【金教程】高考數(shù)學總復習 14.2導數(shù)的應(yīng)用精品課件 文 新人教B

最新考綱解讀1．理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念．2．并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．3．會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．高考考查命題趨勢導數(shù)是中學選修內(nèi)容中重要的知識，近幾年高考對導數(shù)的考查每年都有．而且近年有加強的趨勢，預(yù)測2011年對本模塊的考查為：1．還會有一大一小的試題，小題主要考查導數(shù)概念及求函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的簡單應(yīng)用．大題考查運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問題．2．仍可能以函數(shù)為背景，以導數(shù)作工具，在函數(shù)、不等式、解析幾何等知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點命題．1.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，①如果f′(x)>0時，則函數(shù)y＝f(x)為這個區(qū)間上的增函數(shù)；②如果f′(x)<0時，則函數(shù)y＝f(x)為這個區(qū)間上的減函數(shù)；③如果恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)為常函數(shù)．2．函數(shù)y＝f(x)單調(diào)區(qū)間的求解過程：(1)分析y＝f(x)的定義域；(2)求導函數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．3．函數(shù)的極值的概念：設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，且對x0附近的所有點都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))，則稱f(x0)為函數(shù)的一個極大(小)值．稱x0為極大(小)值點．4．函數(shù)的最值：(1)函數(shù)最值的概念：設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，y＝f(x)在(a，b)內(nèi)可導，則函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間內(nèi)不一定有最大值與最小值．(2)設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)且在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上最值的方法步驟：①求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)、f(b)；③將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值，若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a(chǎn)＜－3或a＞6D．a(chǎn)＜－1或a＞2[解析]

∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個不等實根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，∴a＜－3或a＞6.[答案]

C2．若函數(shù)f(x)＝－a(x－x3)的遞減區(qū)間為 ，則a的取值范圍是 ()A．a(chǎn)＞0 B．－1＜a＜0C．a(chǎn)＞1 D．0＜a＜1[答案]

A3．函數(shù)y＝4x2＋的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(，＋∞) D．(1，＋∞)[答案]

C4．．函函數(shù)數(shù)y＝x3－3x2－9x(－－2<x<2)有有()A．．極極大大值值5、、極極小小值值－－27B．．極極大大值值5、、極極小小值值－－11C．．極極大大值值5、、無無極極小小值值D．．極極小小值值－－27、、無無極極大大值值[解解析析]由y′＝＝3x2－6x－9＝＝0，，得得x＝－－1或或x＝3，，當當x<－－1時時，，y′>0；；當當x>－－1時時，，y當x＝－1時，y極大值＝5；x取不到3，無極小值．[答案]

C5．．(山山東東煙煙臺臺)對對于于R上的的可可導導任任意意函函數(shù)數(shù)f(x)，，若若滿滿足足(x－1)··f′(x)≥≥0，，則則必必有有()A．．f(0)＋＋f(2)<2f(1)B．．f(0)＋＋f(2)≤≤2f(1)C．．f(0)＋＋f(2)≥≥2f(1)D．．f(0)＋＋f(2)>2f(1)[解解析析]若f′(x)＝＝0恒恒成成立立，，則則f(x)為為常常函函數(shù)數(shù)，，即即f(x)＋＋f(2)＝＝2f(1)；；若若f′(x)＝＝0不不恒恒成成立立時時，，當當x≥1時時，，有有f′(x)≥≥0；；當當x<1時時，，f′(x)≤0，，f(x)在[答案]

C二、、填填空空題題6．．函函數(shù)數(shù)y＝f(x)＝＝x3－x2－2x＋5的的[解析]

由y′＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)得：當x∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時y′>0；當x∈(－，1)，y′<0，∴單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－)、(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－，1)．[答案]

