大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)緒論一、物理實(shí)驗(yàn)課的地位、作用和任務(wù)二、教學(xué)內(nèi)容基本要求

三、物理實(shí)驗(yàn)的基本環(huán)節(jié)

1、實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)2、實(shí)驗(yàn)進(jìn)行

3實(shí)驗(yàn)總結(jié)實(shí)驗(yàn)總結(jié)環(huán)節(jié)包含了對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、操作過程及技巧、注意事項(xiàng)、實(shí)驗(yàn)收獲等方面的整體回顧，并將相關(guān)內(nèi)容以一份簡(jiǎn)潔、明了、工整、有見解的實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式反映出來(lái)。一份完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)該包含如下基本內(nèi)容：(1).實(shí)驗(yàn)名稱（5分）

(2).實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?分）

(3).實(shí)驗(yàn)儀器（5分）

(4).實(shí)驗(yàn)原理簡(jiǎn)要敘述有關(guān)物理內(nèi)容（包括

電路圖或光路圖或?qū)嶒?yàn)裝置示意圖）及測(cè)量中

依據(jù)的主要公式、式中各量的物理含義及單位、

公式成立所應(yīng)滿足的實(shí)驗(yàn)條件等；（30分）

(5).實(shí)驗(yàn)步驟根據(jù)實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程寫明關(guān)鍵步

驟；（5分）(6).數(shù)據(jù)報(bào)告與數(shù)據(jù)處理基本要求包括：列表報(bào)告數(shù)據(jù)、完成計(jì)算(計(jì)算要有計(jì)算式，代入的數(shù)據(jù)都要有根據(jù))、曲線圖(圖線要規(guī)矩、美觀)、實(shí)驗(yàn)結(jié)果報(bào)告、誤差分析或不確定度計(jì)算；（40分）

(7).小結(jié)和討論內(nèi)容不限，可以是實(shí)驗(yàn)中現(xiàn)象的分析，對(duì)實(shí)驗(yàn)關(guān)鍵問題的研究體會(huì)，實(shí)驗(yàn)的收獲和建議，也可以是解答實(shí)驗(yàn)思考題。（10分）

測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)知識(shí)

第一節(jié)測(cè)量誤差與結(jié)果表達(dá)

一測(cè)量

1、測(cè)量一般地說(shuō)，測(cè)量是指一定的人、依據(jù)一定的理論和方法、使用一定的儀器、量具，在一定的環(huán)境中對(duì)某些物理量進(jìn)行測(cè)定的過程。測(cè)量的一般方法是將待測(cè)的物理量與一個(gè)選來(lái)作為標(biāo)準(zhǔn)的同類量進(jìn)行比較，得出它們之間的倍數(shù)關(guān)系。選作標(biāo)準(zhǔn)的同類量稱之為單位，其倍數(shù)便是測(cè)量的數(shù)值。由此可見，一個(gè)物理量的測(cè)量值等于測(cè)量數(shù)值與單位的乘積。

2、測(cè)量的分類

測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)煞N。

直接測(cè)量是指可以和標(biāo)準(zhǔn)量具、量?jī)x直接進(jìn)行比較而得到測(cè)量數(shù)值的測(cè)量。比如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、溫度等量可分別用米尺、停表、天平、溫度計(jì)等直接測(cè)量。

間接測(cè)量是指不能直接測(cè)出結(jié)果，但可以先通過直接測(cè)量與它有關(guān)的一些物理量，然后利用公式求得結(jié)果的測(cè)量稱為間接測(cè)量。如測(cè)量一立方體物質(zhì)的密度，可以先直接測(cè)量出它的邊長(zhǎng)和質(zhì)量m，然后利用公式計(jì)算出密度；測(cè)量重

力加速度，可先直接測(cè)出單擺的長(zhǎng)度和單擺的周期T，再應(yīng)用公式

求得，等等。

物理實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量多數(shù)是間接測(cè)量。二誤差

1、真值、約定真值（公認(rèn)值）、最佳值

在一定的條件下，任何一個(gè)物理量都有一個(gè)實(shí)實(shí)在在的、不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀數(shù)值，該數(shù)值即為該物理量的真值。

