華中科技大學(xué)大學(xué)CAD技術(shù)及應(yīng)用第三部分曲線曲面基礎(chǔ)

曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致可分為兩類：第一類是僅由初等解析曲面(例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等)組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機(jī)械制圖的方法完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機(jī)、汽車、船舶的外形零件。這一類形狀單純用畫法幾何與機(jī)械制圖是不能表達(dá)清楚的。自由曲線和曲面因不能由畫法幾何與機(jī)械制圖方法表達(dá)清楚，成為工程師們首要解決的問題。人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線和曲面的形狀。曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法曲面造型(SurfaceModeling)是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，主要研究在計(jì)算機(jī)圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對曲線曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示和分析。它起源于汽車、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)過四十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(RationalB-splineSurface)為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)這二種手段為骨架的幾何理論體系。曲線曲面發(fā)展歷程1963年美國波音飛機(jī)公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點(diǎn)的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。Note:C1continuous,“planarpot”1964年，美國麻省理工學(xué)院的孔斯（Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。

Note:C2continuous,Flexibleshapecontrol1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。Note:C2continuous,Moreflexibleshapecontrolwithseveralcontrolpoints.1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gorden）和里森費(fèi)爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。

u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋71975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條(NURBS)方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。非均勻有理B樣條（NURBS）成為當(dāng)前大多數(shù)商用CAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達(dá)技術(shù)。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法解析曲面（代數(shù)曲面）代數(shù)曲面在造型系統(tǒng)中常見，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足復(fù)雜曲面造型的要求適合構(gòu)造簡單曲面，不能構(gòu)造自由曲面不同類型曲面拼接連續(xù)性難以保證不同曲面求交公式不一，程序?qū)崿F(xiàn)量大工程設(shè)計(jì)交互性差因此，CAD系統(tǒng)中除簡單代數(shù)曲面外，必須具有強(qiáng)大的自由曲面造型能力Bezier、B樣條、BURBS曲面在商用CAD系統(tǒng)中常見。曲線曲面的參數(shù)表示非參數(shù)表示有顯式和隱式之分顯式表示:如曲面方程z=f(x，y)，式中每個z值對應(yīng)唯一的x、y值，該表示計(jì)算非常方便，但無法描述多值或封閉面，如球。

隱式表示:如曲面f(x,y，z)=0，這種表示不便于由已知的參量x，y計(jì)算z值-1=0曲線參數(shù)表示空間曲線上一點(diǎn)p的每個坐標(biāo)被表示成參數(shù)u的函數(shù)：x=x(u),y=y(u),z=z(u)。合起來，曲線被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：p(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點(diǎn)為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)易于滿足幾何不變性的要求，可以對參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換，節(jié)省計(jì)算量。曲線曲面表示的幾何不變性是指它們不依賴于坐標(biāo)系的選擇或者說在旋轉(zhuǎn)和平移變換下不變的性質(zhì)有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。例如：一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而采用二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：則有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。易于規(guī)定曲線、曲面的范圍。易于處理多值問題和斜率無窮大的情形。易于計(jì)算曲線、曲面上的點(diǎn)。而隱式方程需求解非線性或超越方程，另外，求導(dǎo)、等距的計(jì)算也被簡化；參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。有關(guān)基本概念介紹ParametriccurveTangentBinormalNormalCurvatureNote:FirstderivativemaynotbeperpendiculartothesecondderivativeP(u)P〞(u)插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值、拋物線插值等。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合（fitting）。有關(guān)基本概念介紹曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法Bezier曲線給定空間n+1個點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier參數(shù)曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是：

其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)，也稱為調(diào)和函數(shù)：

t[0,1]Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1）正性2）端點(diǎn)性質(zhì)3）權(quán)性

4）對稱性5）遞推特性其計(jì)算過程表示為：高次Bernstein基函數(shù)可由兩個低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成三次Bezier曲線例如，由P0、P1、P2、P3四個控制點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形來構(gòu)造則三次Bezier曲線表示為：此時調(diào)和函數(shù)為：

