四川大學(xué)自動(dòng)控制原理課件第二章

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述引言（數(shù)學(xué)模型的概念和意義）輸入輸出描述法

數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)，傳遞函數(shù)，典型環(huán)節(jié)，

系統(tǒng)的相似性，線(xiàn)性化結(jié)構(gòu)圖（方塊圖）及其等效變換反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)，特征多項(xiàng)式與特征方程12.1引言數(shù)學(xué)模型的定義:描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式建模方法：機(jī)理分析法、實(shí)驗(yàn)法（系統(tǒng)辨識(shí)）類(lèi)型：動(dòng)態(tài)模型、靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程等系統(tǒng)u(t)y(t)白箱法黑箱法灰箱法+2為何要建立數(shù)學(xué)模型？例1：椅子問(wèn)題椅子在不平的地面上是否一定可以放穩(wěn)？2個(gè)簡(jiǎn)單的靜態(tài)模型例子：3設(shè)地面光滑，椅子腿為A、B、C、D，腿長(zhǎng)相等;椅子轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為θ,并定義f(θ)：腿A、C與地面距離之和g(θ)：腿B、D與地面距離之和θADCBADCB∵起碼三腿著地，∴必有f(θ)=0或g(θ)=0令h(θ)=f(θ)-g(θ)椅子轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，輸入θ，輸出h，問(wèn)題：是否有h(θ)=0？設(shè)f(0)=0，g(0)≠0，則當(dāng)θ=0時(shí)，h(0)＜0;4結(jié)論：即使地面不平，只要地面的曲面是連續(xù)變化的，則一定能通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)椅子將其放穩(wěn)。5例2：帆船推力問(wèn)題航向和風(fēng)向已知，如何調(diào)整風(fēng)帆角度以獲得最大推力？6作用在帆上的力為帆船的數(shù)學(xué)模型，輸入β，輸出F2，問(wèn)題：β=？時(shí)F2最大結(jié)論：帆與船的夾角=風(fēng)向與船的夾角的一半時(shí)推力最大作用在船上的推力為對(duì)F2求導(dǎo)可得αβ風(fēng)力FF1F2帆思考：風(fēng)向與航程一定時(shí)，如何以最短時(shí)間走完全程？7為何要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？控制裝置受控對(duì)象檢測(cè)環(huán)節(jié)給定信號(hào)擾動(dòng)－反饋信號(hào)控制量誤差被控量根據(jù)受控對(duì)象的模型和性能要求，設(shè)計(jì)控制器或控制裝置；分析反饋控制系統(tǒng)的性能，進(jìn)行仿真、實(shí)驗(yàn)、調(diào)整、校正、綜合等。8動(dòng)態(tài)模型例:R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題：求輸入u(t)與輸出uc(t)之間的關(guān)系。9線(xiàn)性連續(xù)時(shí)間單變量系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般形式:系統(tǒng)u(t)y(t)實(shí)際系統(tǒng)不可能出現(xiàn)m>n的情況，或者講系統(tǒng)在物理上不可實(shí)現(xiàn)102.2輸入輸出描述法數(shù)學(xué)模型的分類(lèi):111.傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，線(xiàn)性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,

G(s)=Y(s)/U(s)。對(duì)于n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)，設(shè)初始條件為零，經(jīng)拉氏變換后注意系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)結(jié)構(gòu)圖12∴n階線(xiàn)性定常系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數(shù)為根軌跡增益系統(tǒng)增益zi、pi分別為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)（zi≠pi）零極點(diǎn)表達(dá)形式時(shí)間常數(shù)表達(dá)形式13G(s)U(s)Y(s)傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；2.關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明是復(fù)變量s的真有理分式；只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，

與輸入量無(wú)關(guān)；與微分方程可相互轉(zhuǎn)換；只適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)反映系統(tǒng)零初始狀態(tài)下的響應(yīng)；無(wú)零極點(diǎn)相消時(shí)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的一種完全描述。14例:R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)輸入u(t)，輸出uc(t)，求傳遞函數(shù)?由輸入輸出微分方程G(s)U(s)UC(s)153.系統(tǒng)的相似性及非線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性化例1：RC電路uoui

