函數(shù)的平均變化率2

變化率問一教設(shè)意客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著，因此，在數(shù)學中引入變量的概念（函數(shù)）后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述.隨著對函數(shù)的研究的不斷深化產(chǎn)生了微積分它數(shù)學發(fā)展史上重要的里程碑數(shù)是微積分的核心概念之一數(shù)究的問題即變化率問題究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度。變化率問題的發(fā)展具有豐富的歷史背景，涉及類比符化等重要的數(shù)學思想，是典型的數(shù)學抽象過教材分“變化率問題”是高中導數(shù)教學的開始，是導數(shù)概念建立的核心，是研究瞬時變化率及其導數(shù)概念的基礎(chǔ)，在整個導數(shù)學習中占有極其重要的地教通過研究學生熟悉的“氣球膨脹率水這個活實例，歸納出它們的共同特征，抽象出一般函數(shù)平均變化率概念使學生理解平均變化刻畫了函數(shù)在某一區(qū)間上的變化情況掌握求平均變化率的一般步驟在一過程中滲從特殊到一般的化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，讓學生體會數(shù)學抽象的過程.學情分學習本節(jié)內(nèi)容之前，學生具備了一定的函數(shù)知識，可以通過表格、圖像、關(guān)系式三種不同的函數(shù)表現(xiàn)形式，求解函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)“因變量的增量與自變量的增量的比值，并能從圖像中看出函數(shù)變化的快與慢同時學生已在物理中學習平均速度、瞬時速度、加速度等概念，比較容易理解可以用“平均速度”刻畫物體在一段時間內(nèi)的速.教學任教學目標）知識與技能通過豐富的實例，讓學生經(jīng)歷平均變化率概念的形成過程，體會平均變化率是刻畫變量變化快慢程度的一種數(shù)學模型.（2過程與方法理解平均變化率的概念了解平均變化率的幾何意義計算函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率（3情感、態(tài)度與價值觀感受數(shù)學模型刻畫客觀世界的作用數(shù)抽象的過程步領(lǐng)會變量數(shù)學的思想，提高分析問題、解決問題的能.oooo教學重點：函數(shù)平均變化率的概.教學難點：函數(shù)平均變化率的概念形成過程的抽.二教過設(shè)【題境情境：在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬，乙掙到2萬，如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果；在經(jīng)營某商品中，甲用5年間掙到萬元，乙用5個月時間掙到元，如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成師生活動：學生小組討論后一致認為，問題）不能很好的評價兩人的經(jīng)營成果，因為只有一個變量，而問題）兩個變量，通過計算、乙兩人的月平均收入，發(fā)現(xiàn)乙的經(jīng)營成果好于甲.設(shè)計意圖通兩個實例分析讓學生明白僅僅比較一個變量的變化是不科學的，引導學生從平均變化去分析問題情境：現(xiàn)有株洲市某年3月18日4月20日每天氣溫最高溫度統(tǒng)計圖：（注：月日為第一天）你從圖中獲得了哪些信息？在4月18日20日株市市民普遍感“氣溫驟”而在3月18日4月18日卻沒有這樣的感覺，這是什么原因怎樣從數(shù)學的角度描氣溫變化的快慢程度呢師生討論，教師板書總結(jié)：分析：這一問題中，存在兩個變時和氣，當時間從到32氣溫從3.5C增加到18.6，氣溫平均變化

18.63.532

，oooo當時間從32到氣溫從C增加到氣溫平均變化

33.434

，因為7.4>0.5,所以，從32日日氣溫變化的更快教師過渡:“

3.532

表示時間從3月18日4月”時，氣溫的平均變化率提出問題：先說一說“平均”的含義，再說一說你對“溫平均變化率”的理解。設(shè)計意圖：讓學生經(jīng)歷討論、計算后，能從數(shù)學的角度去分溫增，會在不同的區(qū)間內(nèi)平均變化率的不同，潛意識地讓學生能抽象出平均變化率這一概念?！咀骶刻骄恳唬焊吲_跳水人們把高臺跳水稱之中芭蕾水中動相對于水面的高度位：）起跳后的時間t（位：）存在函數(shù)關(guān)系：t)6.5

（單如果我們用該運動員在某段時間內(nèi)的平均速度

v

描述其運動狀態(tài)，則：（1該運動員在

0.5

這段時間里的平均速度是多少？（2該運動員在

這段時間里的平均速度是多少？師生活動：學生獨立的計算出：在

0.5

這段時間里v

h(0)

4.05(/s)

；在

這段時間里v

h(1)2

/s)思考：當時間t增加到時該運動員的平均速度怎么計算？師生活動：學生通過問題1解決，討論后自然得出ht)(t)v1t21設(shè)計意圖學動手計算平均速在計算的過程中感受求平均速度的方法一步為平均變化率的的概念的發(fā)生作準備探究二：曲線割線的斜率已知曲線

f(x)x

3

（1過曲線上兩點

O(0,f

和

f(2))

的割線的斜率是多少？（2過曲線上兩點

Q(1,f(1))

和

f(2)

的割線的斜率是多少？（3過曲線上兩點

f和Pf(2))

