第四章 時變電磁場1

第4章時變電磁場本章內(nèi)容4.1

波動方程4.2電磁場的位函數(shù)4.3電磁能量守恒定律4.4惟一性定理4.5時諧電磁場4.1波動方程在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有無源區(qū)的波動方程波動方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性。

麥克斯韋方程——

一階矢量微分方程組，描述電場與磁場間的相互作用關(guān)系。

麥克斯韋方程組波動方程。

問題的提出電磁波動方程同理可得

推證4.2電磁場的位函數(shù)

討論內(nèi)容位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的定義位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的微分方程引入位函數(shù)來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。

引入位函數(shù)的意義

位函數(shù)的定義

位函數(shù)的不確定性滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個電磁場問題。即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。

原因：未規(guī)定的散度。為任意可微函數(shù)除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即

位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。

位函數(shù)的微分方程同樣說明應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場具有有限的傳遞速度；③矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于ρ，這對求解方程特別有利。只需解出A，無需解出就可得到待求的電場和磁場。電磁位函數(shù)只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場矢量是相同的。達(dá)朗貝爾方程4.3電磁能量守恒定律

討論內(nèi)容

坡印廷定理

電磁能量及守恒關(guān)系

坡印廷矢量進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場能量密度：磁場能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場隨時間變化時，空間各點(diǎn)的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動。

電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量及守恒關(guān)系其中：——單位時間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量?！?/p>

單位時間內(nèi)電場對體積V中的電流所做的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。——

通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率。表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：坡印廷定理微分形式：在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到由

推證即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：單位時間內(nèi)，通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸?shù)姆较虻拇笮　ㄟ^垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）4.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，如果給定t＝0時刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，并且在t

0時，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在t>0時，區(qū)域V內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題

惟一性定理的證明

利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零；在邊界面S上電場強(qiáng)度的切向分量為零或磁場強(qiáng)度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程令根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以由于場的初始值為零，將上式兩邊對t積分，可得根據(jù)和的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證畢）即惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。

4.5時諧電磁場

復(fù)矢量的麥克斯韋方程

時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示

復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

時諧場的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均能流密度矢量時諧電磁場的概念如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。

研究時諧電磁場具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時諧電磁場。

任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。4.5.1時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題的分析得以簡化。

設(shè)是一個以角頻率隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關(guān)系可以表示成其中時間因子空間相位因子利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場。照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明復(fù)矢量真實(shí)場是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時表達(dá)式。由于時間因子是默認(rèn)的，有時它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。例4.5.1

將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以（2）因?yàn)楣仕?/p>

例4.5.2

已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量以電場旋度方程為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對任意t均成立。4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程

—略去“.”和下標(biāo)m例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中

解：（1）因?yàn)楣孰妶龅膹?fù)矢量為試求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量磁場強(qiáng)度瞬時值實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：

導(dǎo)電媒質(zhì)——當(dāng)電導(dǎo)率有限時，存在歐姆損耗。

電介質(zhì)——受到極化時，存在電極化損耗。

磁介質(zhì)——受到磁化時，存在磁化損耗。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中c=

－jσ/ω、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。

對于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，有電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率

對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為

對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。損耗角正切導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)——弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體——一般導(dǎo)電媒質(zhì)——良導(dǎo)體

工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有

導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。理想介質(zhì)4.5.4亥姆霍茲方程

在時諧時情況下，將、，即可得到復(fù)矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量復(fù)矢量導(dǎo)電媒質(zhì)中c=

－jσ/ω把導(dǎo)電媒質(zhì)等效的看作一種介質(zhì)，把傳導(dǎo)電流和位移電流用同一個等效的位移電流來代替，相應(yīng)的等效介電常數(shù)為c，應(yīng)用復(fù)介電常數(shù)，波動方程所對應(yīng)的復(fù)矢量形式為引入c后與理想介質(zhì)中的方程具有完全相同的形式4.5.5時諧場的位函數(shù)

在時諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時矢量復(fù)矢量4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。設(shè)某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。

時諧場中二次式的表示方法則能流密度為如把電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實(shí)部，再代入使用二次式時需要注意的問題二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式。場量是實(shí)數(shù)式時，直接代入二次式即可。場量是復(fù)數(shù)式時，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘”。如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時間因子。二次式的時間平均值在時諧電磁場中，常常要關(guān)心二次式在一個時間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復(fù)矢量計算，有則平均能流密度矢量為如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有時間平均值與時間無關(guān)例如某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度都用實(shí)數(shù)形式給出具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他時變電磁場；而只適用于時諧電磁場。

在中，和都是實(shí)數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個瞬時的取值；而中的和都是復(fù)矢量，與時間無關(guān)，所以也與時間無關(guān)，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。利用，可由計算，但不能直接由計算，也就是說

關(guān)于和的幾點(diǎn)說明

解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時值為例4.5.4

已知無源的自由空間中，電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為，其中k和E0為常數(shù)。求：（1）磁場強(qiáng)度復(fù)矢量

；（2）瞬時坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。（3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得瞬時坡印廷矢量為第四章小結(jié)一、電磁波動方程二、位函數(shù)洛倫茲條件達(dá)朗貝爾方程三、惟一性定理在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，如果給定t＝