通過大量實(shí)驗(yàn)測(cè)定或計(jì)算得到、并經(jīng)國(guó)際計(jì)量會(huì)議約定的某些基本物理常數(shù)、基本單位標(biāo)準(zhǔn)或經(jīng)高一級(jí)儀器校驗(yàn)過的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器具的量值等一般稱為約定真值或公認(rèn)值。

實(shí)驗(yàn)和計(jì)算表明，在對(duì)某一物理量x的n次測(cè)量

中，其算術(shù)平均值最接

近該物理量的客觀真值，稱為近真值或最佳值（n→∞時(shí)，→真值）。

2、誤差

在實(shí)驗(yàn)過程中，人們的主觀愿望總是希望準(zhǔn)確地測(cè)出待測(cè)物理量的真值。但是，任何測(cè)量總是依據(jù)一定的理論和方法、使用一定的儀器、在一定的環(huán)境中、由一定人進(jìn)行的。由于實(shí)驗(yàn)理論近似性，實(shí)驗(yàn)儀器的分辨能力和靈敏度的局限性，實(shí)驗(yàn)環(huán)境的不穩(wěn)定性以及人的實(shí)驗(yàn)技能和判斷能力的影響等，使測(cè)量值與待測(cè)量的真值不可能完全相同。也就是說(shuō)，測(cè)量值與真值

之間始終存在著差異，這個(gè)差異稱為測(cè)量誤差，簡(jiǎn)稱誤差。測(cè)量誤差的大小反映了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。測(cè)量誤差可以用絕對(duì)誤差表示，也可以用相對(duì)誤差來(lái)表示：

絕對(duì)誤差=|測(cè)量值－真值|（=︱－︱）（1－1）

相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/真值（1－2）

在實(shí)際使用中，由于真值始終是未知的，所以常用公認(rèn)值或最佳值代替真值進(jìn)行計(jì)算。三、誤差的分類及處理

實(shí)踐證明，測(cè)量結(jié)果總存在誤差，或者說(shuō)誤差不可避免地存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量之中。因此，分析測(cè)量過程中可能產(chǎn)生誤差的各種因素，盡可能消除其影響，并對(duì)最后結(jié)果中未能消除的誤差做出估計(jì)，分析測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，就是物理實(shí)驗(yàn)和其它科學(xué)實(shí)驗(yàn)中不可缺少的重要工作。

（一）、誤差的分類及成因

測(cè)量誤差按其產(chǎn)生的原因與性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差三大類。

1、系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是指在同一條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，誤差的大小符號(hào)均保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)，按某一確定的已知規(guī)律變化的誤差。

系統(tǒng)誤差來(lái)自以下幾方面：

(1)儀器誤差所謂儀器誤差，是指測(cè)量時(shí)由于所用的測(cè)量?jī)x器、儀表不準(zhǔn)確所引起的基本誤差。例如刻度不準(zhǔn)、零點(diǎn)不對(duì)、砝碼未經(jīng)校準(zhǔn)、天平臂不等長(zhǎng)、應(yīng)該水平放置的儀器沒有放水平等。

(2)環(huán)境誤差當(dāng)測(cè)量?jī)x器偏離了規(guī)定條件使用時(shí)，如受環(huán)境的溫度、電源電壓、頻率、外界電磁場(chǎng)等等發(fā)生變化的影響，都會(huì)使測(cè)量產(chǎn)生誤差。

(3)方法誤差這種測(cè)量誤差是由于測(cè)量方法不完善或所依據(jù)的理論不嚴(yán)密所產(chǎn)生的。凡是在測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式中沒有得到反映，而在實(shí)際測(cè)量中又起作用的一些因素所引起的誤差，都稱為方法（或理論）誤差。例如在空氣中稱質(zhì)量而沒有考慮空氣浮力的影響，測(cè)長(zhǎng)度時(shí)沒有考慮溫度使尺長(zhǎng)改變，測(cè)電壓時(shí)未考慮電壓表內(nèi)阻對(duì)電路的影響，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動(dòng)勢(shì)未作溫度修正等。

