工程力學(xué)第8章

8．1應(yīng)力狀態(tài)概念8．1．1應(yīng)力狀態(tài)概念所謂“應(yīng)力狀態(tài)”又稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，是指通過受力構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn)的所有方位截面上的應(yīng)力情況總和。應(yīng)力狀態(tài)分析就是研究不同方位截面上的應(yīng)力隨截面方位的變化而變化的規(guī)律。為了描述一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，一般是圍繞該點(diǎn)取一個(gè)微小的正六面體，該正六面體就稱為該點(diǎn)的單元體。單元體的應(yīng)力狀況代表了它所包圍的點(diǎn)的應(yīng)力狀況。因此，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可用圍繞該點(diǎn)的單元體各面上的應(yīng)力描述。如圖8-1為在軸向拉伸桿件內(nèi)圍繞某點(diǎn)截取的兩種單元體。在這個(gè)單元體六個(gè)面上的應(yīng)力，就代表了這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)單元體上各個(gè)面上的應(yīng)力已知時(shí)，用截面法可以求出任意方位截面上的應(yīng)力。8．1應(yīng)力狀態(tài)概念xyzsa)b)sa圖8-1兩種不同方向截面的單元體a)沿橫截面截取b)沿s斜截面截取

sα-90°tasα+90°satas單元體各面的名稱，按照其法線方向的名稱來稱謂。如圖8-1a所示的單元體，其左、右面的法線因沿x軸方向，故皆稱為x面；同理，上、下面稱為y面，前、后面稱為z面。8．1應(yīng)力狀態(tài)概念一般情況下，單元體各斜截面上既存在正應(yīng)力，又存在切應(yīng)力。但可以證明，任何單元體中都存在三個(gè)相互垂直的平面，其上的切應(yīng)力等于零，8．1．2應(yīng)力狀態(tài)的分類這種平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主平面的法線方向稱為主方向，主方向一般用主平面法線正方向與坐標(biāo)軸的正向間夾角來描述。沿主平面截取的單元體稱為主單元體，三個(gè)主平面上存在三個(gè)主應(yīng)力，按其代數(shù)值大小順序分別用σ1、σ2、σ3表示。根據(jù)單元體上不為零的主應(yīng)力的個(gè)數(shù)，可將一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分為3大類，即單向應(yīng)力狀態(tài)、二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)三種類型。

8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析8．2．1平面應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上的應(yīng)力如圖8-2a所示，設(shè)某平面應(yīng)力狀態(tài)單元體在x、y平面內(nèi)的應(yīng)力分別為σx、τx和σy、τy，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知τx=-τy。現(xiàn)求任意α斜截面ef上的應(yīng)力，其中α為該斜截面的法線n與x軸的夾角，并規(guī)定從x軸的正向出發(fā)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的α角為正，反之為負(fù)。xxa)tyxefnc)b)圖8-2求單元體斜截面上的應(yīng)力aαtytxtxsysysxsxsxsxsxsysysytxtxtytytxtysatayy8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析如圖8-2b所示，運(yùn)用截面法，假想地把單元體沿ef面截開，由分離體的平衡條件，可推導(dǎo)出（推導(dǎo)過程從略）斜截面上的應(yīng)力sa、ta的計(jì)算公式，即（8-1）

由此可知，當(dāng)σx、σy、τx均為已知時(shí)，利用式（8-1）可以求出任意α斜截面上的應(yīng)力。這種求應(yīng)力的方法也稱為解析法。下面通過實(shí)例來說明解析法的應(yīng)用。8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析50MPa50MPa圖8-3求單元體指定斜截面上的應(yīng)力

例8-1

在圖8-3所示的應(yīng)力狀態(tài)中，求指定斜截面上的應(yīng)力。解由圖可知，α=60°，σx=100MPa，σy=－50MPa

，τx=τy=0。由式（8-1）得8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析斜截面上的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta方向如圖8-3所示。8．2．2主平面與主應(yīng)力利用求函數(shù)極值的方法，可以確定單元體上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的最大值以及它們所在截面的方位。對式(8-1)中的第一個(gè)方程，令dsa/da

