【高考風(fēng)向標(biāo)】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第7講 空間中角與距離的計算課件 理

第7講空間中角與距離的計算考綱要求考綱研讀空間向量的應(yīng)用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量．(2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系(3)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.1.線線垂直、兩異面直線的夾角、兩點(diǎn)間的距離等問題的解決往往借助于向量坐標(biāo)．正方體、長方體、底面有一角為直角的直棱柱、底面為菱形的直四棱柱、四棱錐等凡能出現(xiàn)三條兩兩垂直直線的圖形，常?？紤]空間直角坐標(biāo)系．2．能較易建立直角坐標(biāo)系的，盡量建立直角坐標(biāo)系．其次要注意向量運(yùn)算與基本性質(zhì)相結(jié)合的論述，這是今后的方向，可以“形到形”，可以“數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合.1．異面直線所成的角銳角或直角

過空間任一點(diǎn)O分別作異面直線a與b的平行線a′與b′.那么直線a′與b′所成的____________，叫做異面直線a與b所成的角，其范圍是_____________．(0°，90°]2．直線與平面所成的角(1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，則直線與平面所成的角等于_____.0°(2)如果直線和平面垂直，則直線與平面所成的角等于____.(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角，其范圍是_____________．(0°，90°)90°斜線與平面所成的_______是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最___的角．線面角小

3．二面角 從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖象叫做二面角．從二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做___________．直二面角

4．點(diǎn)與它在平面上的射影間的距離叫做該點(diǎn)到這個平面的距離．求點(diǎn)到平面的距離通常運(yùn)用_______，即構(gòu)造一個三棱錐，將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的_____．等積法高

5．直線與平面平行，那么直線任一點(diǎn)到平面的距離叫做這條直線與平面的距離．A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件BC3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()A．90°B．60°C．45°D．30°D4．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為___________.45°或135°5．如圖13－7－1，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為_______.圖13－7－1考點(diǎn)1線面所成角的計算

例1：如圖

13－7－2，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)． (1)求證：AF∥平面BCE； (2)求證：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．圖13－7－2圖D32求直線與平平面所成的的角，大致致有兩種基基本方法：：①傳統(tǒng)立體體幾何的綜綜合推理法法：通過射射影轉(zhuǎn)化法法作出直線線與平面所成的的線面角，，然后在直直角三角形形中求角的的大?。艺疑溆暗幕痉椒ㄊ鞘沁^直線上上一點(diǎn)作平平面的垂線線，連接垂垂足和斜足足得到直線在平面內(nèi)內(nèi)的射影；；有時也可可通過找到到經(jīng)過斜線線且垂直于于已知平面的垂面來來確定斜線線在平面內(nèi)內(nèi)的射影，，此時平面面與垂面的的交線即為射影．②空間向量量的坐標(biāo)法法：建系并并確定點(diǎn)及及向量的坐坐標(biāo)，然后后利用向量的夾夾角公式通通過坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算求得直直線和平面面所成的角角．【互動探究究】1．(2010年全國)正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余余弦值為()答案：D考點(diǎn)2面面所成角角的計算例2：(2011年全國)如圖13－7－－3，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四四邊形,∠DAB＝60°°,AB＝2AD,PD⊥底面ABCD.圖13－7－－3(1)證證明：PA⊥BD；(2)若若PD＝AD，求二面面角A－PB－C的余弦值值．圖D33求二面角角，大致致有兩種種基本方方法：(1)傳統(tǒng)立體體幾何的的綜合推推理法：：①定義義法；②②垂面法法；③三三垂線定理理法；④④射影面面積法．．(2)空間向量量的坐標(biāo)標(biāo)法：建建系并確確定點(diǎn)及及向量的的坐標(biāo)，，分別求求出兩個平平面的法法向量，，通過求求兩個法法向量的夾角角得出二二面角的的大小．【互動探探究】2．(2011年江江蘇)如圖13－7－－4，在在正四棱棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，點(diǎn)點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，，點(diǎn)M在CC1上，設(shè)二二圖13－7－－4面角A1－DN－M的大小為為θ.(1)當(dāng)當(dāng)θ＝90°°時，求求AM的長；考點(diǎn)3立立體體幾何中中的綜合合問題例3：如圖13－7－5，，S是△ABC所在平面面外一點(diǎn)點(diǎn)，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求點(diǎn)A到平面SBC的距離．．圖13－7－－5圖13－7－－6解析：方法一：：如圖13－7－6，作AD⊥BC交BC延長線于于D，連接SD.∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面面SBC∩平面SAD＝SD.過點(diǎn)A作AH⊥SD于H，由平面面與平面面垂直的的性質(zhì)定定理可知知，AH⊥平面SBC.于是AH即為點(diǎn)A到平面SBC的距離．方法三：如圖圖13－7－7，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以以AC，AS所在直線為y軸，z軸，以過A點(diǎn)且垂直于yOz平面直線為x軸建立空間直直角坐標(biāo)系．．圖13－7－－7求點(diǎn)到平面的的距離通常有有以下方法：：(1)直接法，即直直接確定點(diǎn)到到平面的垂線線，再求出點(diǎn)點(diǎn)到垂足的距離；(2)間接法，包括括等體積法和和轉(zhuǎn)化法；(3)向量法，即求求出已知點(diǎn)與與平面上一點(diǎn)點(diǎn)連接線段在在平面法向量方向上的射射影長，此射射影長即為所所求點(diǎn)面距．．【互動探究】】3．在長方體體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，過A1，C1，B三點(diǎn)的平面截截去長方體的的一個角后，，得到如圖13－7－－8所示的的幾何體ABCD－A1C1D1，且這個幾何何體的體積為為10.圖13－7－8(1)求棱A1A的長；(2)求點(diǎn)D到平面A1BC1的距離．考點(diǎn)4求求二面角例4：如圖13－7－9，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，點(diǎn)P在圓柱OQ的底面圓周上上，G是DP的中點(diǎn)，圓柱柱OQ的底面圓的半徑OA＝2，側(cè)面積積為8ππ，，∠AOP＝120°.(1)求證：：AG⊥BD；(2)求二面面角P－AG－B的平面角的余余弦值．圖13－7－9圖13－7－10本小題主要考考查直線與直直線、直線與與平面、平面面與平面的位置置關(guān)系、相交交平面所成二二面角以及平平面幾何的圓圓等知識，考查空間間想象能力和和推理論證能能力、利用綜綜合法或向量量法解決立體幾何問問題的能力．．1．利用向量量解立體幾何何問題，要仔仔細(xì)分析問題題特點(diǎn)，把已已知條件用向量表表示，把一些些待求的量用用基向量或其其他向量表示示，將幾何的位置關(guān)關(guān)系的證明問問題或數(shù)量關(guān)關(guān)系的運(yùn)算問問題轉(zhuǎn)化為典典型的向量運(yùn)算，以以算代證，以以值定形．這這種方法可減減少復(fù)雜的空空間結(jié)構(gòu)分析，使得得思路簡捷、、方法清晰、、運(yùn)算直接，，能迅速準(zhǔn)確確地解決問題．立體幾何中，，處理空間的的角和距離的的問題主要掌掌握兩種方法法：傳統(tǒng)方法和和向量方法法．傳統(tǒng)方方法需要較較高的空間間想象能力力，需要深刻理解角角和距離的的定義，靈靈