(4)個(gè)人誤差這是由實(shí)驗(yàn)者生理或心理特點(diǎn)、缺乏經(jīng)驗(yàn)等引起的。例如有些人習(xí)慣于側(cè)坐斜視讀數(shù)，眼睛辨色能力較差等，估計(jì)讀數(shù)始終偏大或偏小，記錄信號(hào)時(shí)始終超前或滯后。

很明顯，系統(tǒng)誤差的特征是它的確定性和規(guī)律性，即實(shí)驗(yàn)條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就獲得了一個(gè)客觀上的確定值，一旦實(shí)驗(yàn)條件變化，那么系統(tǒng)誤差也是按一種確定規(guī)律變化。2、隨機(jī)誤差（又稱偶然誤差）

在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行重復(fù)多次測(cè)量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度之后，測(cè)量值仍然會(huì)出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無(wú)法控制的起伏，而且測(cè)量值誤差的絕對(duì)值和符號(hào)在隨機(jī)地變化著。這種誤差稱之為隨機(jī)誤差。

隨機(jī)誤差主要來(lái)源于人們視覺、聽覺和觸覺等感覺能力的限制以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動(dòng)等因素的影響。從個(gè)別測(cè)量值來(lái)看，它的數(shù)值帶有隨機(jī)性，好像雜亂無(wú)章。但是，如果測(cè)量次數(shù)足夠多的話，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可以用概率理論來(lái)估算它。

大量的測(cè)量隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）。其特征表現(xiàn)為正方向誤差和負(fù)方向誤差出現(xiàn)的次數(shù)大體相等，數(shù)值較小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)較多，很大的誤差在沒有錯(cuò)誤的情況下通常不出現(xiàn)。這一規(guī)律在測(cè)量次數(shù)越多時(shí)表現(xiàn)得越明顯，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中對(duì)它有充分的研究。

3、過失誤差（錯(cuò)誤）

在測(cè)量中還可能出現(xiàn)測(cè)量值明顯遠(yuǎn)離了正常測(cè)量值的異常誤差，稱為過失誤差（或錯(cuò)誤）。這種錯(cuò)誤是由于實(shí)驗(yàn)者的粗心、不正確的操作和實(shí)驗(yàn)條件的突變等引起的。例如讀數(shù)錯(cuò)誤、記錄錯(cuò)誤、操作錯(cuò)誤、估算錯(cuò)誤等等。（二）、誤差的分析與處理

由上面的分析可知，產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因很多，在具體的實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)針對(duì)不同的原因，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和修正。

1、系統(tǒng)誤差的分析處理

由于系統(tǒng)誤差有確定性和規(guī)律性，因此，可以通過校準(zhǔn)儀器、儀表、量具，改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)方法，或?qū)?shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行理論上的分析等辦法來(lái)對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正、減小并盡可能消除。發(fā)現(xiàn)和減小實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)誤差通常是困難的，需要對(duì)整個(gè)實(shí)驗(yàn)所依據(jù)的原理、方法、測(cè)量步驟及所用儀器等可能引起誤差的各種因素一一進(jìn)行分析。一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否正確，往往在于系統(tǒng)誤差是否已被發(fā)現(xiàn)和盡可能消除。2、過失誤差的分析處理

過失誤差所產(chǎn)生的錯(cuò)誤已不屬于正常的測(cè)量工作范疇，應(yīng)當(dāng)盡量避免?？朔^失誤差的辦法，首先是端正對(duì)待實(shí)驗(yàn)的態(tài)度，樹立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)，掌握正確的測(cè)量方法。對(duì)偶發(fā)性過失誤差，可用和多次測(cè)量結(jié)果相比較的辦法發(fā)現(xiàn)并糾正，或者運(yùn)用異常數(shù)據(jù)剔除準(zhǔn)則來(lái)判別因過失而引起的異常數(shù)據(jù)，并加以剔除。3、隨機(jī)誤差的分析處理