(－∞，－)及(1，＋∞)(－，1)例1(2009年年河河西西區(qū)區(qū)一一模模)已知函數(shù)數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x＋1，g(x)＝1－－4x－ax2，其中實實數(shù)a≠0.(1)求求函數(shù)f(x)的單調(diào)調(diào)區(qū)間；；(2)若若f(x)與g(x)在區(qū)間間(－a，－a＋2)內(nèi)內(nèi)均為增增函數(shù)，，求a的取值范范圍．1．f(x)為增函函數(shù)，一一定可以以推出f′(x)≥0，，反之不不一定成成立，因因為f′(x)≥0相相當于f′(x)>0或或f′(x)＝0.當函數(shù)數(shù)在某個個區(qū)間內(nèi)內(nèi)恒有f′(x)＝0，，則f(x)為常數(shù)數(shù)，函數(shù)數(shù)不具有有單調(diào)性性．∴f′(x)≥0是是f(x)為增函函數(shù)的必必要不充充分條件件．2．一般地地，若知知函數(shù)的的單調(diào)性性求參數(shù)數(shù)范圍，，則得不不等式f′(x)≥0，，解之得得參數(shù)的的范圍．．若求單單調(diào)區(qū)間間，則解解不等式式f′(x)>0得得結(jié)論．．思考探究究1已知函數(shù)數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若若f(x)在實數(shù)數(shù)集R上單調(diào)遞遞增，求求實數(shù)a的取值范范圍；(2)是是否存在在實數(shù)a，使f(x)在(－－1,1)上單單調(diào)遞減減？若存存在，求求出a的取值范范圍；若若不存在在，說明明理由；；(3)證證明：f(x)＝x3－ax－1的圖圖象不可可能總在在直線y＝a的上方．．(1)[解]由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－－∞，＋＋∞)上上是單調(diào)調(diào)增函數(shù)數(shù)，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞∞，＋∞)上上恒成立，即即a≤3x2對x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，故f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，，則a≤0.(2)[解]由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)上恒成立立．∵－1<x<1，∴3x2<3，∴只需需a≥3.當a＝3時，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上為減減函數(shù)，∴a≥3.故存在實數(shù)a≥3，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)調(diào)遞減．(3)[證明]∵f(－1)＝a－2<a，∴f(x)的圖象不可可能總在直線線y＝a的上方.例2(2009年年廈門大同中中學)設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋1,0<a<1.(1)求函數(shù)數(shù)f(x)的極大值；；(2)若x∈[1－a,1＋a]時，恒有－－a≤f′(x)≤a成立，(其中中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，試確定實實數(shù)a的取值范圍．．[解](1)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，且0<a<1，當f′(x)>0時，得得a<x<3a；當f′(x)<0時，得得x<a或x>3a；∴f(x)的單調(diào)遞增增區(qū)間為(a,3a)；f(x)的單調(diào)遞減減區(qū)間為(－－∞，a)和(3a，＋∞)．故當x＝3a時，f(x)有極大值，，其極大值為為f(3a)＝1.(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，當0<a<時時，1－－a>2a，∴f′(x)在區(qū)間[1－a,1＋a]內(nèi)單調(diào)遞遞減．∴[f′(x)]max＝f′(1－a)＝－8a2＋6a－1，1．導數(shù)為為0的點不不一定是極極值點．函函數(shù)的導數(shù)數(shù)不存在的的點也可能能是極值點點．2．如果在x0附近的左側(cè)側(cè)f′(x)＞0，右右側(cè)f′(x)＜0，那那么f(x0)是極大值值；如果在x0附近的左側(cè)側(cè)f′(x)＜0，右右側(cè)f′(x)＞0，那那么f(x0)是極小值值．3．在在本本題題第第(2)問問中中，，““恒恒有有－－a≤f′(x)≤≤a成立立””的的問問題題，，等等價價轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求導導函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值小小于于等等于于a、最最小小值值大大于于等等于于a.