=0，由此方程解出來的角度用a0表示。在a0所確定的截面上，正應(yīng)力取得極值（也是最大值和最小值）。即

(8-2)8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析由此得出

（8-3）

在0°～360°的范圍內(nèi)，式(8-3)可以求出相差90°的兩個(gè)角度a0和a0+90°，它們確定兩個(gè)互相垂直的平面，其中一個(gè)是最大正應(yīng)力所在平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。比較式（8-1）第二個(gè)方程和式（8-2）可見，滿足式（8-2）的a0恰好使ta也等于零。也就是說，在切應(yīng)力等于零的平面上，正應(yīng)力為最大值或最小值。因?yàn)榍袘?yīng)力為零的平面是主平面，主平面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，所以主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。從式（8-3）求出sin2a0和cos2a0，并代入式（8-1）的第一個(gè)方程，可以求得最大及最小的正應(yīng)力，即8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析在平面應(yīng)力狀態(tài)中，至少有一個(gè)主應(yīng)力為0，其他兩個(gè)主應(yīng)力分別為式（8-4）所表示的smax和smin，若smax＞0，smin＜0，則該單元體的三個(gè)主應(yīng)力分別為：s1=smax，s2=0，s3=smin。用完全相似的方法，可以確定最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力以及它們所在平面的方位角。在式（8-1）的第二個(gè)方程中，令dta/da

=0，由此方程解出來的角度用a1表示。在a1所確定的截面上，切應(yīng)力取得極值（也是最大值和最小值），即

（8-4）

(8-5)8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析比較式（8-3）和式（8-5）可見，tan2a0·tan2a1=-1，故2a1=2a0+π/2，從而a1=a0+π/4，即最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力所在平面與主平面成45°夾角。把式（8-5）代入到式（8-1）的第二式得：

（8-6）

8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析例8-2試討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。解圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面的邊緣處各點(diǎn)切應(yīng)力最大，其值為

①

在圓軸的最外層，按圖8-4a所示方式取出單元體ABCD，單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖8-4b所示，故sx=sy=0，tx=t②由圖8-4b可知，該單元體側(cè)面上只有切應(yīng)力，而無正應(yīng)力。這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪應(yīng)力狀態(tài)。把②代入式（8-4）得：8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖8-4鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞分析a)鑄鐵試件b)單元體c)斷口

MTMTMMa)b)c)45°yABCDs3s1tttt8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析將②代入式（8-3）得tan2a0的計(jì)算表達(dá)式的分母為0，說明2a0=90°或2a0=270°，故a0=45°或a0=135°。 以上結(jié)果表明，從x軸出發(fā)，由a0=45°和a0=135°所確定的斜截面為主平面，其主應(yīng)力分別為s1=smax=t，s2=0，s3=smin=-t純剪應(yīng)力狀態(tài)屬于二向應(yīng)力狀態(tài)，兩個(gè)主應(yīng)力的絕對值相等，都等于切應(yīng)力τ，一個(gè)為拉應(yīng)力，一個(gè)為壓應(yīng)力。圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時(shí)，表面各點(diǎn)的主應(yīng)力與軸線成45°傾角，當(dāng)該應(yīng)力達(dá)到材料的抗拉強(qiáng)度時(shí)，試件將沿主應(yīng)力方向斷裂，從而形成與軸線成45°的螺旋斷口(見圖8-4c)。8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析

30MPa60MPa60MPa80MPaa0=56.3s3s1圖8-5已知各面應(yīng)力的單元體

例8-3從受力構(gòu)件中截取的單元體，其應(yīng)力狀態(tài)如圖8-5所示。試其求主應(yīng)力和主平面方位。解(1)求主應(yīng)力大小。將應(yīng)力σx=80MPa，σy=30MPa，τx=-60MPa，代入式（8-4），可得

8．2平面應(yīng)力狀態(tài)分析故s1=120MPa，s2=0MPa，s3=-10MPa(2)求主平面的方位。由式(8-3)得得a0=33.7°，a0

=a0

-90°=-56.3°將a0=33.7°代入式（8-1）的第一個(gè)方程，得sa=120MPa，說明a0=33.7°所確定的平面為主應(yīng)力s1所在的平面，a0

=-56.3°所確定的平面為主應(yīng)力s3所在的平面（見圖8-5）。8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律8．3．1三向應(yīng)力狀態(tài)簡介ynzxyzxxOOOBCBCpxpzsaa)b)c)圖8-6三向應(yīng)力狀態(tài)分析a)三向應(yīng)力狀態(tài)單元體b)截取四面體c)斜截面上的應(yīng)力

zpAApyytas1s2s3s1s2s38．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律這里只討論當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力已知時(shí)（見圖8-6），任一斜截面上的應(yīng)力計(jì)算。如圖8-6a所示，以任意斜截面ABC從單元體中取出四面體（見圖8-6b）。設(shè)ABC的法線n與x、y、z軸夾角分別為α、β、γ。先將斜截面ABC上的總應(yīng)力p分解成與斜截面垂直的正應(yīng)力σn和相切的切應(yīng)力τn