上式展開表示為：Bezier曲線性質(zhì)1)端點(diǎn)性質(zhì)曲線過控制頂點(diǎn)的首末頂點(diǎn)。將u＝0和1分別代入表達(dá)式p(u)中可知p(0)=P0,p(1)=Pn對于三次Bezier曲線，p(1)=P3。

如圖為三次Bezier曲線：2)切矢性質(zhì)曲線在首末兩點(diǎn)相切于多邊形的起、止邊。對三次Bezier曲線求一階導(dǎo)數(shù):

即：P’(0)=n(P1-P0)，P’(1)=n(Pn-Pn-1)4)凸包性即Bezier曲線不會越出特征多邊形的頂點(diǎn)所圍成的凸包3)對稱性

將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3三次Bezier曲線示例三次Bezier曲線的計(jì)算及繪制在參數(shù)空間t∈[0,1]進(jìn)行均勻插值，計(jì)算對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后連接成線，這條線就是折線逼近的Bezier曲線

編程實(shí)現(xiàn)：

也可寫成矩陣表達(dá)式，式中若求PX（t）的值，則取Pi的x坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具體如下：

Px（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T注意：上式基函數(shù)的計(jì)算僅需一次，不必三次。Bezier曲線的繪制：例如利用上面的計(jì)算方法可分別求出t＝0.0，0.05,0.10,0.15,……,0.95,1.0時的曲線上的點(diǎn)，依次連接相鄰兩點(diǎn)為直線段，即可得近似的曲線圖形。Bezier曲線幾何作圖與分割特性，

給定參數(shù)t（t[0,1]），就把定義域[0,1]分成長度為t:(1-t)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn)，對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點(diǎn)P0n即為所求曲線上的點(diǎn)P(t)。例如：對三次Bezier曲線（給定參數(shù)域t[0,1]）上t＝1/3的點(diǎn)。把定義域分成長度為1/3:(1-1/3)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn)P01、P11、P21，對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn)P02、P12。重復(fù)進(jìn)行下去，直到第3級遞推得到一個中間頂點(diǎn)P03，即為所求曲線上的點(diǎn)P（t）。另外，這一算法隱含說明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為[0,1/3];第二段P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為[1/3,1],分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。

Bezier曲線拼接，

工程實(shí)際中存在許多復(fù)雜形狀的曲線或曲面．不可能用一條Bezier曲線擬合出復(fù)雜的曲線，但可采用分段Bezier曲線經(jīng)拼接后擬合實(shí)際中存在的復(fù)雜曲線。工程應(yīng)用中，希望各段曲線在連接處光滑，即切矢連續(xù)(一階幾何連續(xù))或曲率連續(xù)(二階幾何連續(xù))。這里僅討論切矢連續(xù)的問題。，

下圖所示為兩段三次Bezier曲線的一階連續(xù)拼接：Q1’由圖中可以看出，Q1’的移動只要滿足共線要求即可滿足二曲線的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)）而不需滿足P’（1）＝Q’（0）（即一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）也就是說一階幾何連續(xù)比一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達(dá)的優(yōu)勢之一。Bezier曲線的不足Bezier曲線有兩點(diǎn)不足：一是特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)決定了Bezier曲線的階次，n很大時，特征多邊形對形狀的控制將減弱。二是Bezier曲線不能作局部修改，改變?nèi)我豢刂泣c(diǎn)將波及整條曲線三是繪制復(fù)雜曲線需要拼接，比較繁瑣。因此發(fā)展了B樣條曲線1972年Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進(jìn)上述缺點(diǎn)。給定空間n+1個點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier曲線定義為：其中Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：

