地下水?dāng)?shù)值模擬07

第六章

反求水文地質(zhì)參數(shù)的數(shù)值方法一、基本概念正演問題與反演問題正演問題（正問題）：

——在已知地下水流動(dòng)的微分方程及水文地質(zhì)參數(shù)K、M、W、μ、μ*和邊界條件的前提下，求解滲流區(qū)域內(nèi)的水頭分布規(guī)律和流量。反演問題（逆問題）：——根據(jù)地下水的天然動(dòng)態(tài)或抽水試驗(yàn)的觀測(cè)資料研究所選用的方程類型是否適當(dāng)、確定方程的參數(shù)和檢驗(yàn)定解條件。一、基本概念反求參數(shù)問題的適定性解的存在性——解是否存在？解的唯一性——解是否唯一？解的穩(wěn)定性——解是否穩(wěn)定？根據(jù)實(shí)際資料反求滲流區(qū)的水文地質(zhì)參數(shù)(有時(shí)包括邊界流量)，這樣的解是否存在？根據(jù)實(shí)際資料反求的水文地質(zhì)參數(shù)是否唯一？當(dāng)實(shí)測(cè)資料有微小誤差時(shí)，反求的水文地質(zhì)參數(shù)的誤差是否也微小，即水文地質(zhì)參數(shù)是否連續(xù)依賴于實(shí)測(cè)資料。可以滿足很難滿足很難滿足解的唯一性例1均質(zhì)等厚二維承壓含水層穩(wěn)定流動(dòng)問題在同一區(qū)域同一邊界條件下，不管導(dǎo)水系數(shù)T取何值，水頭分布相同。例2◆正問題：H為未知量，T為已知量可以求得：◆逆問題：T為未知量可以求得：需要補(bǔ)充相應(yīng)條件以確定參數(shù)若已知若單從觀測(cè)數(shù)據(jù)反求參數(shù)，可能存在多種解??！解的穩(wěn)定性例水頭較小的誤差，可能會(huì)引起所求參數(shù)較大的誤差!!若實(shí)測(cè)水頭存在誤差ε，即：從數(shù)學(xué)上講：雖然ε很小，但其導(dǎo)數(shù)可能很大。若數(shù)值模型反演問題解的適定性以非均質(zhì)承壓二維非穩(wěn)定流為例(i,j)(i-1,j)(i,j+1)(i,j-1)(i+1,j)如圖所示的有限差分網(wǎng)格，其差分方程為：◆正問題：H為未知量◆逆問題：T、μ*、W為未知量數(shù)值模型反演問題解的適定性根據(jù)方程個(gè)數(shù)N和未知參數(shù)個(gè)數(shù)M（m1+m2+m3）之間的關(guān)系：（1）N<M:方程組可能存在無窮多組解——不滿足唯一性（3）N>M:一般不存在任何一組參數(shù)使所有方程同時(shí)滿足。然而，根據(jù)問題本身的物理特性，應(yīng)該存在一組參數(shù)使這些方程基本得到滿足（2）N=M:當(dāng)系數(shù)矩陣行列式不等于0，能求出唯一解（需要足夠多資料）當(dāng)系數(shù)矩陣行列式的值很小，則水頭觀測(cè)的微小變化可能造成參數(shù)的很大變化——不滿足穩(wěn)定性反求參數(shù)問題的適定性反求參數(shù)問題本身不一定是唯一的，也不一定是穩(wěn)定的。但是對(duì)于實(shí)際問題，我們可以根據(jù)對(duì)水文地質(zhì)條件的初步認(rèn)識(shí)以及通過其它手段得到一些輔助的資料和參數(shù)的約束條件從而使得反求參數(shù)問題在一定程度上是唯一的和穩(wěn)定的。二、反求參數(shù)的直接解法求解思路：指在地下水流動(dòng)微分方程(或描述地下水流動(dòng)的數(shù)值模型)中，將水頭值作為已知量，將待求的參數(shù)(往往包括源匯項(xiàng)及邊界流量)等作為未知量，直接求解未知參數(shù)的方法。常用方法：局部直接求逆法數(shù)學(xué)規(guī)劃法應(yīng)用現(xiàn)狀：對(duì)數(shù)據(jù)誤差十分敏感，對(duì)觀測(cè)資料有過高的要求，因而目前還難以應(yīng)用。局部直接求逆法例已知不同時(shí)刻局部區(qū)域水頭H和源匯項(xiàng)W的實(shí)測(cè)值，需要求解T和μ*設(shè)：優(yōu)點(diǎn)：不需要初始條件，也不需要邊界條件。對(duì)均質(zhì)各向同性、等厚的滲流區(qū)來說，只需要知道某個(gè)局部區(qū)域在兩個(gè)不同時(shí)刻的水頭值和垂直方向的水量交換的實(shí)測(cè)資料，因此，這個(gè)方法稱為“局部直接求逆法”。難點(diǎn)：如何求出方程中水頭對(duì)時(shí)間和空間的導(dǎo)數(shù)。實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式之值通常很小，因此求參數(shù)住往會(huì)產(chǎn)生很大的誤差數(shù)學(xué)規(guī)劃法當(dāng)方程個(gè)數(shù)N>未知參數(shù)個(gè)數(shù)M時(shí)，方程為超定方程組，一般不存在任何一組參數(shù)使所有方程同時(shí)滿足。

