固體物理學-晶格振動與晶體的熱學性質之一維單原子鏈

03_02一維單原子鏈

絕熱近似

——用一個均勻分布的負電荷產生的常量勢場描述電子對離子運動的影響晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式——格波格波的研究

1)先計算原子之間的相互作用力2)根據牛頓定律寫出原子運動方程——求解方程

——將電子的運動和離子的運動分開

一維無限單原子鏈——原子質量m，平衡時原子間距a

——原子之間的作用力

——第n個原子離開平衡位置的位移——第n個原子和第n＋1個原子間的相對位移第n個原子和第n＋1個原子間的距離平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能發(fā)生相對位移后，相互作用勢能——常數——平衡條件簡諧近似

——振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項相鄰原子間的作用力——恢復力常數原子的運動方程——只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力第n個原子的運動方程——每一個原子運動方程類似——方程的數目和原子數相同方程解和振動頻率

設方程組的解naq—第n個原子振動相位因子得到應用三角公式連續(xù)介質中的機械波波數格波方程

格波的意義晶體中的格波——格波和連續(xù)介質波具有完全類似的形式——一個格波表示的是所有原子同時做頻率為的振動波長——格波的波形圖——簡諧近似下，格波是簡諧平面波向上箭頭

——代表原子沿X軸向右振動向下箭頭

——代表原子沿X軸向左振動格波波長格波波矢格波相速度不同原子間相差格波方程相鄰原子的相差波矢的取值和布里淵區(qū)格波相鄰原子相差——原子振動狀態(tài)相同格波1的波矢相鄰原子相差格波格波2的波矢相鄰原子的位相差——波矢q1和q2的格波中，原子的振動完全相同波矢的取值——相鄰原子的相位差取值——

第一布里淵區(qū)——只研究清楚第一布里淵區(qū)的晶格振動問題——其它區(qū)域不能提供新的物理內容玻恩－卡門（Born-Karman）周期性邊界條件——一維無限長單原子晶格___所有原子是等價的每個原子的振動形式都一樣——實際晶體為有限，形成的鏈不是無窮長鏈兩頭的原子___不同于中間原子——N個原子頭尾相接形成環(huán)鏈，保持所有原子等價特點——處理問題時考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性——N很大，原子運動近似為直線運動設第n個原子的位移再增加N個原子之后第N+n個原子的位移則有要求——h為整數波矢的取值范圍h—N個整數值，波矢q——取N個不同的分立值每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)狀態(tài)數波矢——格波的色散關系頻率是波數的偶函數格波相速度—不同波長的格波傳播速度不同色散關系——q空間的周期頻率極小值頻率極大值頻率在之間的格波才能在晶體中傳播其它頻率的格波被強烈衰減——低通濾波器色散關系格波——長波極限當——格波的色散關系與連續(xù)介質中彈性波的一致格波——短波極限——格波的色散關系與連續(xù)介質中彈性波的不一致——不同頻率的格波傳播速度不同長波極限下短波極限下相鄰兩個原子振動相位差——晶格可看作是連續(xù)介質——相鄰原子的振動相位相反——原子位移和簡正坐標的關系

第q個格波引起第n個原子位移第n個原子總的位移令原子坐標和簡正坐標的變換——線性變換為幺正變換——有3N個取值原子位移和簡正坐標的關系

——動能和勢能的形式

——N項獨立的模式動能的正則坐標表示原子位移為實數——正交性勢能——系統(tǒng)勢能哈密頓量——系統(tǒng)復數形式的簡正坐標——勢能——動能——實數形式的簡正坐標令哈密頓量能量本征值聲子——晶格振動的能量量子；或格波的能量量子當這種振動模處于時，說明有個聲子本征態(tài)函數——一個簡正坐標對應一個諧振子方程波函數是以簡正坐標為宗量的諧振子波函數

——聲子是一種元激發(fā)，可與電子或光子發(fā)生作用——晶格振動的問題