根據(jù)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律性，人們知道：①多次測(cè)量時(shí)，正負(fù)隨機(jī)誤差可以大致相消，因而用多次測(cè)量的算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果可以減少隨機(jī)誤差的影響；②測(cè)量值的分散程度直接體現(xiàn)隨機(jī)誤差的大小，測(cè)量值越分散，測(cè)量的隨機(jī)誤差就越大，因此，必須對(duì)測(cè)量的隨機(jī)誤差做出估計(jì)才能反映出測(cè)量的精密度。對(duì)隨機(jī)誤差估計(jì)的方法有多種，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，常用算術(shù)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)估計(jì)測(cè)量的隨機(jī)誤差。(1)殘差和誤差

設(shè)

為被測(cè)量的真值，

為有限次測(cè)量的平均值（最佳值），其中

為單次測(cè)量值。

①殘差單次測(cè)量值與測(cè)量平均值（最佳值）

之差即

（1－3）

②誤差單次測(cè)量值

與被測(cè)量真值

之差。

（1－4）

由于待測(cè)物理量的真值的不可知性，實(shí)驗(yàn)中常用公認(rèn)值或最佳值代替真值，而用殘差代替誤差。另一方面，由于殘差或誤差有正有負(fù)，有大有小，故常用算術(shù)平均法和“方均根”法對(duì)它們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

(2)算術(shù)平均偏差

在對(duì)某一物理量進(jìn)行n次等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)中，求各單次測(cè)量的殘差的絕對(duì)值的平均值，便得到算術(shù)平均偏差，即

（1－5）

算術(shù)平均偏差是估計(jì)隨機(jī)誤差的最簡(jiǎn)單的一種方法，對(duì)初步涉及科學(xué)實(shí)驗(yàn)及誤差分析的學(xué)生，可用算術(shù)平均偏差代替測(cè)量的絕對(duì)誤差，然后逐漸過渡到標(biāo)準(zhǔn)偏差和不確定度的理解及計(jì)算。四、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式

通過實(shí)驗(yàn)的方法不能唯一地確定待測(cè)物理量的真值，即不能將測(cè)量結(jié)果表達(dá)為某一具體數(shù)值，只能確定真值可能出現(xiàn)的范圍，因此測(cè)量的結(jié)果通常表達(dá)成

測(cè)量結(jié)果=（測(cè)量的最佳值±測(cè)量誤差值）（單

位）即：

（單位）（1－8）

它表示：可以有相當(dāng)把握地說(shuō)，待測(cè)量的真值

就在-至+的范圍之間。越小，測(cè)量的最佳值與真值越接近，測(cè)量的準(zhǔn)確度也越高。應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)的是：測(cè)量（最佳）值，誤差和單位是表示測(cè)量結(jié)果的三個(gè)要素。第二節(jié)測(cè)量結(jié)果誤差的計(jì)算

本節(jié)主要討論測(cè)量值的誤差計(jì)算。誤差的計(jì)算是在錯(cuò)誤數(shù)據(jù)已經(jīng)剔除，系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除或系統(tǒng)誤差相對(duì)于隨機(jī)誤差小得多情況下進(jìn)行的。

一、單次直接測(cè)量誤差的估計(jì)

實(shí)驗(yàn)時(shí)，有時(shí)不可能進(jìn)行重復(fù)的測(cè)量（如一瞬即逝的現(xiàn)象），有時(shí)多次測(cè)量也無(wú)必要。這時(shí)可用一次測(cè)量值作為測(cè)量結(jié)果的最佳值，取儀器誤差作為測(cè)量誤差。

儀器誤差是指儀器在規(guī)定的使用條件下，正確地使用儀器時(shí)，可能產(chǎn)生的最大誤差，用表示。關(guān)于儀器誤差，有如下幾種情況：

1、儀器誤差通常標(biāo)在儀器的銘牌上。有時(shí)用儀器準(zhǔn)確度級(jí)別表示。不同儀器的準(zhǔn)確度級(jí)別的含義是不相同的，應(yīng)該用相應(yīng)公式進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成以下習(xí)慣：實(shí)驗(yàn)前先仔細(xì)查看儀器的銘牌，并將可能有用的數(shù)據(jù)（型號(hào)、量程和級(jí)別等）記錄下來(lái)。