Bezier曲面的定義展開上式得：P(0.7,0.6)xyzovu10100.60.7Bezier曲面參數(shù)空間和三維歐式空間的映射關(guān)系Bezier曲面的特性1）2）事實(shí)上，沿Bezier曲面任何等參數(shù)的截線均為一Bezier曲線。顯然，固定參數(shù)v，對參變量u而言是一簇Bezier曲線；固定參數(shù)u，對參變量v而言也是一簇Bezier曲線。vu1010xyzo3）4)其它特性與Bezier曲線類似：Bezier曲面的計(jì)算與繪制Bezier曲面的拼接，即兩曲面的首末控制點(diǎn)相同。A）G0連續(xù)B）G1連續(xù)最簡單直接的方法為：，即有公共切平面為了實(shí)現(xiàn)多張曲面拼接，需要更多的自由度和更為寬松的條件才可能實(shí)現(xiàn)。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)往往需要更高階的曲面，對低階曲面可通過升階方法提高階次。特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)決定了它的階次數(shù)，當(dāng)n較大時，不僅計(jì)算量增大，穩(wěn)定性降低，且控制頂點(diǎn)對曲線的形狀控制減弱；不具有局部性，即修改一控制點(diǎn)對曲線產(chǎn)生全局性影響。1972年Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進(jìn)上述缺點(diǎn)。Bezier曲面的不足曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法均勻三次B樣條曲線由于B樣條曲線比較復(fù)雜，在此以均勻三次B樣條為例進(jìn)行分析定義：空間n+1個控制頂點(diǎn)Pi（i=0，1，……，n）可構(gòu)造n－2段三次（k＝3，四階）均勻B樣條曲線段，每相鄰四個點(diǎn)可定義一曲線段Pi（u）（i=1，……，n－2）

Pi＋4Pi＋5Moresegmentstoaddlocalcontrol.Howtorepres.如任意四個頂點(diǎn)Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作為特征多邊形構(gòu)造的均勻三次B樣條曲線段的方程Pi(u)可表達(dá)式為：式中：u∈[0,1]從定義式中可以看出，上述定義和三次Bezier曲線類似，只是基函數(shù)略有不同,Buthasthesimilarprogramasbeziercurves均勻三次B樣條曲線的程序?qū)崿F(xiàn)Asbeziercurves,B-splinecurvesalsocanbedefinedinageometricway均勻三次B樣條曲線的幾何定義由前面可導(dǎo)出如下公式：()()()()()3i2i1ii1i3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p+++++++++-=-=++=&&&

曲線起點(diǎn)位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線的1/6處起點(diǎn)的切矢與Pi+2Pi平行，模為||Pi+2-Pi||/2起點(diǎn)的二階導(dǎo)矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線方向曲線段末點(diǎn)的情形與上述三點(diǎn)類似，只是向前推移一個頂點(diǎn)。

Betterinternalcontinuous(C2),Inbetweensegments由前面的推導(dǎo)可知，第一段曲線的末點(diǎn)與第二曲線的首點(diǎn)滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)。依次類推，各曲線段的末點(diǎn)與下一個曲線段的首點(diǎn)均滿足滿足二階函數(shù)連續(xù)，這是B樣條曲線的優(yōu)勢之一因此采用B樣條曲線直接能夠構(gòu)造光滑的復(fù)雜曲線Pi＋4Pi＋5ThegeometricdefinitioncanbeusedtodrawaB-splinecurve均勻三次B樣條曲線的幾何作圖根據(jù)B樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置、起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢方向即可近似的幾何作圖。四點(diǎn)共線二重頂點(diǎn)三重頂點(diǎn)Fromdefinitionsofbi-cubicB-spline,wecanfindmoregeometricproperties均勻三次B樣條曲線性質(zhì)1.對稱性：將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7B樣條曲線也必須滿足幾何變換不變性，還具有：2.凸包性：

即B樣條曲線不越出特征多邊形頂點(diǎn)所圍成的凸包（如圖中陰影所示）(Unionofconvexhullofeachsegment)Pi＋4Pi＋5B樣條曲線具有局部性質(zhì)對均勻三次B樣條曲線任意段修改時，只被相鄰的四個頂點(diǎn)控制，與其它的控制點(diǎn)無關(guān)。換句話說，每段k次B樣條曲線只涉及k＋1個基函數(shù)，并由k＋1個頂點(diǎn)所定義。

如圖，當(dāng)修改P4時，只影響P1至P7之間的四條樣條段(A至B)，對其它段則不產(chǎn)生影響。這一特點(diǎn)對曲線的設(shè)計(jì)和修改非常有利。

