不同同的的選選派派方方法法．．5．古古代代““五五行行””學(xué)學(xué)認(rèn)認(rèn)為為：：““物物質(zhì)質(zhì)分分金金、、木木、、土土、、水水、、火火五五種種屬屬性性，，金金克克木木，，木木克克土土，，土土克克水水，，水水克克火火，，火火克克金金．．””將將五五種種不不同同屬屬性性的的物物質(zhì)質(zhì)任任意意排排成成一一列列，，但但排排列列中中屬屬性性相相克克的的兩兩種種物物質(zhì)質(zhì)不不相相鄰鄰，，則則這這樣樣的的排排列列方方法法有有________種種(結(jié)結(jié)果果用用數(shù)數(shù)字字表表示示)．．[答答案案]10[解解析析]把“金、、木木、、土土、、水水、、火火”用“1,2,3,4,5”代替替：：以以“1”開頭頭的的排排法法只只有有“1,3,5,2,4”或“1,4,2,5,3”兩種種，，同同理理以以其其他他數(shù)數(shù)開開頭頭的的排排法法都都是是2種種，，所所以以共共有有2×5＝＝10(種種)．．6．甲甲、、乙乙兩兩個(gè)個(gè)自自然然數(shù)數(shù)的的最最大大公公約約數(shù)數(shù)為為60，，則則甲甲、、乙乙兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的公公約約數(shù)數(shù)有有________個(gè)個(gè)．．[答答案案]12[解解析析]兩數(shù)數(shù)的的公公約約數(shù)數(shù)一一定定是是最最大大公公約約數(shù)數(shù)60的的約約數(shù)數(shù)，，∵60＝＝22×3×5，，故故得得到到甲甲、、乙乙兩兩數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)公公約約數(shù)數(shù)需需分分三三步步．．第一一步步，，確確定定有有幾幾個(gè)個(gè)2，，共共3種種方方法法；；第第二二步步，，確確定定有有幾幾個(gè)個(gè)3，，共共2種種方方法法；；第第三三步步，，確確定定有有幾幾個(gè)個(gè)5，，共共2種種方方法法，，當(dāng)當(dāng)2,3,5都都不不取取時(shí)時(shí)，，公公約約數(shù)數(shù)為為1，，故故共共有有公公約約數(shù)數(shù)3×2×2＝12個(gè)．7．從{－－3，－－2，－－1,0,1,2,3}中任任取3個(gè)個(gè)不同的的數(shù)作為為拋物線線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的的系數(shù)．．如果拋拋物線過(guò)過(guò)原點(diǎn)，，且頂點(diǎn)點(diǎn)在第一一象限，，則這樣樣的拋物物線共有有多少條條？[解析]由題意得得c＝0，a<0，b>0，分分三步：：第一步：：a＝－3，，－2，，－1；；第二步：：b＝1,2,3；；第三步：：c＝0，故由分步步計(jì)數(shù)原原理知拋拋物線的的條數(shù)N＝3×3×1＝9(條)．．[例1]三邊邊長(zhǎng)均為為整數(shù)，，且最大大邊長(zhǎng)為為11的的三角形形的個(gè)數(shù)數(shù)是多少少？[分析]根據(jù)題目目中的條條件，列列出另兩兩邊滿足足的關(guān)系系式，然然后用列列舉法逐逐一求出出來(lái)，再再用分類類加法計(jì)計(jì)數(shù)原理理求解．．[解析]設(shè)較小的的兩邊長(zhǎng)長(zhǎng)為x，y，不妨設(shè)設(shè)x≤y，則當(dāng)x＝1時(shí)，y＝11；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝10,11；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9,10,11；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝8,9,10,11；當(dāng)x＝5時(shí)，y＝7,8,9,10,11；當(dāng)x＝6時(shí)，y＝6,7,8,9,10,11；當(dāng)x＝7時(shí)，y＝7,8,9,10,11；……當(dāng)x＝11時(shí)，y＝11.