自動控制原理7.47.5離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,穩(wěn)定性分析

線性離散系統(tǒng)的分析與校正第七章解法：（1）迭代法：從初值出發(fā)，按照差分方程一步步遞推出輸出序列。（2）z變換法：對差分方程兩端取z變換，并利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理，得到z為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解C(z)取z反變換，求得輸出序列c(k)。課前復(fù)習(xí)1、差分方程G(s)2、脈沖傳遞函數(shù)

所謂零初始條件，是指在t<0時，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為零。課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí)

例：已知差分方程如下，試用迭代法求出c(k),k=0,1,2,3,4;求出該離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。其中，r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義線性常系數(shù)差分方程及其解法脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)1、有串聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（1）典型情況之一：串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)結(jié)論：被理想采樣開關(guān)隔開的n個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)為每個環(huán)節(jié)所對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)之積7.4.4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)解：①（2）典型情況之二：串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)例：

:：7.4.4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)∴

②

∴

7.4.4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)2.帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)零階保持器連續(xù)環(huán)節(jié)7.4.4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)上式第二項可以寫為采樣后帶有零階保持器的系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為7.4.4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)例：采樣控制系統(tǒng)如圖所示，試求其脈沖傳遞函數(shù)。解：脈沖傳遞函數(shù)7.4.4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)由于系統(tǒng)采樣開關(guān)配置的多樣性，故系統(tǒng)無唯一結(jié)構(gòu)形式。（1）閉環(huán)離散系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)G(s)H(s)7.4.5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：應(yīng)當(dāng)注意：離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不能從對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的z變換直接得到。7.4.5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)例、已知離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示，前向傳遞函數(shù)，反饋傳遞函數(shù)，試計算系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

解：

G(s)H(s)7.4.5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（2）數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)E(s)7.4.5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)解：

例已知離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試計算系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。7.4.5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

通過與上面類似的方法可以導(dǎo)出采樣器為不同配置形式的其它閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。見課本P319。但只要誤差信號e(t)處沒有采樣開關(guān)，則輸入采樣信號r*(t)就不存在，此時不能寫出閉環(huán)系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數(shù)C(z)。7.4.5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)小結(jié)離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義線性常系數(shù)差分方程及其解法：迭代法、z變換法脈沖傳遞函數(shù)：定義，求法(定義、G(s)G(z))開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)：有串聯(lián)環(huán)節(jié)、有零階保持器閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)7.5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差

s域到z域的映射離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析方法：將線性連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果離散線性系統(tǒng)在z平面上的穩(wěn)定性。一、s域到z域的映射關(guān)系7.5.1、s域到z域的映射回憶z變換的定義：令z=eTss域和z域的關(guān)系s域和z域的關(guān)系z=eTs令σ=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，當(dāng)ω從-∞變到∞時，映射到z平面的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。s平面z平面7.5.1、s域到z域的映射當(dāng)s平面上的點(diǎn)沿虛軸ω從-∞移到∞時，z平面上的點(diǎn)已經(jīng)沿著單位圓轉(zhuǎn)過了無窮多圈。等σ曲線07.5.1、s域到z域的映射結(jié)論：s平面的虛軸的左半平面映射為z平面上單位圓的內(nèi)部，右半平面映射為單位圓的外部。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義：若離散系統(tǒng)在有界輸入序列的作用下，其輸出序列也是有界，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)齊次方程的解是收斂的，或者系統(tǒng)特征方程根均具有負(fù)實(shí)部，或者系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)嚴(yán)格均在左半s平面。7.5.2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：從離散系統(tǒng)的差分方程的齊次解的收斂性，或者從z域中離散系統(tǒng)的特征方程的根的研究得到結(jié)論。1、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（時域）--自學(xué)2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（z域）G(s)H(s)7.5.2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）各不相同z1，z2，z3…….zn由s平面到z平面的映射關(guān)系s平面的左半平面對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的內(nèi)部；s平面的右半平面對應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域：z平面上單位圓的外部；s平面的虛軸對應(yīng)的臨界穩(wěn)定：z平面上單位圓周。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：離散特征方程的全部特征根都在單位圓內(nèi)，即7.5.2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件例：設(shè)典型離散系統(tǒng)采樣周期T=1(s)，試分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)特征方程結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.5.2、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件7.5.3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯穩(wěn)定判據(jù)判定：特征方程的根是否都在左半s平面？離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定：特征方程的根是否都在z平面的單位圓內(nèi)？將勞斯判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要將z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi)新平面上的左半平面Z域w域1.W變換（雙線性變換）與勞斯穩(wěn)定判據(jù)令注意到z和w都是復(fù)變量，則有顯然：考察上式：在z平面的單位圓上，滿足對應(yīng)在w平面上：表明：w平面上的虛軸對應(yīng)于z平面上的單位圓周。7.5.3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)Z平面單位圓內(nèi)Z平面單位圓外w平面左半平面w平面右半平面勞斯穩(wěn)定判據(jù)在離散系統(tǒng)中的應(yīng)用：將離散系統(tǒng)在z域的特征方程變換為w域的特征方程，然后應(yīng)用勞斯判據(jù)。7.5.3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)例：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的極限值。解：7.5.3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)一步整理后，w域的特征方程：勞斯表由勞斯穩(wěn)定判據(jù)使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的取值范圍極限增益7.5.3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)求穩(wěn)態(tài)誤差的方法：（1）L變換的終值定理；（2）動態(tài)誤差系數(shù)法上述方法求離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差由于離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)沒有規(guī)范的形式，誤差脈沖傳遞函數(shù)也沒有一般的計算公式。例如圖示系統(tǒng)7.5.5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)（即誤差脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)）均在z平面上的單位圓內(nèi)。由z變換的終值定理求出系統(tǒng)在采樣時刻的終值誤差。穩(wěn)態(tài)誤差：與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)、輸入序列的形式、采樣周期T有關(guān)。例1設(shè)圖中試求離散系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。7.5.5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。先判斷穩(wěn)定性再求穩(wěn)態(tài)誤差7.5.5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差如果希望求出其他結(jié)構(gòu)形式離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者希望求出離散系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)定誤差，只要求出系統(tǒng)誤差的z變換函數(shù)E(z)，在離散系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，同樣可以應(yīng)用z變換的終值定理算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。7.5.5、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差7.5.6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)離散系統(tǒng)的型別根據(jù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點(diǎn)個數(shù)來確定。ν=0,1,2..稱為0型、Ι型、ΙΙ型離散系統(tǒng)。在連續(xù)系統(tǒng)中，將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有s=0的極點(diǎn)數(shù)ν作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，ν=0,1,2..的系統(tǒng)稱為0型、Ι型、ΙΙ型等。1.單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)I型及以上的系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)G(Z)的極點(diǎn)，即，其分母為0，G(z)為無窮大。7.5.6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)2.單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)II型及以上系統(tǒng)I型系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為有限值。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。靜態(tài)速度誤差系數(shù)7.5.6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)3.單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差0型和I型系統(tǒng)II型系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為有限值。III型及以上系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。靜態(tài)加速度誤差系數(shù)7.5.6、離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)不同型別單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差0型與I型離散系統(tǒng)不能承