P0P1P2P3P4P4P5P6P7P8連續(xù)性三次B樣條曲線段連接處具有二階函數(shù)連續(xù)性（即C2連續(xù)性）。一般來說，k次B樣條曲線具有k－1階函數(shù)連續(xù)性（即Ck－1）。由前面的作圖過程可知，當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)控制頂點(diǎn)時，曲線幾何連續(xù)性可能下降（但函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍連續(xù)），甚至產(chǎn)生尖點(diǎn)。反過來說明：雖然k次B樣條曲線具有k－1階函數(shù)連續(xù)性。但曲線仍然可能退化為尖點(diǎn)、直線段。（只要合理利用控制點(diǎn)的位置）5、幾何尖點(diǎn)、直線等特征的表達(dá)性質(zhì)4的特點(diǎn)說明，只要靈活選用控制點(diǎn)的位置，可以獲得特殊要求的曲線段，如：直線段、曲線段、尖點(diǎn)等。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7正是這種靈活性，使得B樣條方法成為CAD系統(tǒng)的主要描述手段。InCADsystem,weacctuallydefineaB-splinecurvethroughaorderedpoints,(notcontrolpoints)均勻三次B樣條曲線的反算由：Pi＋1(0)=(Bi+4Bi+1+Bi+2)/6(i=0,1,……n-2)Pi＋1(1)=(Bi+1+4Bi+2+Bi+3)/6得：PiP1Pn-1Pi+1P1′Pn-1′Bi+4Bi+1+Bi+2=6Pi＋1(i=0,1,……n-2)Bn-2+4Bn-1+Bn=6Pn-1B0+4B1+B2=6P1解方程對于開曲線，則首末點(diǎn)邊界切矢可由用戶隨意交互給定（通常取默認(rèn)值）對于封閉曲線，則首末的位置相同，且邊界切矢方向相同邊界條件補(bǔ)充時應(yīng)注意：Actually,ThereisamoregeneraldefinitionofB-splinecurvesB樣條曲線定義

n+1個控制點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n)構(gòu)成特征多邊形的頂點(diǎn)，k+1階(k次)B樣條曲線的表達(dá)式是：其中Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為：參數(shù)u取值范圍：【uk－1，un＋1】*ThecoreofB-splineistheknotvector式中：U＝[u0,u1,……,un+k,un+k+1]稱為B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量，ui為節(jié)點(diǎn)值，且應(yīng)滿足ui

ui＋1，即節(jié)點(diǎn)值應(yīng)滿足有序遞增（允許有重節(jié)點(diǎn)）。對于B樣條基函數(shù)例如：K＝4(4次5階)，節(jié)點(diǎn)向量為[0000011111]的B樣條曲線的基函數(shù)如右圖。TheknotvectorcanbeusedtoclassifytheB-splinesun+k+1u0u1un+kuiuiui+1u對B樣條曲線，當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量出現(xiàn)重復(fù)節(jié)點(diǎn)時，在其重節(jié)點(diǎn)處曲線連續(xù)性將逐次下降。如當(dāng)在P2處為二重節(jié)點(diǎn)時，連接處為一階連續(xù)，而當(dāng)P2為三重節(jié)點(diǎn)時，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，此時將出現(xiàn)尖點(diǎn)。01234n-kn-k+1Bi-cubicuniformB-splinecanbegotfromgeneralB-splinedefinitionp0p1p2p3p4p5p6對B樣條基函數(shù)展開，并作變量替換，則可得均勻三次B樣條基函數(shù)：式中t＝[0,1]u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）uiui＋3ui＋1ui＋2ui＋4ui＋5ui＋6ui＋7如均勻三次B樣條曲線其節(jié)點(diǎn)矢量等距分布(即ui＋1－ui＝1，k＝3)，其基函數(shù)及節(jié)點(diǎn)示意圖如下：AbeziercurvecanalsobegotfromgeneralB-splinedefinition若三次B樣條曲線控制點(diǎn)

