離散數(shù)學(xué)(1.2邏輯聯(lián)接詞)

1離散數(shù)學(xué)(DiscreteMathematics)2第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)1.2.1否定聯(lián)結(jié)詞(Negation)┐1.2.2合取聯(lián)結(jié)詞(Conjunction)∧1.2.3析取聯(lián)結(jié)詞(Disjunction)∨1.2.4條件聯(lián)結(jié)詞(蘊涵聯(lián)結(jié)詞Conditional)→1.2.5雙條件聯(lián)結(jié)(等值聯(lián)結(jié)詞Biconditional)或3第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)

在命題邏輯中,主要研究的是復(fù)合命題,而復(fù)合命題是由原子命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞組合而成,聯(lián)結(jié)詞組是復(fù)合命題的重要組成部分.1.2.1否定聯(lián)結(jié)詞┐定義1.2.1

設(shè)P為一命題，P的否定是一個新的復(fù)合命題,稱為P的否定式，記作“┐P”讀作“非P”.符號“┐

”

稱為否定聯(lián)結(jié)詞。┐P為真當(dāng)且僅當(dāng)P為假.說明：“┐”屬于一元(unary)運算符4第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)“┐”的定義也可用下表來說明.聯(lián)結(jié)詞“┐”的定義真值表

P

┐PFTTF5第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)例1.P:天津是一個城市.Q:3是偶數(shù).于是:┐P:天津不是一個城市.

┐Q:3不是偶數(shù).例2.P:蘇州處處清潔.Q:這些都是男同學(xué).┐P:蘇州不處處清潔(注意,不是處處不清潔).┐Q:這些不都是男同學(xué).6第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)1.2.2合取聯(lián)結(jié)詞(Conjunction)∧定義1.2.2設(shè)P,Q為二命題，復(fù)合命題“P并且Q”（或“P與Q”）稱為P與Q的合取式，記作P∧Q，符號“∧”

稱為合取聯(lián)結(jié)詞.PQ為真當(dāng)且僅當(dāng)P和Q同時為真.聯(lián)結(jié)詞“∧”的定義真值表PQ

PQ

FFFFTFTFFTTT7第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)說明：“∧”

屬于二元(binary)運算符.合取運算特點：只有參與運算的二命題全為真時，運算結(jié)果才為真，否則為假。自然語言中的表示“并且”意思的聯(lián)結(jié)詞，如“既…又…”、“不但…而且…”、“雖然…但是…”、“一面…一面…”、“…和…”、“…與…”等都可以符號化為∧。8第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)例3.將下列命題符號化.

(1)李平既聰明又用功.

(2)李平雖然聰明,但不用功.(3)李平不但聰明,而且用功.(4)李平不是不聰明,而是不用功.解:設(shè)P:李平聰明.Q:李平用功.則(1)P∧Q(2)P∧┐Q(3)P∧Q(4)┐(┐P)∧┐Q

注意：不要見到“與”或“和”就使用聯(lián)結(jié)詞∧！例如:(1)李敏和李華是姐妹。（2）李敏和張華是朋友。9第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)

例4.試生成下列命題的合取.(1)P:我們在XNA303.Q:今天是星期二.(2)S：李平在吃飯.R：張明在吃飯.解:(1)P∧Q:我們在XNA303且今天是星期二.

(2)S∧R:李平與張明在吃飯.

10第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)1.2.3析取聯(lián)結(jié)詞(Disjunction)∨定義1.2.3設(shè)P,Q為二命題，復(fù)合命題“P或Q”稱為P與Q的析取式，記作P∨Q，符號∨稱為析取聯(lián)結(jié)詞.P∨Q為真當(dāng)且僅當(dāng)P與Q中至少有一個為真.聯(lián)結(jié)詞“∨”的定義真值表PQPQ FFFFTTTFTTTT11第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)說明：“∨”

屬于二元(binary)運算符.析取運算特點：只有參與運算的二命題全為假時，運算結(jié)果才為假，否則為真。由析取聯(lián)結(jié)詞的定義可以看出，“∨”與漢語中的聯(lián)結(jié)詞“或”意義相近，但又不完全相同。在現(xiàn)代漢語中，聯(lián)結(jié)詞的“或”實際上有“可兼或”和“排斥或”之分?？疾煜旅婷}：（1）小王愛打球或愛跑步。（可兼或）

設(shè)P：小王愛打球。Q：小王愛跑步。則上述命題可符號化為：P∨Q12第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)（2）林芳學(xué)過英語或法語。

（可兼或）設(shè)P：林芳學(xué)過英語。Q：林芳學(xué)過法語。則上述命題可符號化為：P∨Q（3）派小王或小李中的一人去開會。（排斥或）設(shè)P：派小王去開會。Q：派小李去開會。則上述命題可符號化為：(P∧

Q)∨(P∧Q)（4）人固有一死，或重于泰山或輕于鴻毛.(排斥或）（5）ab=0,即a=0或b=0.