2、若沒有給出儀器誤差，可用下述方法進(jìn)行估計(jì)：對(duì)有游標(biāo)的量具和非連續(xù)讀數(shù)的儀表（電子秒表、數(shù)字儀表），取最小分度值作為單次直接測(cè)量的誤差；對(duì)連續(xù)讀數(shù)儀表、量具（如直尺），取最小分度值的一半作為單次直接測(cè)量的誤差。二、多次直接測(cè)量誤差計(jì)算

為了測(cè)量準(zhǔn)確，在條件許可的情況下，總是采用多次重復(fù)測(cè)量，但測(cè)量次數(shù)總是有限的（一般實(shí)驗(yàn)中重復(fù)次數(shù)≤10次），可求出測(cè)量值的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳值，用公式（1－5）求算術(shù)平均偏差來(lái)作為測(cè)量誤差。

測(cè)量結(jié)果表達(dá)：（單位）（粗略估算）

三、間接測(cè)量誤差計(jì)算

在實(shí)驗(yàn)中，間接測(cè)得量是由直接測(cè)得量通過計(jì)算得到的。直接測(cè)量有誤差，間接測(cè)量也必然有誤差，這稱為誤差的傳播。由直接測(cè)得量的誤差通過誤差傳播公式可以求出間接測(cè)得量的誤差。

間接測(cè)量的算術(shù)合成誤差傳播公式

設(shè)待測(cè)量N是n個(gè)獨(dú)立的可直接測(cè)定的物理量A，B，C，……，H的函數(shù)，即

N=f（A，B，C，……，H）（2－1）

如果各直接測(cè)得量的平均值分別為，其絕對(duì)誤差的平均值分別為，則間接測(cè)得量N的平均值為，其絕對(duì)誤差的平均值則計(jì)為。那么，在不同函數(shù)運(yùn)算的情況下，到底該如何計(jì)算呢？下面以只有兩個(gè)直接測(cè)得量的情況為例分別加以說(shuō)明。

（1）加減法運(yùn)算中的合成誤差

當(dāng)N=A±B時(shí)，其測(cè)量結(jié)果表達(dá)為

前兩項(xiàng)代表，后兩項(xiàng)是不確定項(xiàng)，

它們有四種可能的組合?？紤]最不利情況取值，得到間接測(cè)得量N的絕對(duì)誤差為：

（2－2）

相對(duì)誤差Er=（2－3）

結(jié)論一：幾個(gè)直接測(cè)得量相加或相減的結(jié)果的絕對(duì)誤差等于各直接測(cè)得量的絕對(duì)誤差之和。（2）乘法運(yùn)算中的合成誤差

當(dāng)N=A?B時(shí)，其測(cè)量結(jié)果表達(dá)為：

略去最后一項(xiàng)二階小量，并考慮最不利情況取值，

得到：

顯然

且絕對(duì)誤差

（2－4）

相對(duì)誤差

Er=（2－5）

（3）除法運(yùn)算中的的合成誤差

若N=A/B，則其測(cè)量結(jié)果表達(dá)為：

=

=

略去二階小量且考慮最不利情況取值，顯然有

且絕對(duì)誤差=

相對(duì)誤差

Er=

結(jié)論二：幾個(gè)因子相乘或相除的結(jié)果的相對(duì)誤差等于各因子的相對(duì)誤差之和。

（4）一般運(yùn)算關(guān)系下的合成誤差

對(duì)于一般的函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，可按下列方法求絕對(duì)誤差。

對(duì)N=f（A，B，C，……，H）所示函數(shù)關(guān)系求N的全微分，得：

則絕對(duì)誤差為：

由于上式右端各項(xiàng)分誤差的符號(hào)正負(fù)不定，考慮最不利情況取值時(shí)，各項(xiàng)分誤差須累加，因此，將上式右端各項(xiàng)分別取絕對(duì)值相加，可得間接測(cè)得量N的絕對(duì)誤差為：

（2-8）

對(duì)于相對(duì)誤差，可先取N=f（A，B，C，……，H)

所示函數(shù)關(guān)系的對(duì)數(shù)

然后再求全微分，得

及相對(duì)誤差為：Er=

（2-9）

（2－8）、（2—9）常稱為間接測(cè)量算術(shù)合成誤差的傳播公式。

結(jié)論三：間接測(cè)得量的絕對(duì)誤差等于函數(shù)對(duì)自變量的全微分，相對(duì)誤差是對(duì)函數(shù)取對(duì)數(shù)后再對(duì)自變量全微分。