＝4，次數(shù)k＝3，且節(jié)點(diǎn)矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線。同樣，若k次B樣條曲線節(jié)點(diǎn)矢量u＝[0,…,0，1,…,1]，此時首末k＋1重節(jié)點(diǎn)分別為0和1，則k次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為k次Bezier曲線。因此，三次均勻B樣條和Bezier都是B樣條的特例，或者說三次均勻B樣條和Bezier都可用B樣條統(tǒng)一表達(dá)*一般B樣條曲線也具有均勻B樣條曲線的特性對均勻B樣條曲線，重復(fù)控制點(diǎn)使曲線幾何連續(xù)性降低。6、造型的靈活性有關(guān)說明：5、連續(xù)性3、局部性2、凸包性1、對稱性一般B樣條曲線也具有均勻B樣條曲線的特性。即：4、幾何變換不變性Therefore,aB-splinecurvealsohasthesamegoodgeometricpropertiesasaBeziercurve.B樣條曲線與Bezier曲線的比較1、Bezier曲線的基函數(shù)的次數(shù)等于控制頂點(diǎn)數(shù)減一，而B樣條曲線的基函數(shù)的次數(shù)與控制點(diǎn)數(shù)無關(guān)，即可用任意多的控制點(diǎn)來擬合三次均勻B樣條曲線。原因是B樣條曲線是分段擬合的，這樣構(gòu)造復(fù)雜曲線更方便。2、Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)正好是控制多邊形的首末控制點(diǎn)，控制形狀直觀方便。而B樣條曲線不經(jīng)過控制多邊形頂點(diǎn)。3、為使B樣條曲線經(jīng)過控制多邊形首末控制頂點(diǎn)，使之具有Bezier類似的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻B樣條，即在節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有k＋1個重復(fù)度。例如：當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)

＝6，次數(shù)k＝3的準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量可定義為u＝[0，0，0，0，1，2，3，3，3，3]。4、Bezier曲線和B樣條曲線的關(guān)系：若三次B樣條曲線n＝4，k＝3的節(jié)點(diǎn)矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線。

因此，可以說Bezier曲線僅是B樣條曲線的特例，也就是說B樣條表達(dá)能力完全覆蓋了Bezier表達(dá)。5、B樣條曲線比Bezier曲線具有更緊致的凸包。

因此，B樣條方法的凸包性比Bezier方法優(yōu)越，使曲線更加逼近特征多邊形。

因此，B樣條曲線比Bezier曲線更優(yōu)越，應(yīng)用更廣泛,B-splinesufacesalsodo類似Bezier曲面，將均勻三次B樣條曲線推廣可得到均勻雙三次B樣條曲面的定義如下：B樣條曲面的定義uvAbi-cubicuniformB-splinesurfacecanbeextendedtomultiplepatches(7-3)x(4-1)=4uv(m-3)x(n-3)B-splinesurfaceshaveidenticalpropertiesasB-splinecurvesB樣條曲面的性質(zhì)(Boundarypoints),3x3=9(Boundarycurves),3lines(Boundarytangents),3lines(Boundarysecondderivatives),3lineswecandrawaB-splinesurfaceasaBeziersurface(discreterectanglecurvedpatches)由此可見，B樣條方法能夠很方便繪制復(fù)雜曲面，并比Bezier方法更靈活，因此應(yīng)用更廣泛。B樣條曲面的計(jì)算與繪制先沿等參數(shù)方向離散成網(wǎng)格點(diǎn)，然后依次連線繪制InCADsystem,weacctuallydefineaB-splinesurfacethroughagrideddistributionpoints,(notcontrolpoints)B樣條曲面的反算借鑒B樣條曲線的反算思想，先對給定型值點(diǎn)進(jìn)行u向反算，反算得到一組控制點(diǎn)，再以此控制點(diǎn)為型值點(diǎn)進(jìn)行v向反算，具體步驟如下：a）以U向截面數(shù)據(jù)點(diǎn)（型值點(diǎn)）及端點(diǎn)u向切矢，應(yīng)用B樣條曲線反算，構(gòu)造出各截面曲線，求出它們的B樣條控制頂點(diǎn)：Controlpointsalongudirectionb）仍以U向視首末截面數(shù)據(jù)點(diǎn)處v向切矢為“位置矢量”表示的“數(shù)據(jù)點(diǎn)”，又視四角角點(diǎn)扭矢為“端點(diǎn)v向切矢”，應(yīng)用曲線反算，求出定義首末u參數(shù)邊界(即首末截面曲線)的跨界切矢曲線的控制頂點(diǎn)。c）然后固定指標(biāo)i，以第一步求出的n＋1條截面曲線的控制頂點(diǎn)陣列中的第i排即：