（可兼或）由此可見,“P∨Q”表示的是“可兼或”.第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)注意：當(dāng)P和Q客觀上不能同時發(fā)生時，“P或Q”可以符號化為“P∨Q”。例如：小王現(xiàn)在在宿舍或在圖書館。設(shè)P：小王現(xiàn)在在宿舍。Q：小王現(xiàn)在在圖書館。則上述命題可符號化為：P∨Q。14第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)1.2.4.條件聯(lián)結(jié)詞(蘊涵聯(lián)結(jié)詞Conditional)→定義1.2.4設(shè)P,Q為二命題，復(fù)合命題“如果P則Q(若P則Q)”稱為P與Q的條件命題,記作PQ.PQ為假當(dāng)且僅當(dāng)P為真且Q為假.稱符號“”為條件聯(lián)結(jié)詞。并稱P為前件，Q為后件.

聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表PQP→

QFFTFTTTFFTTT15第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)注：（1）PQ表示的基本邏輯關(guān)系是,Q是P的必要條件或P是Q的充分條件.

因此復(fù)合命題“只要P就Q”、“因為P，所以Q”、“P僅當(dāng)Q”、“只有Q才P”等都可以符號化為PQ的形式。

（2）

”“

屬于二元(binary)運算符。例5.將下列命題符號化。（1）天不下雨，則草木枯黃。P：天下雨。Q：草木枯黃。

則原命題可表示為：┐P→Q。16第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)

（2）如果小明學(xué)日語，小華學(xué)英語，則小芳學(xué)德語。

P：小明學(xué)日語Q：小華學(xué)英語R：小芳學(xué)德語.則原命題可表示為：(P∧Q)→R（3）只要不下雨，我就騎自行車上班。P：天下雨。Q：我騎自行車上班。則原命題可表示為：┐P→Q。（4）只有不下雨，我才騎自行車上班。P：天下雨。Q：我騎自行車上班。則原命題可表示為：

Q

→┐P。第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)（5）如果2+2=4,則太陽從東方升起。(P→Q,T)PQ

如果2+2=4,則太陽從西方升起。(P→R,F)R

如果2+24,則太陽從東方升起。(┐P→Q,T)

如果2+24,則太陽從西方升起。(┐P→R,T)注意:

(1)與自然語言的不同：前件與后件可以沒有任何內(nèi)在聯(lián)系！(2)在數(shù)學(xué)中，“若P則Q”往往表示前件P為真，則后件Q為真的推理關(guān)系.但數(shù)理邏輯中，當(dāng)前件P為假時，P→Q的真值為真。18第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)1.2.5雙條件聯(lián)結(jié)(等值聯(lián)結(jié)詞Biconditional)定義1.2.5設(shè)P,Q為二命題，復(fù)合命題“P當(dāng)且僅當(dāng)Q”稱為P與Q的雙條件命題，記作PiffQ或PQ，符號稱為雙條件（等值）聯(lián)結(jié)詞。PQ為真當(dāng)且僅當(dāng)P，Q真值相同。聯(lián)結(jié)詞“”的定義真值表PQPQFFTFTFTFFTTT19第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)注：（1）P僅當(dāng)Q可譯為P→QP當(dāng)Q可譯為Q→PP當(dāng)且僅當(dāng)Q譯為PQ

（2）“

”屬于二元(binary)運算符。

(3)雙條件命題P

Q所表達的邏輯關(guān)系是,P與Q互為充分必要條件,相當(dāng)于(PQ)∧(QP).只要P與Q的真值同為T或同為F,PQ的真值就為T,否則P

Q的真值為0.雙條件聯(lián)結(jié)詞連接的兩個命題之間可以沒有因果關(guān)系。例6.分析下列命題的真值.(1)2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù).(P

Q)P：2+2=4.Q：3是奇數(shù)

.

20第一章命題邏輯（PropositionalLogic）

1.2邏輯聯(lián)結(jié)詞(LogicalConnectives)(2)2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3不是奇數(shù).(P

┐Q)(3)2+24當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù).

(┐P

Q)(4)2+24當(dāng)且僅當(dāng)3不是奇數(shù).(┐P

┐Q)約定:1.運算次序優(yōu)先級：┐，，，→，.2.相同的運算符按從左至右次序計算，否則要加上括號。3.最外層圓括號可省去。

小結(jié):本節(jié)介紹了五種聯(lián)結(jié)詞(┐，，，→，