所以不同三角角形的個(gè)數(shù)為為1＋2＋3＋4＋5＋＋6＋5＋4＋3＋2＋＋1＝36.[點(diǎn)評(píng)]應(yīng)用分類加法法計(jì)數(shù)原理時(shí)時(shí)，首先要根根據(jù)問(wèn)題的特特點(diǎn)，確定好好分類的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)．分類時(shí)應(yīng)應(yīng)滿足：完成成一件事的任任何一種方法法，必屬于某某一類且僅屬屬于某一類．．(1)將4個(gè)個(gè)顏色互不相相同的球全部部放入編號(hào)為為1和2的兩兩個(gè)盒子里，，使得放入每每個(gè)盒子里球球的個(gè)數(shù)不小小于該盒子的的編號(hào)，則不不同的放球方方法有()A．10種B．20種種C．36種D．．52種[答案]A[解析]分為二類：①1號(hào)盒子放入入1個(gè)球，2號(hào)盒子放入入3個(gè)球，有有C41＝4種放球方方法；②1號(hào)盒子放入入2個(gè)球，2號(hào)盒子放入入2個(gè)球，有有C42＝6種放球方方法．∴共有C41＋C42＝10種不同同的放球方法法．(2)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述述條件的一對(duì)對(duì)有序整數(shù)對(duì)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，則則這樣的點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是()A．9B．14C．15D．21[答案]B[解析]∵P?①當(dāng)x＝2時(shí)，y≠1,2，∴y有7種選法；②當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，y≠1,2，∴y也有7種選法．∴共有滿足條件的點(diǎn)7＋7＝14個(gè).[例2]將將3種作物種種植在如圖所所示的5塊試試驗(yàn)田里，每每塊種植一種種作物且相鄰鄰的試驗(yàn)田不不能種植同一一種作物，不不同的種植方方法共有多少少種？[分析]3種作物種在在5塊試驗(yàn)田田里，也就是是5塊試驗(yàn)田田分別要種上上作物，可分分5份，從左左到右一塊一一塊的種，即即用分步乘法法計(jì)數(shù)原理求求解．[解析]設(shè)由左到右五五塊田中要種種a，b，c3種作物，不不妨先設(shè)第一一塊種a，則第二塊種種b，c，有兩種選法法．同理，如如果第二塊種種b，則第三塊可可種a和c，也有兩種選選法，由分步步乘法計(jì)數(shù)原原理共有1×2×2×2×2＝16.其其中要去掉ababa和acaca兩種方法．故a種作物種在第第一塊田中時(shí)時(shí)有16－2＝14種種種法．同理b或c也可種在第一一塊田中，故故共有3×(2×2×2×2－2)＝3×(16－2)＝42種．．[點(diǎn)評(píng)]①本題完成種種五塊地，要要分五步完成成，故應(yīng)用分分步乘法計(jì)數(shù)數(shù)原理．②解決問(wèn)題時(shí)，，應(yīng)理清思路路，按事情發(fā)發(fā)生的過(guò)程或或事情解決的的過(guò)程合理分分步.(1)定義集集合A與B的運(yùn)算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個(gè)數(shù)為為()A.34B．43C.12D．以以上都不對(duì)(2)使集合合A＝{－1,0,1}，B＝{2,3,4,5,6}，映射f：A→B，使得對(duì)任意意x∈A，都有x＋f(x)＋xf(x)是奇數(shù)，這這樣的映射f的個(gè)數(shù)是()A.12B．50C.15D．55(3)將4個(gè)個(gè)不同的小球球放入3個(gè)不不同的盒子，，其中每個(gè)盒盒子都不空的的放法共有()A.34種B．43種C.18種D．．