（見圖8-6c）。根據(jù)平衡條件和方向余弦關(guān)系（cos2α＋cos2β＋cos2γ=1），可以推導(dǎo)出以下關(guān)系式（推導(dǎo)過程從略）：（8-7）

8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律式（8-7）即為三向應(yīng)力狀態(tài)單元體任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力計(jì)算公式。式（8-7）的3個(gè)方程，并不完全獨(dú)立，聯(lián)立其中任意兩個(gè)方程求解的2個(gè)未知數(shù)σn和τn

，都滿足第三個(gè)方程?？梢宰C明：三向應(yīng)力狀態(tài)單元體上正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值分別為

（8-8）

8．3．2廣義胡克定律在單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律與泊松比為：8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律圖8-7三個(gè)主應(yīng)力分解為每個(gè)主應(yīng)力單獨(dú)作用

yzs2s2s3s1s3s2s1s3s3s2s1s1xs1沿三個(gè)主方向產(chǎn)生的應(yīng)變分別為s2沿三個(gè)主方向產(chǎn)生的應(yīng)變分別為

8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律s3沿三個(gè)主方向產(chǎn)生的應(yīng)變分別為

應(yīng)用疊加原理，在單元體上同時(shí)存在三個(gè)主應(yīng)力時(shí)，三個(gè)主應(yīng)變等于各主應(yīng)力分別單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生應(yīng)變的代數(shù)和（見圖8-7），即

（8-9）

8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律式（8-9）表明，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，沿某主應(yīng)力方向的線應(yīng)變不僅與該主應(yīng)力有關(guān)，也與另外兩個(gè)主應(yīng)力有關(guān)。式（8-9）稱為廣義胡克定律，它只適用于線彈性小變形條件下的各向同性材料。例8-4設(shè)某二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，已知主應(yīng)力σ1≠0，σ2≠0，σ3=0，主應(yīng)變ε1=1.7×10-4。泊松比μ=0.3。試求主應(yīng)變ε3。解由廣義胡克定律（見式(8-9)）

①

8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律①+②，同時(shí)代入s3=0，可得

②

③

④

再將④式代入廣義胡克定律第三式并代入數(shù)值得

8．3三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律[問題](1)何謂一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)?何謂二向應(yīng)力狀態(tài)?如何研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)?(2)如何用解析法確定任一斜截面的應(yīng)力?應(yīng)力和方位角的正負(fù)符號是怎樣規(guī)定的？(3)何謂主平面?何謂主應(yīng)力?如何確定主應(yīng)力的大小和方位?(4)何謂單向應(yīng)力狀態(tài)、二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)?何謂復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)？(5)在單向、二向和三向應(yīng)力狀態(tài)中，最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力各為何值?各位于何截面？(6)何謂廣義胡克定律?該定律是怎樣建立的?該定律成立的條件是什么?8．4強(qiáng)度理論1．材料的兩種破環(huán)形式工程實(shí)際和材料破壞實(shí)驗(yàn)表明：在靜載荷作用下，材料的破壞主要有塑性屈服和脆性斷裂兩種形式。塑性屈服是指材料由于出現(xiàn)屈服現(xiàn)象或發(fā)生顯著塑性變形而產(chǎn)生的破壞；脆性斷裂是指不出現(xiàn)顯著塑性變形的破壞。例如低碳鋼和灰鑄鐵拉伸時(shí)發(fā)生的破壞，分屬典型的塑性屈服和脆性斷裂。材料的破壞形式不僅與材料本身有關(guān)，而且還與材料所處的應(yīng)力狀態(tài)等因素有關(guān)。例如，低碳鋼在三向拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，也會出現(xiàn)脆性斷裂。灰鑄鐵在三向壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，也會出現(xiàn)顯著的塑性變形。2．強(qiáng)度理論的概念關(guān)于材料破壞原因的假說并由此而建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則，稱為強(qiáng)度理論。強(qiáng)度理論主要解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度計(jì)算問題。8．4強(qiáng)度理論3．強(qiáng)度理論的分類對應(yīng)材料兩種不同的破壞形式，強(qiáng)度理論相應(yīng)地分為兩類。①解釋脆性斷裂破壞的強(qiáng)度理論，包括最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論。②解釋塑性屈服破壞的理論，包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論?，F(xiàn)分別給予介紹。8．4．1對應(yīng)脆性斷裂的強(qiáng)度理論1．最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）這個(gè)理論認(rèn)為，引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力，即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力σ1達(dá)到材料單向拉伸時(shí)的極限應(yīng)力σb，材料即發(fā)生脆性斷裂破壞。按此理論，材料脆性斷裂的破壞判據(jù)為σ1=σb8．4強(qiáng)度理論其強(qiáng)度準(zhǔn)則為