RC輸入輸出傳遞函數(shù)為G(s)Ui(s)Uo(s)16例2：小車(chē)速度與推力的關(guān)系設(shè)小車(chē)速度為v(t)，推力為F，屬于非線(xiàn)性方程，忽略風(fēng)阻則為線(xiàn)性方程非線(xiàn)性方程的線(xiàn)性化：mFfv17輸入輸出傳遞函數(shù)為G(s)mFfv18例3：水箱系統(tǒng)H設(shè)水箱橫截面積為A，則有屬于非線(xiàn)性方程非線(xiàn)性方程的線(xiàn)性化：19H輸入輸出傳遞函數(shù)為G(s)Qi(s)H(s)20結(jié)論同一形式的數(shù)學(xué)描述可以代表不同的實(shí)際系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具有相同的輸入輸出特性；對(duì)于不同的實(shí)際系統(tǒng)，只要其數(shù)學(xué)描述相同，則分析和設(shè)計(jì)的思路、方法及過(guò)程也基本一致。注：上述例子采用的是機(jī)理建模方法，但很多實(shí)際系統(tǒng)是無(wú)法進(jìn)行機(jī)理建模的，而必須借助于“系統(tǒng)辨識(shí)”，即通過(guò)采集輸入輸出的實(shí)驗(yàn)或運(yùn)行數(shù)據(jù)，用一個(gè)最接近這些數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方程來(lái)代表系統(tǒng)的模型，系統(tǒng)辨識(shí)可以離線(xiàn)或在線(xiàn)進(jìn)行。212.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)σjω0×××××××××s復(fù)平面上

零極點(diǎn)的分布典型環(huán)節(jié)的零極點(diǎn)主要分布在虛軸及其以左

的復(fù)平面上22動(dòng)態(tài)方程：y(t)=Ku(t)傳遞函數(shù)：G(s)=K1、比例（放大）環(huán)節(jié)比例系數(shù)Ku(t)y(t)KU(s)Y(s)G(s)uouiR1++－R0RbF1F2杠桿系統(tǒng)例：其他如齒輪系統(tǒng)、電位器、純電阻電路等。23比例（P）控制作用誤差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式；即時(shí)是恒值控制系統(tǒng)，調(diào)節(jié)過(guò)程結(jié)束、系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后仍有誤差（穩(wěn)態(tài)誤差≠0）。比例控制受控對(duì)象檢測(cè)環(huán)節(jié)給定信號(hào)擾動(dòng)－反饋信號(hào)控制量誤差被控量242、慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)很多實(shí)際系統(tǒng)都可近似看作慣性環(huán)節(jié)，如RC電路、爐溫系統(tǒng)、水箱系統(tǒng)、汽車(chē)的加減速過(guò)程等。K=1時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)T1T2T=2T1=T20.6321.0t0y(t)斜率1/TT=T1特點(diǎn)：T越大，響應(yīng)速度越慢。253、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)例：特點(diǎn)：只要輸入不為零，輸出就會(huì)變化，輸入為零后，輸出不再變化；常用來(lái)消除跟蹤誤差。水箱系統(tǒng)hquouiC++－R0Rb26比例+積分（PI）控制作用比例控制的作用同前，是最基本的控制方式；對(duì)于恒值控制系統(tǒng)，積分控制可使誤差最終為零，即穩(wěn)態(tài)誤差=0。積分控制受控對(duì)象檢測(cè)環(huán)節(jié)給定信號(hào)擾動(dòng)－反饋信號(hào)控制量誤差被控量比例控制274、微分環(huán)節(jié)①理想微分②一階微分③二階微分環(huán)節(jié)uouiR++－CRb特點(diǎn)：反映輸入的變化率，有超前作用，常用來(lái)改善動(dòng)態(tài)性能注：微分對(duì)信號(hào)的高頻噪聲很敏感，實(shí)際使用時(shí)通常加慣性環(huán)節(jié)28比例+積分+微分（PID）控制作用

Proportional-Integrel-DerivativeControl

比例控制提供最基本的控制作用；積分控制用來(lái)消除穩(wěn)態(tài)誤差；微分控制反應(yīng)誤差變化率，具有“超前”或“預(yù)測(cè)”作用，可抑制被控量的變化。積分控制受控對(duì)象檢測(cè)環(huán)節(jié)給定信號(hào)擾動(dòng)－反饋信號(hào)控制量誤差被控量比例控制微分控制295、振蕩環(huán)節(jié)ζ稱(chēng)為阻尼比，