為“數(shù)據(jù)點(diǎn)”，以上一

步求出的跨界切矢曲線的第i個頂點(diǎn)為”端點(diǎn)切矢”，在節(jié)點(diǎn)矢量V上應(yīng)用曲線反算，分別求出m＋3條插值曲線即控制曲線的B樣條控制頂點(diǎn)

三次B樣條插值曲面的控制頂點(diǎn)。，即為所求雙Crosstangentcomputationfortwouboundariesbyfourvtangentsandfourtwistvectors.VcontrolpointsbasedoncomputedvectorsanddatapointsAsstatedearlier,B-splinecannotaccutalyrepresentaanalyticcurvesuchasacircle.曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法NURBS曲線式中：NURBS稱非均勻有理B樣條NURBS仍采用B樣條基函數(shù)，但采用有理表達(dá)，增加權(quán)值控制Byvaryingaweight,wecanseethevariationofaNURBScurveInsummary,NURBScanrepresentfree-formcurves,analyticcurves.非均勻有理B樣條（NURBS

）具有B樣條的所有性質(zhì)，但比B樣條更強(qiáng)大的表達(dá)能力能表達(dá)Bezier

能表達(dá)B樣條能表達(dá)多項(xiàng)式代數(shù)曲線能精確表達(dá)圓錐曲線直線圓、圓弧橢圓拋物線雙曲線因此NURBS在CAD系統(tǒng)中應(yīng)用最廣，已經(jīng)成為STEP標(biāo)準(zhǔn)中的一部分AsB-splinesurfaces,NURBSsurfacesareeasilyextendedfromNURBScurvesdefinitionNURBS曲面的定義NURBSisnottheendofrepresentationofshapes追求內(nèi)部表達(dá)模型的統(tǒng)一是CAGD領(lǐng)域?qū)W者們的重要目標(biāo)之一，NURBS不是終點(diǎn)，學(xué)者們?nèi)栽谂?。（目前β樣條表達(dá)能力更強(qiáng)，但控制參數(shù)更多）Torepresentcomplexshapes,thereareotherkindsofrepresentationsinCG,CAGDcommunity.曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法1.quadricandsuper-quadric二次曲面（quadric）是最基本的曲面表達(dá)：如球面、錐面、環(huán)面、拋物面、雙曲面等；其特點(diǎn)為表達(dá)簡單，計(jì)算量小，尤其是求交運(yùn)算容易獲得其解析解，因此商用系統(tǒng)中廣泛采用。

Quadricsurface

superquadricsuperquadrictoroidssuperquadricellipsoidssuperquadric曲面在商用CAD系統(tǒng)應(yīng)用相對較少，但在動畫軟件中常用

2．隱式曲面Implicit

Surface隱式曲面是元球(metaball)的更一般形式，它在表現(xiàn)人體的肌肉、水滴、云、樹等物體的造型和動畫方面有很大的優(yōu)勢,隱式曲面造型目前尚在發(fā)展和完善階段。3.偏微分方程（PDE）曲面PDE方法使用一組橢圓偏微分方程構(gòu)造曲面，曲面的形狀由所選擇的偏微分方程和給定的邊界條件確定。4.等距曲面（Offset）

F（u，v）＝S（u，v）+d

NS（u，v）

5.細(xì)分曲面

Morecomplexshaperepresentationthroughsurfacesintersection曲線、曲面基礎(chǔ)理論1、認(rèn)識曲線與曲面2、曲面造型的發(fā)展歷程3、曲線曲面的參數(shù)表達(dá)4、Bezier曲線與曲面5、B樣條曲線與曲面6、NURBS曲線與曲面7、曲面的其它表達(dá)8、曲面求交算法9、CAD系統(tǒng)中的曲面造型方法