思考考探探究究2(2009年年寧寧夏夏海海南南卷卷文文)已知知函函數(shù)數(shù)f(x)＝＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)設(shè)設(shè)a＝1，，求求函函數(shù)數(shù)f(x)的的極極值值；；(2)若若a>，，且且當當x∈[1,4a]時時，，|f′(x)|≤≤12a恒成成立立，，試試確確定定a的取取值值范范圍圍．．[解解](1)當當a＝1時時，，對對函函數(shù)數(shù)f(x)求求導導數(shù)數(shù)，，得得f′(x)＝＝3x2－6x－9.令f′(x)＝＝0，，解解得得x1＝－－1，，x2＝3.列表表討討論論f(x)，，f′(x)的的變變化化情情況況：：所以以，，f(x)的的極極大大值值是是f(－－1)＝＝6，，極極小小值值是是f(3)＝＝－－26.x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0—0＋f(x)遞增極大值6遞減極小值－26遞增例3(2009年年河河東東區(qū)區(qū)一一模模)設(shè)函函數(shù)數(shù)f(x)＝＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．．(1)求求f(x)的的最最小小值值s(t)；(2)若s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時恒成立，，求實數(shù)m的取值范圍．．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(t∈R，t>0)，∴x＝－t時，f(－t)取得最小值值f(－t)＝－t3＋t－1，即s(t)＝－t3＋t－1.(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由h′(t)＝－3t2＋3＝0，得得t＝1或t＝－1(舍去去)∴h(t)在(0,2)內(nèi)有最大大值1－m，∴s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時時恒成立等價價于h(t)max<0恒成立．．即1－m<0，∴m>1，因此實數(shù)m的取值范圍是是(1，＋∞)．t(0,1)1(1,2)h′(t)＋0－h(huán)(t)增極大值1－m減1．求f(x)在[a，b]上最值的方方法步驟：①求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；；②求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點點處的函數(shù)值值f(a)、f(b)；③將函數(shù)f(x)的各極值與與f(a)，f(b)比較，其中中最大的一個個是最大值，，最小的一個個是最小值．．2．若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增增，則f(a)為函數(shù)的最最小值，f(b)為函數(shù)的最最大值，若函函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減減，則f(a)為函數(shù)的最最大值，f(b)為函數(shù)的最最小值．思考探究3(2009年河北區(qū)一一模)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若x＝3是f(x)的極值點，，求f(x)在x∈[1，a]上的的最小小值和和最大大值；；(2)若f(x)在x∈[1，＋＋∞)上是是增函函數(shù)，，求實實數(shù)a的取值值范圍圍．[解](1)f′(3)＝＝0，，即27－－6a－3＝＝0，，∴a＝4，，∴f(x)＝x3－4x2－3x有極大大值點點x＝－，，極小小值點點x＝3.例4一條水水渠，，斷面面為等等腰梯梯形，，如圖圖所示示，在在確定定斷面面尺寸寸時，，希望望在斷斷面ABCD的面積積為定定值S時，使使得四四周L＝AB＋BC＋CD最小，，這樣樣可使使水流流阻力力小，，滲透透少，，求此此時的的高h和下底底邊長長b.1．解解決有有關(guān)函函數(shù)最最大值值、最最小值值的實實際問問題，，需要要分析析問題題中各各個變變量之之間的的關(guān)系系，找找出適適當?shù)牡暮瘮?shù)數(shù)關(guān)系系式，，并確確定函函數(shù)的的定義義區(qū)間間；所所得結(jié)結(jié)果要要符合合問題題的實實際意意義．．2．根據(jù)據(jù)問題題的實實際意意義來來判斷斷函數(shù)數(shù)最值值時，，如果果函數(shù)數(shù)在此此區(qū)間間上只只有一一個極極值點點，那那么這這個極極值就就是所所求最最值，，不必必再與與端點點值比比較．．3．相當當多的的有關(guān)關(guān)最值值的實實際問問題用用導數(shù)數(shù)方法法解決決較簡簡單．．思考探探究4在邊長長為60cm的正正方形形鐵片片的四四角切切去相相等的的正方方形，，再把把它的的邊沿沿虛線線折起起(如如圖)，做做成一一個無無蓋的的方底底箱子子，箱箱底的的邊長長是多多少時時，箱箱底的的容積積最大大？最最大容容積是是多少少？答：當當x＝40cm時時，箱箱子容容積最最大，，最大大容積積是1600解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60－2x)cm，則得箱子容積V(x)＝(60－2x)2x(0<x<30)．(后面同解法