的割線的斜率是多少？師生活動：學生利用求直線斜率公式很容易算出：（1

k

OP

f(2)f(0)82

；

kk

MP

f(2)f2ff272思考：過曲線上兩點

P

和

Q(1

作曲線的割線，則割線的斜率是多少？師生活動：通過前面的活動，結(jié)合求直線斜率的公式，學生容易得出：k

(1設(shè)計意圖通問題的解決，能學生用平均變化率的大小來描述曲線之陡”的變化程度，為闡述平均變化率的幾何意義作準.【構(gòu)識問題通過上面的問題的解決，你認為可用怎樣的數(shù)學模型刻畫變量變化快慢的程度？學生回答：用平均變化率來刻畫變量變化快慢的程度。問題：如果上面的問題中的函關(guān)系用可以用什么樣的式子表示？fx)fx)1學生回答：x1師生一起歸納：．平均變化率的定義：

yf(x

表示，那么，問題中的平均變化率對于函數(shù)

yf(x

，給定自變量的兩個值x和x，當自變量從變?yōu)閤時函數(shù)22值從

fx)

變?yōu)?/p>

f(x)

，我們把式子

fx)fx)1x1

稱為函數(shù)

f()

從

x到x

的平均變化率。習慣上用表示，即x，把作是相對于x的個增量”，121可用

代替

；類似地，

fx)f()1

，于是，平均變化率可表示為

。．求平均變化率的步驟：(1)求自變量的增量

x

；(2)求函數(shù)值的增量

(x)fx)1

；(3)計算平均變化率

f()(x)21

。計算，時注意“被減數(shù)”和“減數(shù)”的前后對應(yīng)關(guān)系，比如：若函數(shù)值的增量為

(xfx00

，則相應(yīng)的自變量的增量為(200

。設(shè)計意圖：讓學生能從問題情景中抽象出平均變化率的概念，體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展，并潛移默化的滲透從具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言予以表征?！咀R用例1：已知某物體的運動方程為

t（的位，的位：s）求（）物體在

t00

這段時間里的平均速度；（）斷該物體在

0

和

2

這兩段時間里哪一段的平均速度大。師生活動：學生先獨立完成，然后小組討論，每組派一名代表匯報本組成果。解）

v

[(t

2(t)](t0

t)

2(/

；（2在

這段時間的平均速度是

v5(/)1

，在

這段時間的平均速度是

v7(m)2

，因此，在

這段時間的平均速度大例2：已知函數(shù)

f()2x2x

。（）當

且

時，函數(shù)的平均變化率

；（）當

且

時，函數(shù)的平均變化率

；（）設(shè)

x

，分析（1）問中的平均變率的幾何意義。解：函數(shù)的平均變化率

f((x)11x

，xx所以）

21

；（2

設(shè)計意圖通過練習讓生從不同的角度再一次認識函數(shù)的平均變化率且化學生應(yīng)用知識解決問題.【識建】問題：結(jié)合前面所學的數(shù)學知識，你認為函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么？師生活動：學生小組討論，每個小組派代表發(fā)言。

yy

f

f

f

x

師生歸納：函數(shù)平均變化率的幾何意義：

x設(shè)

(x,f(x

，

(x,x2

是曲線

yf()

上任意不同的兩點，函數(shù)

f()

的平均變化率

f(x)f()f(xf()22

為割線

的斜率。設(shè)計意圖：體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，讓學生不要“得數(shù)忘形【礎(chǔ)測檢效】在平均變化率中，自變量的增量應(yīng)足（）

C.

0

2設(shè)函數(shù)

yf()

，當自變量x由x改到x00

時，函數(shù)值的改變量）

f(x0

f(x)0

C.

f()0

ff()0一點的運動方程是

t

，則在時間段

1,1

內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）

2

C.

2

已函數(shù)

fx)2

2

圖像上一點

及鄰近一點

(1

，則

設(shè)計意圖：落實課堂效果.【堂結(jié)從知識角度分析：．函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化際問題中表示事物變化的快慢．．求函數(shù)fx)的平均變化率的步驟：(1)求函數(shù)值的增Δy＝f)－(x)22121Δyf（）fx）(2)計算平均變化率＝.Δx－x21從數(shù)學思想方法角度分析：從實例出發(fā)，抽象出函數(shù)平均變化率的概念、計算方法，體現(xiàn)了歸納猜想，數(shù)學抽象，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想。設(shè)計意圖：梳理知識，歸納方法、體會思【識探】探究：在高臺跳水問題中，請完成下列問題（1計算該運動員在

0

6549

這段時間里的平均速度；運動員在這段時間里是靜止的嗎？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題？師生活動：學生經(jīng)過計算驚訝的發(fā)現(xiàn)在

0

6549

這段時間里的平均速度是v

()(0)

。但運動員又是不可能靜止的，這是為什么呢？師生討論后得出結(jié)論平均速度不能反映出運動狀態(tài)別是當運動方向改變時平均速度反映不出物體的運動狀態(tài)。設(shè)計意圖學知道均速度只能粗略地描述運動狀態(tài)能反映物體的瞬時運動狀態(tài)，要反映每一時刻的運動狀態(tài)需學習后面的內(nèi)容才能做到學生后續(xù)學習起到承前啟后的作用?！緦W思數(shù)學概的形成是水到渠成的函數(shù)平均變化率概念的發(fā)現(xiàn)過程是典型的數(shù)學抽象過程過問題情景合作探究在學生活動思過程中不斷的提供契機讓學生再創(chuàng)造函數(shù)平均變化率概念讓學生積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗.數(shù)學核