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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點,則的最大值為A.2 B. C. D.2.設(shè),,則()A. B.C. D.3.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點,是它們的一個公共點,且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.64.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.195.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.6.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為()A. B. C. D.7.如圖是一個算法流程圖,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.9.已知,若對任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.10.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則11.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④12.如圖是計算值的一個程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在一個倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為____________.14.在三棱錐中,已知,且平面平面,則三棱錐外接球的表面積為______.15.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),滿足.則不等式的解集為________.16.展開式中項系數(shù)為160,則的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左右焦點分別為,焦距為4,且橢圓過點,過點且不平行于坐標軸的直線交橢圓與兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線交軸于點.(1)求的周長;(2)求面積的最大值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:,恒成立.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,且,求證:;(2)若時,恒有,求的最大值.20.(12分)已知定點,,直線、相交于點,且它們的斜率之積為,記動點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,是否存在定點,使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標;若不存在,請說明理由。21.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當(dāng)時,有兩個零點,證明:.(參考數(shù)據(jù):)22.(10分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;(2),,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進而利用弦長公式求得|AB|的表達式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長|AB|=4.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理,判別式找到解決問題的突破口.2、D【解析】
由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因為,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號.故選:C.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.4、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.5、D【解析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運算.6、C【解析】
利用正方體將三視圖還原,觀察可得最長棱為AD,算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示,易得最長的棱長為故選:C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題,其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計算結(jié)果,故選A.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復(fù)數(shù)的運算;2、復(fù)數(shù)的模.9、B【解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.10、D【解析】試題分析:,,故選D.考點:點線面的位置關(guān)系.11、C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)計算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算,考查學(xué)生空間想象能力與計算能力,是一道中檔題.14、【解析】
取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得,,由等腰直角三角形的性質(zhì),得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面,,由勾股定理求得,可得為三棱錐外接球的球心,根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中,取的中點,設(shè)等邊三角形的中心為,連接.由,得,,由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,為三棱錐外接球的球心,外接球半徑,三棱錐外接球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置,球的半徑,屬于中檔題.15、【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再將所求不等式變形為,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè),則,設(shè),則.當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)在處取得極小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為上的奇函數(shù),則,,則不等式等價于,又,解得.因此,不等式的解集為.故答案為:.【點睛】本題主要考查不等式的求解,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強.16、-2【解析】
表示該二項式的展開式的第r+1項,令其指數(shù)為3,再代回原表達式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令,所以,則故答案為:【點睛】本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù),屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)12(2)【解析】
(1)根據(jù)焦距得焦點坐標,結(jié)合橢圓上的點的坐標,根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標準方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過點,由橢圓定義知:,故,因此,的周長;(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點處取等,故面積的最大值為.【點睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點和橢圓上的點的坐標求橢圓的標準方程,根據(jù)直線與橢圓的交點關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達定理的使用,綜合性強,計算量大.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將不等式化為,利用零點分段法,求得不等式的解集.(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證,恒成立,由的最小值為,得到只要證,即證,利用絕對值不等式和基本不等式,證得上式成立.【詳解】(1)∵,∴,即當(dāng)時,不等式化為,∴當(dāng)時,不等式化為,此時無解當(dāng)時,不等式化為,∴綜上,原不等式的解集為(2)要證,恒成立即證,恒成立∵的最小值為-2,∴只需證,即證又∴成立,∴原題得證【點睛】本題考查絕對值不等式的性質(zhì)、解法,基本不等式等知識;考查推理論證能力、運算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類與整合思想.19、(1)見解析;(2).【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,并設(shè),則,,將不等式等價轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論;(2)構(gòu)造函數(shù),對實數(shù)分、、,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,再通過構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,可得出的最大值.【詳解】(1),,所以,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,此時,函數(shù)單調(diào)遞增.要證,即證.不妨設(shè),則,,下證,即證,構(gòu)造函數(shù),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,即,故結(jié)論成立;(2)由恒成立,得恒成立,令,則.①當(dāng)時,對任意的,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,不符合題意;②當(dāng)時,;③當(dāng)時,令,得,此時,函數(shù)單調(diào)遞增;令,得,此時,函數(shù)單調(diào)遞減...令,設(shè),則.當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)在處取得最大值,即.因此,的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值,構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于難題.20、(1);(2)存在定點,見解析【解析】
(1)設(shè)動點,則,利用,求出曲線的方程.(2)由已知直線過點,設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,,利用韋達定理求解直線的斜率,然后求解指向性方程,推出結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)動點,則,,,即,化簡得:。由已知,故曲線的方程為。(2)由已知直線過點,設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,則又直線與斜率分別為,,則。當(dāng)時,,;當(dāng)時,,。所以存在定點,使得直線與斜率之積為定值?!军c睛】本題考查軌跡方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.21、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域為,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關(guān)于實數(shù)的不等式,進而可求得實數(shù)的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構(gòu)造函數(shù),證明出,進而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)
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