抽樣調(diào)查：不等概率抽樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：總體中每個(gè)個(gè)體被抽中入樣的概率都相同。對(duì)于各單元所處地位幾乎“平等”的總體，這種抽樣原則既公正又方便。不等概率抽樣：但在許多社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中并非所有單元地位相同。使得“大”單元入樣概率大，“小”單元入樣概率小，這里的“大”、“小”與我們所關(guān)心的調(diào)查指標(biāo)有著密切的關(guān)系。第三章不等概抽樣例如，要了解上海地區(qū)鋼鐵企業(yè)的景氣狀況，總體有上鋼一廠、三廠、五廠……等等，再加上寶鋼。由于寶鋼規(guī)模極大，它是否景氣對(duì)整個(gè)上海地區(qū)鋼鐵工業(yè)起著至關(guān)重要的作用。而在抽樣中將它與其它規(guī)模較小的單位處于同等地位就會(huì)既不公正又使抽樣推斷結(jié)果有較大可能發(fā)生大的偏差?！?.1PPS抽樣PPS抽樣：抽取概率正比于規(guī)模測(cè)度?！猄amplingwithProbabilityProportionaltoSize

不等概率抽樣有放回不等概率抽樣(PPS)無(wú)放回不等概率抽樣()一、實(shí)現(xiàn)方法（1）累積和法或代碼法它適合于N不太大的情形。假定所有的為整數(shù)，倘若在實(shí)際中存在不是整數(shù)的話，則可以乘以一個(gè)倍數(shù)使其為整數(shù)。見下表。單元單元大小代碼數(shù)表3—1pps抽樣時(shí)各單元的代碼數(shù)每次抽樣前，先在整數(shù)里面隨機(jī)等可能的選取一個(gè)整數(shù)，設(shè)為m,若代碼m屬于第j個(gè)單元擁有的代碼數(shù)，則第j個(gè)單元入樣。整個(gè)過程重復(fù)n次，得到n個(gè)單元入樣（當(dāng)然存在重復(fù)的可能性）構(gòu)成pps樣本。例3.1

設(shè)某總體共有N=8個(gè)單元，相應(yīng)及代碼如表所示123456782/51/22/34/38/53/52/311215204048182030累計(jì)12274787135153173203代碼1～1213～2728～4748～8788～135136～153154～173174～203假設(shè)第個(gè)單元在n次抽樣中被抽中次，則是一個(gè)隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布為：這是我們熟悉的多項(xiàng)分布，多項(xiàng)抽樣其名正出于此。(3.1)多項(xiàng)分布(3.1)具有如下性質(zhì)：倘若單元有一個(gè)數(shù)值度量其大小，諸如職工人數(shù)、工廠產(chǎn)值商店銷售額等，或者感興趣的調(diào)查指標(biāo)在上一次普查時(shí)的數(shù)據(jù)也可以作為其單元大小的一種度量。記為第個(gè)單元的“大小”，并記若取n=3，在1～203中隨機(jī)有放回地產(chǎn)生3個(gè)隨機(jī)整數(shù)，不妨設(shè)為45、89、101，則第3個(gè)單元入樣一次，第5個(gè)單元入樣2次。（2）最大規(guī)模法或Lahiri(拉希里)方法當(dāng)N相當(dāng)大時(shí)，累計(jì)的將很大，給代碼法的實(shí)施帶來(lái)很多不方便。Lahiri提出下列方法：令每次抽取1～N中一個(gè)隨機(jī)整數(shù)及1～內(nèi)一個(gè)隨機(jī)整數(shù)，如果，則第個(gè)單元入樣；若，則按前面步驟重抽，顯然，第個(gè)單元的入樣與否受到的影響，只有時(shí)它才入樣，因此第個(gè)單元入樣的概率與的大小成正比，此時(shí)m定理3.1.1

在有放回PPS抽樣下，二、估值法PPS抽樣法的估值法的理論依據(jù)估計(jì)的均方偏差為：證明

考慮隨機(jī)變量Z，定理3.1.2

在有放回PPS抽樣下，注：果園序號(hào)12345678規(guī)模測(cè)度X503065801404420100例

一村莊有8個(gè)果園，分別由果樹50,30,65,80,140,44,20,100棵，要調(diào)查該村莊水果產(chǎn)量，以正比于果樹棵樹的概率取3個(gè)果園作樣本.

如果實(shí)地調(diào)查得第5、第8、第3號(hào)三個(gè)果園的產(chǎn)量分別為15,12,7，求該村八個(gè)果園的總產(chǎn)量估計(jì).解：這一估計(jì)的均方偏差的估計(jì)為2、Hansen-Hurwitz（漢森—赫維茨）估計(jì)量若是按為入樣概率的多項(xiàng)抽樣而得的樣本數(shù)據(jù)，它們相應(yīng)的值自然記為，則對(duì)總體總和，Hansen-Hurwitz給出了如下的估計(jì)量：且，即是總體總和的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)為有放回不等概率抽樣：從實(shí)施上還是從估計(jì)計(jì)算以及精度估計(jì)都顯得十分方便。但一個(gè)單元被抽中兩次以上總會(huì)使樣本的代表性打折扣，從而引起抽樣誤差的增加。實(shí)際調(diào)查工作者一般傾向于使用不放回形式。問題：最簡(jiǎn)單的不放回不等概率抽樣方式自然會(huì)想到逐一抽樣這在第一次抽樣時(shí)不會(huì)發(fā)生問題，但在抽第二個(gè)樣本時(shí)面臨的情況與有放回時(shí)大不相同，余下的(N-1)個(gè)單元以什么樣的概率參與第二次抽樣就是個(gè)問題；再在抽第三個(gè)樣本時(shí)又面臨新問題。一是抽樣實(shí)施的復(fù)雜；二是估計(jì)量及其方差計(jì)算的復(fù)雜。在本節(jié)討論:(1)n固定，尤其是n=2時(shí)的情形。(2)總體中每個(gè)單元的入樣概率嚴(yán)格地與其“大小”成比例，即抽樣?！?.2不等概抽樣幾種嚴(yán)格的不放回抽樣方法（1）Brewer（布魯爾）抽樣方法（1963）前面已經(jīng)指出，所謂“嚴(yán)格不放回”是指樣本容量n固定，嚴(yán)格不放回、的抽樣。僅介紹n=2的情形。1.對(duì)這種抽樣，總體中個(gè)體單元i的入樣概率為2.設(shè)計(jì)好第一次抽取的概率，第二次抽取的概率與成正比，使總的入樣概率正比于.特點(diǎn)：（2）Durbin（德賓）方法（1967）1.對(duì)這種抽樣，總體中個(gè)體單元i的入樣概率為2.第一次抽取的概率與成正比，第二次抽取的概率使總的入樣概率正比于.特點(diǎn)：Durbin方法中的與Brewer方法中的完全一樣這表明兩種不等概率抽樣方法其實(shí)是等價(jià)的。（3）Sen-Midzuno抽樣方法(4)Horvitz—Thompson(霍維茨—湯普森)HT估計(jì)量對(duì)于不放回不等概率抽樣,常用HT估計(jì)?？傮w總數(shù)Y的無(wú)偏估計(jì)量為：該估計(jì)量的均方偏差為：HT估計(jì)的均方偏差的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量為注：兩估計(jì)量均有可能取負(fù)值，通過模擬比較，v2較穩(wěn)定且較少取負(fù)值。§3.3