36種(4)5位同同學(xué)報(bào)名參加加兩個(gè)課外活活動(dòng)小組，每每位同學(xué)限報(bào)報(bào)其中的一個(gè)個(gè)小組，則不不同的報(bào)名方方法共有()A.10種B．．20種C.25種D．．32種[答案](1)C(2)B(3)D(4)D[解析](1)顯然然(a，a)、(a，c)等均為A*B中的元素，，確定A*B中的元素是是由A中取一個(gè)元元素來(lái)確定定x，B中取一個(gè)元元素來(lái)確定(2)∵A中任一元素在B中有惟一元素和它對(duì)應(yīng)，由x＋f(x)＋xf(x)＝(x＋1)(f(x)＋1)－1知，x為奇數(shù)時(shí)都滿足，x為偶數(shù)時(shí)，必須f(x)為奇數(shù)，∴當(dāng)x＝－1或1時(shí)，f(x)可取B中任一元素，各有5種；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)只能取3或5，有2種．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×5＝50個(gè)映射．故選B.(3)4個(gè)個(gè)不同的小小球放入3個(gè)不同的的盒子，其其中每個(gè)盒盒子都不空空，則必有有一個(gè)盒子子放入2個(gè)個(gè)球．設(shè)4個(gè)球的編編號(hào)分別為為1,2,3,4，，則其中2個(gè)球放在在一個(gè)盒子子里的情況況有：1、、2,1、、3,1、、4,2、、3,2、、4,3、、4，計(jì)6種情況．．把2個(gè)球球放在一個(gè)個(gè)盒子里的的情況當(dāng)作作1個(gè)球和和另外2(4)因?yàn)槊咳司袃煞N選擇方法，所以不同的報(bào)名方法有25＝32種.[例3]現(xiàn)現(xiàn)有高三三四個(gè)班學(xué)學(xué)生34人人，其中一一、二、三三、四班各各7人、8人、9人人、10人人，他們自自愿組成數(shù)數(shù)學(xué)課外小小組．(1)選其其中一人為為負(fù)責(zé)人，，有多少種種不同的選選法？(2)每班班選一名組組長(zhǎng)，有多多少種不同同的選法？？(3)推選選二人作中中心發(fā)言，，這二人需需來(lái)自不同同的班級(jí)，，有多少種種不同的選選法？[分析]主要考查兩兩個(gè)計(jì)數(shù)原原理的綜合合應(yīng)用，先先考慮分類類再考慮分分步．[解析](1)分四四類：第一一類，從一一班學(xué)生中中選1人，，有7種選選法；第二二類，從二二班學(xué)生中中選1人，，有8種選選法；第三三類，從三三班學(xué)生中中選1人，，有9種選選法；第四四類，從四四班學(xué)生中中選1人，，有10種種選法．所所以，共有有不同的選選法N＝7＋8＋＋9＋10＝34(種)．(2)分四四步，第一一、二、三三、四步分分別從一、、二、三、、四班學(xué)生生中選一人人任組長(zhǎng)，，所以共有有不同的選選法N＝7×8×9×10＝5040(種種)．(3)分六六類，每類類又分兩步步，從一、、二班學(xué)生生中各選1人，有7×8種不不同的選法法；從一、、三班學(xué)生生中各選1人，有[點(diǎn)評(píng)]

在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，兩個(gè)原理并不是孤立的，首先要弄清楚完成的是什么事，其次必須清楚是分類完成，還是分步完成，需認(rèn)真審題，明確條件與問(wèn)題.(1)將一一個(gè)四棱錐錐的每一個(gè)個(gè)頂點(diǎn)染上上一種顏色色，并使同同一條棱上上的兩端點(diǎn)點(diǎn)異色，如如果只有5種顏色可可供使用，，求不同的的染色方法法總數(shù)．[分析]可分兩大步步進(jìn)行，先先將四棱錐錐一側(cè)面三三頂點(diǎn)染色色，然后再再分類考慮慮另外兩頂頂點(diǎn)的染色色數(shù)，用乘乘法原理即即可得出結(jié)結(jié)論．[解析]如圖所示，，由題設(shè)，，四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染顏色互互不相同，，它們共有有5×4×3＝60(種)染色色方法．當(dāng)S、