σ1≤[σ]（8-10）鑄鐵等脆性材料在單向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上，脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也發(fā)生在最大拉應(yīng)力所在的斜截面上。最大拉應(yīng)力理論對這些破壞現(xiàn)象都能作出較好的解釋。該理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響，無法解釋單向壓縮、三向壓縮等破壞現(xiàn)象。2．最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為，引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)變。即不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大拉應(yīng)變ε1達(dá)到材料單向拉伸斷裂時(shí)的極限應(yīng)變值εb，材料即發(fā)生斷裂破壞。按此理論，材料脆性斷裂的破壞判據(jù)為e1=eb8．4強(qiáng)度理論由廣義胡克定律有（見式(8-9)）考慮以上兩式，可得到用應(yīng)力表示的破壞判據(jù)為s1－m(s2＋s3）=sb相應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則為

s1－m

(s2＋s3）≤[s]（8-11）這一理論對于石料或混凝土受壓時(shí)沿縱向斷裂的現(xiàn)象，能得到很好的解釋，但未被金屬材料的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。8．4強(qiáng)度理論8．4．2對應(yīng)塑性屈服的強(qiáng)度理論1．最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）這一理論認(rèn)為，引起材料屈服破壞的主要因素是最大切應(yīng)力。無論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力達(dá)到材料單向拉伸時(shí)的極限切應(yīng)力τs，材料就發(fā)生塑性屈服破壞。按此理論，材料塑性屈服的破壞判據(jù)為τmax=τs又桿在軸向拉伸時(shí)，最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成45°的斜截面上。在發(fā)生屈服破壞時(shí)，相應(yīng)的極限切應(yīng)力為8．4強(qiáng)度理論于是破壞判據(jù)改寫為s1－s3=ss

（8-12）

相應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則為：試驗(yàn)表明，這一理論能較好地解釋塑性材料出現(xiàn)的塑性屈服現(xiàn)象，但是它未考慮到主應(yīng)力s2對材料屈服的影響。8．4強(qiáng)度理論2．形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）形狀改變比能理論認(rèn)為，引起材料屈服的主要因素是形狀改變比能。也就是說，不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能達(dá)到材料單向拉伸時(shí)的極限形狀改變比能，材料就發(fā)生塑性屈服破壞。相應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則為

（8-13）

試驗(yàn)表明，對于塑性材料，第四強(qiáng)度理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。這兩個(gè)強(qiáng)度理論在工程中都得到廣泛的應(yīng)用。上述四種理論的強(qiáng)度準(zhǔn)則可以寫成如下的統(tǒng)一形式：sxd≤[s]（8-14）式中sxd——相當(dāng)應(yīng)力。8．4強(qiáng)度理論各種強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力分別為sxd1=s1

sxd2=s1-μ(s1+s3)sxd3=s1-s3sxd4=使用強(qiáng)度理論時(shí)，應(yīng)注意以下問題：（1）強(qiáng)度理論的選擇。應(yīng)根據(jù)材料的特性和應(yīng)力狀態(tài)選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論。1）對于脆性材料，常發(fā)生的是脆性斷裂，應(yīng)采用第一強(qiáng)度理論或第二強(qiáng)度理論。對于塑性材料，大多是因塑性屈服而失去工作能力，所以常采用第三或第四強(qiáng)度理論。8．4強(qiáng)度理論2）從第三或第四強(qiáng)度理論可以發(fā)現(xiàn)，材料的強(qiáng)度都和主應(yīng)力的差值有關(guān)。這就是說，如果材料是處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，而三個(gè)主應(yīng)力的差值又不隨著主應(yīng)力的