前面我們介紹的各種解析曲面、Bezier曲面、B樣條曲面及NURBS曲面，其生成的曲面比較規(guī)則。(Rectangle)而實(shí)際工程中會有各種不規(guī)則的曲面，很多形體的表面也都是由不規(guī)則的曲面封閉包圍而成。這些不規(guī)則的曲面往往是由規(guī)則曲面裁剪而成，裁剪操作的關(guān)鍵在于曲面的求交，如圖：SurfacesIntersection當(dāng)前的CAD系統(tǒng)，大多采用精確的邊界表示模型。在這種表示法中，零件形體的邊界元素和某類幾何元素相對應(yīng)，它們可以是直線、圓（圓弧）、二次曲線、Bezier曲線、B樣條、NURBS曲線等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B樣條、NURBS曲面等，求交情況十分復(fù)雜。在一個典型的CAD系統(tǒng)中，用到的幾何元素通常有25種，為了建立一個通用的求交函數(shù)庫，所要完成的求交函數(shù)多達(dá)＋25＝325種！一種好的思想是將幾何元素進(jìn)行歸類，利用同一元素之間的共性來研究求交算法。

SurfacesIntersection

基本的求交算法(point-,curve-)：由于計(jì)算機(jī)內(nèi)浮點(diǎn)數(shù)有誤差，求交計(jì)算必須引進(jìn)容差。假定容差為e，則點(diǎn)被看成是半徑為e的球，線被看成是半徑為e的圓管，面被看成是厚度為2e的薄板。點(diǎn)于其它幾何元素的求交比較簡單，計(jì)算兩個點(diǎn)是否相交，實(shí)際上是判斷兩個點(diǎn)是否重合，判斷點(diǎn)和線（或面）是否相交，實(shí)際上是判斷點(diǎn)是否在線（或面）上。線與線的求交：有二次曲線與二次曲線、二次曲線與自由曲線及自由曲線與自由曲線求交三種。線與面的求交：有二次曲線與二次曲面、二次曲線與自由曲面、自由曲線與二次曲面及自由曲線與自由曲面求交四種。Surfaceintersectionalgorithmisthemostcomplexone

在幾何元素之間的求交算法中，曲面與曲面之間的求交是最為復(fù)雜的一種，比其它元素的求交要復(fù)雜得多，曲面與曲面求交的基本方法主要有代數(shù)方法、幾何方法、離散方法和跟蹤方法四種。

1．代數(shù)方法代數(shù)方法是利用代數(shù)運(yùn)算，特別是求解代數(shù)方程的方法求出曲面的交線。對于一些簡單的曲面求交，如平面和平面，平面和二次曲面，可以直接通過曲面方程求解計(jì)算交線，對于某些復(fù)雜的情況，則需要進(jìn)行分析和化簡的運(yùn)算后求解。

2．幾何方法

幾何方法求交是通過對參與求交的曲面的形狀大小、相互位置以及方向等進(jìn)行計(jì)算和判斷，識別出交線的形狀和類型，從而可精確求出交線。

幾何求交適應(yīng)性不是很廣，一般僅用于平面以及二次曲面等簡單曲面的求交。(機(jī)械制圖畫法幾何中相貫線作圖是幾何求交法)

3．離散方法

離散方法求交是利用分割的方法，將曲面不斷離散成較小的三角形平面片來逼近，然后用這些簡單面片求交得一系列交線段，連接這些交線段即得到精確交線的近似結(jié)果。離散求交一般過程：1）用包圍盒作分離性檢查排除無交區(qū)域；2）根據(jù)平坦性檢查判斷是否終止離散過程；3）連接求出的交線段作為求交結(jié)果。然而離散法求出的交線逼近精度不高。如果要求的精度較高，需要增加離散層數(shù)。這將大大增加數(shù)據(jù)儲存和計(jì)算量。

離散求交的難點(diǎn)在于求交精度不高，難以構(gòu)成