根據(jù)問題本身的物理特性，應(yīng)該存在一組參數(shù)使這些方程基本得到滿足。設(shè)對(duì)應(yīng)于參數(shù)組（k1,k2,k3,…,km）,第i個(gè)方程存在剩余求一組參數(shù)，使得剩余Ri達(dá)到最小?？杀硎緸槭Ｓ嗟钠椒郊訖?quán)和最小故構(gòu)建最優(yōu)化問題（規(guī)劃問題）如下：目標(biāo)函數(shù)約束條件優(yōu)點(diǎn)：所求參數(shù)較好的符合實(shí)測(cè)資料難點(diǎn)：需要較多的觀測(cè)資料，對(duì)數(shù)據(jù)誤差敏感三、反求參數(shù)的間接解法求解思路：先給待定的水文地質(zhì)參數(shù)假設(shè)一組初值，通過解正演問題計(jì)算相應(yīng)的水頭分布，然后將計(jì)算水頭值與實(shí)測(cè)水頭值進(jìn)行對(duì)比，看二者擬合程度如何。常用方法：試估——校正法數(shù)學(xué)規(guī)劃法應(yīng)用現(xiàn)狀：較為穩(wěn)定，因而應(yīng)用較多，但被廣泛采用的有限。間接解法的常用公式故解逆問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題（規(guī)劃問題）如下：先給待定的水文地質(zhì)參數(shù)｛k｝假設(shè)一組初值，通過解正演問題計(jì)算出ti時(shí)刻的水頭分布Hj(ti)，設(shè)該點(diǎn)相應(yīng)的水頭觀測(cè)值為Hjobj(ti)

，則計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間的擬合程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)為：非線性約束優(yōu)化問題誤差絕對(duì)值誤差平方和加權(quán)平方和試估——校正法優(yōu)點(diǎn)：除用正演問題的程序外，不需要其它計(jì)算程序。充分發(fā)揮解題人員的能動(dòng)性。難點(diǎn)：當(dāng)待求參數(shù)很多時(shí)，反復(fù)調(diào)整的過程可能延續(xù)很長(zhǎng)。缺乏一個(gè)收斂準(zhǔn)則，很難求得最優(yōu)參數(shù)。根據(jù)研究區(qū)水文地質(zhì)條件和已有的抽水試驗(yàn)資料初步擬定一組參數(shù)值，通過解正演問題計(jì)算出各結(jié)點(diǎn)各時(shí)刻的水頭值，然后將計(jì)算水頭值與實(shí)測(cè)水頭值進(jìn)行擬合對(duì)比，如擬合不好，則對(duì)給出的參數(shù)初值進(jìn)行調(diào)整，再按正演問題計(jì)算。重復(fù)這一過程，直到計(jì)算水頭值與實(shí)測(cè)水頭值之差足夠小為止。逐個(gè)修正法基本思想：——初步選定一組參數(shù)｛k(0)