ζ<1時(shí)傳遞函數(shù)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，響應(yīng)為衰減振蕩型。ζ：決定振蕩幅度

T：決定響應(yīng)快慢uiuoRLCRLC串聯(lián)電路單位階躍響應(yīng)0tK例：（復(fù)阻抗法）繼續(xù)仿真圖30MATLAB仿真結(jié)構(gòu)圖31振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)（K=1,T=1）ytimeζ=0.1ζ=0.4ζ=0.6ζ=132振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)（K=1,ζ=0.6）ytimeT=0.5T=1T=2返回336、純滯后環(huán)節(jié)u(t)y(t)τt滯后環(huán)節(jié)u(t)y(t)例：溫控開(kāi)關(guān)期望溫度測(cè)溫元件冷水熱水電加熱器水箱水溫控制系統(tǒng)電功率與溫度檢測(cè)此外如計(jì)算機(jī)控制、測(cè)控衛(wèi)星、網(wǎng)絡(luò)控制、過(guò)程控制等。滯后時(shí)間越大，控制難度越大軋輥厚度檢測(cè)鋼板軋制過(guò)程燃?xì)鉄崴鬟M(jìn)氣與水溫冷水熱水進(jìn)氣34練習(xí)：

B2.9（2），（3）；

B2.12；

B2.14(c)35實(shí)驗(yàn)1：典型環(huán)節(jié)的電模擬（3學(xué)時(shí)）聯(lián)系：李亞力老師電氣信息學(xué)院專(zhuān)業(yè)實(shí)驗(yàn)樓40385466288→8216，1333096180236例：RC電路的結(jié)構(gòu)圖Uo(s)相加點(diǎn)或綜合點(diǎn)引出點(diǎn)2.3.1結(jié)構(gòu)圖（方塊圖）及其等效變換uiuoCiRUi(s)I(s)Uo(s)37i1R1U1R2C1C2uouii2例：兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖

Uo---UiU1I1I2注意：兩級(jí)RC≠2個(gè)單級(jí)RC的串聯(lián)，∵有“負(fù)載效應(yīng)”38串聯(lián)連接并聯(lián)連接結(jié)構(gòu)圖的等效變換G1(s)+G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)·G2(s)G1(s)G2(s)39反饋連接（重要，很常用）前向通道傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G

(s)H

(s)40綜合點(diǎn)前移后移引出點(diǎn)后移前移相鄰引出點(diǎn)的移動(dòng)交換或合并相加點(diǎn)相鄰引出點(diǎn)之間或綜合點(diǎn)之間可任意交換或合并41注意例：化簡(jiǎn)下面結(jié)構(gòu)圖引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)之間不能交換!G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A42A點(diǎn)后移G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A1/G4G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A43Y(s)G1G2G3G41+G3G4G5G6/G4-G7-R(s)Y(s)G1G2G3G41+G3G4G51+G6G3G4G2G4(1+G3G4G5)-G7Y(s)R(s)反饋公式反饋公式反饋公式Y(jié)(s)G1G2G3G4G6/G4-G5-G7-R(s)44課堂練習(xí)：通過(guò)結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)求兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出傳遞函數(shù)，并與單級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較。45解：46比較：?jiǎn)渭?jí)RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為練習(xí)：B2.15(a),(c)472.3.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)：參考輸入Y(s)：輸出信號(hào)B(s)：反饋信號(hào)E(s)：跟蹤誤差G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù):Y(s)/R(s),Y(s)/D(s)，E(s)/R(s)等H(s)：反饋支路的傳遞函數(shù)G(s)H(s)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)B(s)術(shù)語(yǔ)介紹：D(s)：擾動(dòng)輸入48輸入信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)：2.3.4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)運(yùn)用反饋公式分母為1+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-49擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)：G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-分母同樣為

1+開(kāi)環(huán)傳函50閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)：分母同樣為

1+開(kāi)環(huán)傳函G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)51G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-F(s)復(fù)合控制系統(tǒng)的