這表明，有時(shí)候先計(jì)算相對(duì)誤差，后計(jì)算絕對(duì)誤差會(huì)簡(jiǎn)單一些。例：

（為常量），求間接測(cè)量量的誤差傳播公式。

解：對(duì)公式取對(duì)數(shù)，得

求全微分，得

合并同一變量的系數(shù)后再將微分號(hào)改為誤差號(hào)，求得：

第四節(jié)

有效數(shù)字

在使用的儀器、儀表、量具上讀出待測(cè)物理量的量值，是測(cè)量過程的重要內(nèi)容。對(duì)大多數(shù)物理實(shí)驗(yàn)，還需要對(duì)直接讀出的數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算，才能得到（間接測(cè)量）結(jié)果。很明顯，讀數(shù)和運(yùn)算都必須遵守一定的規(guī)則，而不能隨心所欲。本節(jié)主要介紹與數(shù)值的讀數(shù)、運(yùn)算、取舍、保留等問題相關(guān)的一些規(guī)則。

一、有效數(shù)字和儀器讀數(shù)規(guī)則

1、有效數(shù)字

測(cè)量過程必然涉及數(shù)據(jù)處理，數(shù)據(jù)處理首先是從儀器、儀表、量具上讀取數(shù)據(jù)。可以準(zhǔn)確讀出的數(shù)據(jù)稱為可靠數(shù)；不能準(zhǔn)確讀出，但可以根據(jù)最小分度的大小、指針的粗細(xì)等具體情況估計(jì)出來(lái)的數(shù)值稱為可疑數(shù)?？梢蓴?shù)明顯只有一位，因?yàn)樵傧胱x出后面的幾位數(shù)來(lái)已經(jīng)完全失去了依據(jù)。全部可靠數(shù)加上一位可疑數(shù)稱為測(cè)量的有效數(shù)字。

如圖1所示，用毫米尺測(cè)量一段工件長(zhǎng)度。工件的長(zhǎng)度大于13mm，小于14mm，可以準(zhǔn)確讀出的是13mm；其右端點(diǎn)超過13mm刻度線的部分估計(jì)為6/10格（0.6mm），工件的長(zhǎng)度即為13.6mm。很明顯，前兩位13是可靠數(shù)，而最后一位0.6mm則是從直尺上最小刻度間估計(jì)出來(lái)的，是可疑數(shù)（盡管可疑，但還是有一定根據(jù)，是有意義的）。

圖1用毫米刻度尺測(cè)工件長(zhǎng)度

全部可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字相加組成的數(shù)字13.6mm便是測(cè)量值的有效數(shù)字。顯然，用這種規(guī)格的尺子來(lái)進(jìn)行測(cè)量已不可能再準(zhǔn)確了?？梢?，有效數(shù)字的多少，可疑數(shù)出現(xiàn)的位置等包含了待測(cè)物理量以及在該測(cè)量條件下所能達(dá)到的準(zhǔn)確程度等信息，是數(shù)據(jù)處理的依據(jù)。當(dāng)被測(cè)物理量和測(cè)量?jī)x器選定后，測(cè)量值的有效數(shù)字及其位數(shù)就已經(jīng)確定了。不能多取，也不能少取。少取了會(huì)損害測(cè)量的精度，多取了則又夸大了測(cè)量的精度。2、有效位數(shù)的概念

測(cè)量過程中，能夠讀出來(lái)的全部可靠數(shù)和一位可疑數(shù)加在一起的位數(shù)稱為測(cè)量值的有效位數(shù)。比如：13.6mm是三位有效數(shù)字、18.600是五位有效數(shù)字、0.01是一位有效數(shù)字等等。但對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)值，判斷其有效位數(shù)（特別是數(shù)字前后有零的時(shí)候），有以下幾種情況需要注意：

（1）數(shù)字中間的零不管什么情況，數(shù)字中間的零都代表有效數(shù)字。例如，40000.5cm有6個(gè)有效數(shù)字，其有效位數(shù)是6位；40.005mm有5個(gè)有效數(shù)字，有效位數(shù)是五位。

