十動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用-knapsack,TSP問(wèn)題

背包問(wèn)題例1(背包問(wèn)題)設(shè)有一輛背包可以裝入的物品情況如下表:問(wèn):如何安排裝入方案,使背包一次裝入的貨物總價(jià)值最大?解:設(shè)xi為背包裝入第i種貨物的件數(shù)。貨物（件）12…n

最大裝入量

單位重量w1

w2…wn

a單位價(jià)值c1

c2…cn注：若每種物品的最大件數(shù)為1，則xi取值為0或1，稱(chēng)為0-1背包問(wèn)題階段：按照物品的種類(lèi)將裝入背包的過(guò)程分為n個(gè)階段，每個(gè)階段裝入一種物品；狀態(tài)變量sk:裝前k-1種的物品的可用背包容量；決策變量xk

:裝入第k種物品的數(shù)量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:sk=sk+1-wkxk最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk(sk+1)：若只裝入k種物品，背包容量為sk+1時(shí)裝入物品的最大價(jià)值動(dòng)態(tài)規(guī)劃的順序遞推方程（順序解法）顯然，我們要求的是fn(a)例1：有一艘貨船的最大載重量為5噸，用以裝載三種貨物，每種貨物的單位重量及單價(jià)如表所示。應(yīng)如何裝載使總重量最大？貨物（件）123

最大裝入量

單位重量3255單位價(jià)值8512解：按順序裝入三種貨物，裝入過(guò)程分為三個(gè)階段，k=1，2，3。采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的順序解法求解。當(dāng)k=2時(shí)當(dāng)k=1時(shí)當(dāng)k=3時(shí)由所以所裝入的最大物品總價(jià)值為13。

旅行商（TSP）問(wèn)題設(shè)有一個(gè)由n個(gè)城市構(gòu)成的交通網(wǎng)絡(luò)，各個(gè)城市之間的路徑長(zhǎng)度已知。一個(gè)推銷(xiāo)員從城市1出發(fā)到其他城市，每個(gè)城市必須經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)一次然后返回城市1。問(wèn)：該推銷(xiāo)員該如何選擇行走路線(xiàn)使得總的路程最短。記所有城市的集合為V={v1,v2,…,vn}；

城市i到城市j的距離為dij；遞推公式(動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程)：很顯然，我們最后需要求的是，其中將推銷(xiāo)員的旅行過(guò)程分為n個(gè)階段；第k階段的狀態(tài)為：(所在的城市vi，所經(jīng)過(guò)的城市集合Vk

)最優(yōu)值函數(shù)fk(vi,Vk):從城市1出發(fā)，經(jīng)過(guò)k個(gè)城市（經(jīng)過(guò)城市集合為Vk）到達(dá)城市vi

的最短路徑長(zhǎng)度采用順序解法進(jìn)行求解例2：求解4個(gè)城市的旅行商問(wèn)題，其4個(gè)城市之間的距離如矩陣所示。求推銷(xiāo)員從城市1出發(fā)經(jīng)過(guò)所有城市一次并回到城市1的最短路徑及路徑長(zhǎng)度。解：由邊界條件可知k=1：從v1出發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)城