｝，逐個(gè)修正其中每一個(gè)分量ki0，全部修正完后便得到一組參數(shù)的改進(jìn)值｛k(1)

｝。特點(diǎn)：以單因素優(yōu)選法為基礎(chǔ)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行逐個(gè)修正，能在滿足約束條件下逐步減小目標(biāo)函數(shù)值。但收斂速度不快，只有參數(shù)個(gè)數(shù)不多（n<10）且初值選取得比較好時(shí)才能體現(xiàn)出優(yōu)越性。步驟：怎么找到最優(yōu)值呢？——單因素優(yōu)選法例：0.618法、二次插值法給定參數(shù)初值：保持其余n-1個(gè)參數(shù)值不變，對(duì)第一個(gè)參數(shù)按單因素優(yōu)選法在變化范圍內(nèi)選出參數(shù)的改進(jìn)值，得到參數(shù)：保持其余n-1個(gè)參數(shù)值不變，對(duì)第二個(gè)參數(shù)按單因素優(yōu)選法在變化范圍內(nèi)選出參數(shù)的改進(jìn)值，得到參數(shù)：重復(fù)上述步驟，直至全部參數(shù)修改一遍，得到參數(shù)的改進(jìn)值檢查收斂條件。若滿足則停止運(yùn)算，否則以改進(jìn)值代替初值，重復(fù)第一步0.618法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)具有單峰性，即函數(shù)在區(qū)間上有唯一極小點(diǎn)。若在此區(qū)間之內(nèi)任取兩點(diǎn)a1和b1，且a1

＜b1，然后計(jì)算這兩點(diǎn)的函數(shù)值，則可能出現(xiàn)以下三種情況：

怎樣取a1、b1？二次插值法假設(shè)評(píng)價(jià)函數(shù)E對(duì)單個(gè)參數(shù)而言，可近似的看作拋物線關(guān)系，即二次函數(shù)。將此拋物線最低點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)值作為該參數(shù)的最優(yōu)值。取三個(gè)不同的k1值，確定拋物線方程中a1，a2單純形搜索法多維直接搜索法，可同時(shí)修正所有的待求參數(shù)。所謂單純形是指在n維空間中具有n+1個(gè)頂點(diǎn)的多面體。利用單純形的頂點(diǎn)，計(jì)算其函數(shù)值并加以比較，從中確定有利的搜索方向和步長(zhǎng)，找到一個(gè)較好的點(diǎn)取代單純形中較差的點(diǎn)，組成新的單純形來代替原來的單純形，

例需要確定兩個(gè)水文地質(zhì)參數(shù)k1，k2取3組不同的（k1,k2），在二維平面上對(duì)應(yīng)三個(gè)點(diǎn)pHpLpG單純形單純形的基本操作pHpLpG評(píng)價(jià)函數(shù)最大評(píng)價(jià)函數(shù)最小評(píng)價(jià)函數(shù)次大過pH點(diǎn)并穿過其余二點(diǎn)的中點(diǎn)pC的方向?yàn)楹线m的尋找方向pC（1）反射：沿pHpC方向取點(diǎn)pR，使：pHpC=pCpR（2）壓縮：若ER≥EH，說明pR前進(jìn)的太遠(yuǎn)，需要適當(dāng)后退則在pH和pR之間另取新點(diǎn)pSpR（3）擴(kuò)張：若ER<EH，說明沿pHpC方向還可以前進(jìn)的更遠(yuǎn)則在pHpR延長(zhǎng)線上另取新點(diǎn)pE若EE≤ER，擴(kuò)張成功，pS=pE若EE>ER，擴(kuò)張不成功，pS=pR反射壓縮擴(kuò)張（4）收縮：若ES≥EG，說明用pS代替pH不過有多大改善，則將原單純形縮小，組成新的單純形n個(gè)水文地質(zhì)參數(shù)，給出n+1組。α——擴(kuò)張因