（2）數(shù)字末尾的零一個(gè)數(shù)字末尾的零，無(wú)論有無(wú)小數(shù)點(diǎn)，全部都是有效數(shù)字，不能隨意取舍。例如：1020是四位有效數(shù)；60.0100cm，其有效數(shù)字為6位，不能寫作60.01cm。（3）第一位非零數(shù)字左邊的零第一位非零數(shù)字左邊的零都不代表有效數(shù)字，稱為無(wú)效零。例如，0.0302cm，有效位為三位；0.000030mm，則只有兩位有效數(shù)字。

（4）有效數(shù)字位數(shù)與單位變換無(wú)關(guān)不同的計(jì)量單位，待測(cè)量的數(shù)值大小不同，在進(jìn)行單位換算時(shí)，其數(shù)值的有效位數(shù)不能改變。因此，在變換單位時(shí)，為了正確表達(dá)出有效位數(shù)，實(shí)驗(yàn)中常采用科學(xué)計(jì)數(shù)法（10的冪次方）。例如：

這種寫法不僅簡(jiǎn)潔明了，特別當(dāng)數(shù)值很大和很小時(shí)，突出了有效數(shù)字，而且還使數(shù)值計(jì)算和定位變得簡(jiǎn)單。3、儀器的讀數(shù)規(guī)則

盡管不同的儀器、儀表、量具讀數(shù)的方法有所不同，但讀數(shù)的原則都一樣：即讀出全部有效數(shù)字。圖2估讀到1/5格值

（1）估讀有一些量?jī)x量

具，比如米尺、指針式儀表

等，讀數(shù)時(shí)需要估讀。估讀

時(shí)首先根據(jù)最小分格的大小、

指針的粗細(xì)等具體情況，考

慮把最小分格分成幾份來(lái)估

讀，通常讀到格值的1/10、

1/5或1/2。前述圖1是估讀到

最小格值的1/10。圖2是估讀

到1/5格值的例子。 圖2估讀到1/5格值（2）“對(duì)準(zhǔn)”時(shí)的讀數(shù)有一些量?jī)x量具，比如游標(biāo)卡尺、數(shù)顯式儀表等，讀數(shù)時(shí)沒有估計(jì)數(shù)，只需要記錄下顯示的全部數(shù)據(jù)。因?yàn)闇y(cè)量?jī)x器一經(jīng)選定，能夠讀出的有效位數(shù)就完全確定了。例如，用50分度的游標(biāo)卡尺測(cè)一物體的長(zhǎng)度，游標(biāo)上的0刻線恰與主尺3cm刻線對(duì)準(zhǔn)。50分度游標(biāo)卡尺的分度值是0.02mm,這類儀器不估讀，讀數(shù)應(yīng)讀到厘米的千分位，測(cè)量值為3.000cm，有效數(shù)字是四位，不可以記為3cm。反過來(lái)，如果以為“對(duì)準(zhǔn)”是準(zhǔn)確無(wú)誤，3后面的0有無(wú)窮多個(gè)也是錯(cuò)的。因?yàn)橛螛?biāo)卡尺有一定的準(zhǔn)確度，且“對(duì)準(zhǔn)”也是在一定分辨能力限制下的對(duì)準(zhǔn)。二、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

對(duì)于間接測(cè)量，除了從儀器上讀出有效數(shù)值以外，還必須經(jīng)過函數(shù)運(yùn)算才能得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為了準(zhǔn)確反映間接測(cè)量結(jié)果的數(shù)值及其有效位數(shù)，就必須理解有效數(shù)字運(yùn)算過程的一些規(guī)則。

1、加減法運(yùn)算

和或差計(jì)算的結(jié)果，其末位和參與加減運(yùn)算各量中末位數(shù)字?jǐn)?shù)位最高的一個(gè)相同。如：

2、乘除法運(yùn)算

積或商結(jié)果的有效位數(shù)，和參與乘除運(yùn)算各量中有效數(shù)字位數(shù)最少者的位數(shù)相同。如：

3、乘方、開方運(yùn)算

乘方、開方運(yùn)算結(jié)果的有效位數(shù)與其底數(shù)的位數(shù)相同。

4、函數(shù)運(yùn)算

一般情況下，有效數(shù)對(duì)某一函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后，其結(jié)果保留的有效位數(shù)，可用如下方法確定：先用微分方法（或誤差遞推公式）求出該函數(shù)的誤差公式，再將直接測(cè)量值的誤差（或不確定度）代入誤差公式來(lái)確定函數(shù)的誤差（或不確定度），然后根據(jù)測(cè)量結(jié)果最后一位數(shù)字與誤差（或不確定度）對(duì)齊的原則來(lái)確定間接測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)。若直接測(cè)量值沒有標(biāo)明誤差（或不確定度），則在直接測(cè)量值的最后一位數(shù)取1作為誤差（或不確定度）代入公式。下面舉例說(shuō)明。例1已知x=25.4，求lnx。

解：對(duì)lnx求微分，得誤差公式為

由于直接測(cè)量值x沒有標(biāo)明誤差（或不確定度），故在直接測(cè)量值的最后一位數(shù)上取1作為誤差（或不確定度），即=0.1，將x，代入上式得

因此，根據(jù)“對(duì)齊原則”，lnx的尾數(shù)應(yīng)保留到小數(shù)點(diǎn)后三位，即lnx=ln25.4=3.235

可見，x的自然對(duì)數(shù)lnx，其尾數(shù)部分的位數(shù)與該數(shù)x的有效數(shù)字相同。

5、運(yùn)算中常數(shù)和自然數(shù)的取位

自然數(shù)是準(zhǔn)確的，可認(rèn)為有無(wú)窮多位有效數(shù)字，例如自然數(shù)2，在它小數(shù)點(diǎn)后面有無(wú)窮多個(gè)0，在算式中不必把那些0寫出來(lái)。 運(yùn)算中無(wú)理常數(shù)（如π、e、等）的位數(shù)比參加運(yùn)算的各分量中有效位最少者多取一位。例如，計(jì)算L=2πR，已知R=2.38cm，式中2是自然數(shù)，π=3.14159265……，但因R此時(shí)只有三位有效數(shù)，故π取3.142參與計(jì)算便夠了。L=2πR=15.0cm三、數(shù)值的修約規(guī)則 測(cè)量結(jié)果數(shù)值的取舍，首先要確定直接讀數(shù)的準(zhǔn)確性，再根據(jù)有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，或根據(jù)計(jì)算出的誤差來(lái)確定需要保留的有效數(shù)字的位數(shù)，后面多余的數(shù)字就應(yīng)予以舍入修約。舍入修約規(guī)則一般為“四舍六入五湊偶”：尾數(shù)小于5則舍，尾數(shù)大于5則入，等于5則把尾數(shù)湊成偶數(shù)（即5前若是偶數(shù)，則把該5舍去，保持這個(gè)偶數(shù)；若5前是奇數(shù)，則該5進(jìn)1，將這個(gè)奇數(shù)湊成偶數(shù)）。

例如：3.12446取四位效數(shù)字為3.124；78.1661取三位效數(shù)字為78.2； 123456取四位效數(shù)字為1.234×；453.35取四位效數(shù)字為453.4。

考慮誤差寧大勿小原則，誤差的修約可按只入不舍的規(guī)則。四、有效數(shù)字與誤差（或不確定度）的關(guān)系

測(cè)量值的有效數(shù)字和誤差是一種相互依賴和相互制約的關(guān)系。我們知道，有效數(shù)字的末位是估讀數(shù)字，存在不確定性。因此，在一般情況下，測(cè)量結(jié)果的絕對(duì)誤差（或絕對(duì)不確定度）的有效數(shù)字只取1位。反過來(lái)，測(cè)量結(jié)果有效數(shù)字最后保留的位數(shù)又由其絕對(duì)誤差（或絕對(duì)不確定度）的數(shù)位來(lái)確定，即測(cè)量結(jié)果的最后1位應(yīng)與誤差（或不確定度）所在的位對(duì)齊。例如：由公式

，再根據(jù)高度和直徑的測(cè)量值用計(jì)算器算出了圓柱體積V=17.4126，若計(jì)