定量分析中的估計與假設(shè)檢驗

定量分析中的估計與假設(shè)檢驗摘要：本文闡述了定量分析的估計類型、置信區(qū)間與置信度，以及假設(shè)檢驗，研究了區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的內(nèi)在聯(lián)系及其區(qū)別，探討了這兩種方法的范圍及應(yīng)注意的問題。關(guān)鍵字：點估計；區(qū)間估計；假設(shè)檢驗0引言數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而區(qū)間估計與假設(shè)檢驗問題在其中占有很重要的地位。區(qū)間估計與假設(shè)檢驗作為兩種重要的統(tǒng)計推斷方法在農(nóng)林科學(xué)、經(jīng)濟管理、醫(yī)療衛(wèi)生、金融保險、證券投資、科學(xué)研究、工程技術(shù)、質(zhì)量控制及國防研究、災(zāi)害防治等各方面應(yīng)用日益廣泛，其對決策的科學(xué)性的作用也為越來越多的人所認識。這兩種方法都是通過對具體事物的隨機抽樣所得樣本數(shù)據(jù),用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的方法進行統(tǒng)計分析并作出判斷的，掌握它們之間的關(guān)系、各自的適用范圍和應(yīng)用條件以及應(yīng)注意的問題對作出正確的統(tǒng)計推斷至關(guān)重要。在日常生活或工作中人們也不斷地做各種各樣的估計，例如一個違規(guī)亂穿馬路的人，要估計垂直車道上的汽車離開路口的距離、速度，判斷當時穿過馬路有沒有被車撞的可能，然后決定是立即過馬路，還是等一等；如果立即過去，能不能慢慢走，還是要快快跑？管理工作中，需要事前做估計的事情也非常多，例如銀行在貸款給某個企業(yè)的時候，對其還貸能力做出估計，然后決定是否給予貸款，貸給多少，還款期限，等等。人們總是在分析“過去資料”對現(xiàn)實或未來影響的基礎(chǔ)上做出估計。簡單的估計可以靠生活常識或經(jīng)驗，復(fù)雜的、受多因素影響的估計，特別是對那些信息不完全狀況下的估計要依賴“統(tǒng)計推斷”。1、估計類型有兩種類型的估計，分別是點估計和區(qū)間估計。所謂點估計是估計某一個總體參數(shù)的具體值，例如：預(yù)計明年春運高峰火車旅客將達到1.85億人次；今年八月份手機銷量會增長10%,等等。點估計看似很方便、很明確，但是，由于點估計要求精確，所以估計的結(jié)果只有兩種可能性：或者正確或者錯誤，大多數(shù)情況下，要點估計絕對正確幾乎是不可能的，而如果使用區(qū)間估計，正確率就會大大提高。區(qū)間估計需要估計一個包含總體參數(shù)在內(nèi)的區(qū)間，通常用區(qū)間的大小或者實際參數(shù)落在某個區(qū)間的概率兩種方式表達區(qū)間估計的結(jié)果。如此把上面的例子改為：明年春運高峰旅客數(shù)估計在1.6億人次到1.9億人次之間。當旅客人次落在這個區(qū)間內(nèi)，那么估計就是正確的；否則就是不正確的。顯然，區(qū)間估計的正確率比點估計要高。任何一個統(tǒng)計量不可能都是“好的”。評價用作估計量的統(tǒng)計量好壞的標準有四條。（1）無偏性。即一個估計量在所估計的總體參數(shù)以上或以下的可能性（出現(xiàn)的頻率或取值范圍）相同。（2）有效性。無偏估計不是惟一的，許多個無偏估計中哪一個更好？應(yīng)該選用平均誤差或標準誤差較小的那個。（3）一致性。如果隨著容量增加，統(tǒng)計量的值越來越接近總體參數(shù)值，那么這樣的統(tǒng)計量就是與總體參數(shù)一致的估計量。樣本容量越大，估計量的一致性越可靠。（4）充分性。如果一個估計量能夠為總體帶來大量的有用信息，而沒有其他的估計量能帶來比它更多的有用信息，就稱這個估計量是充分的。2、置信區(qū)間與置信度置信度是由置信區(qū)間給出的。如果由樣本X1，K，X0所確定的兩個統(tǒng)計量e.（x）=e.（x1，K，x0），i=i,2滿足P{e1（x）<e<e2（x）}=1-a，則隨機區(qū)間@（x））,e2（x））就是e的置信度為（i-a）的置信區(qū)間。置信區(qū)間@0））,e2（x））是一個隨機區(qū)間，對每次抽樣來說，它可能是不同的，有時包含參數(shù)e，有時不包含參數(shù)e。但對置信度為90%的置信區(qū)間而言，在ioo次抽樣得到的ioo個隨機區(qū)間中大約有90個包含參數(shù)e。由此可見，置信度是區(qū)間估計的可靠性度量。即置信度（1-a）表示該區(qū)間估計包含參數(shù)真值的可靠程度?？梢?，置信區(qū)間與置信度有密切相關(guān)。置信區(qū)間的長短，反映估計精度的高低。在實際問題中，通常是給定置信度，求盡可能短的置信區(qū)間。也可通過增加樣本容量來提高區(qū)間估計的精度，使區(qū)間長度控制在某一范圍之內(nèi)。3、假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗又稱統(tǒng)計檢驗，是統(tǒng)計假設(shè)檢驗的簡稱。檢驗的基本方法是：先假設(shè)總體具有某些統(tǒng)計特性，再根據(jù)樣本的統(tǒng)計特性，驗證總體是否具有這些特征。最常用“假設(shè)檢驗”驗證一個均值的樣本是不是抽樣于均值為U的總體；也可以對兩個均值不同的樣本，判斷是否來源于同一個總體。假設(shè)檢驗方法需要利用樣本提供的信息構(gòu)造適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量，用來分析總體和樣本之間或樣本與樣本之間的相關(guān)統(tǒng)計量（統(tǒng)計值）是否存在顯著差異（這也是假設(shè)檢驗又稱為顯著性檢驗的原因），依此判斷是不是有足夠的理由相信原假設(shè)是可信的？檢驗的基本原理是：經(jīng)過抽樣分析，如果小概率事件發(fā)生，原假設(shè)檢驗的假設(shè)的正確性將受到懷疑。顯著水平。是一個很小的值（譬如0.05），是檢驗者判斷小概率事件是否發(fā)生的標準。假設(shè)檢驗分為三種情況：雙側(cè)檢驗Hi聲=雙側(cè)檢驗Hi聲=4.Hi*產(chǎn)尹單側(cè)檢驗Hu: 4（或產(chǎn)=Q?Hm尸V奴假設(shè)檢驗的步驟可以歸納如下：第一步，做出原假設(shè)H。的備擇假設(shè)H1，確定顯著水平。；王一〃第二步，建立統(tǒng)計量Z=第三步，根據(jù)是雙側(cè)檢驗還是單側(cè)檢驗，決定取Z還是取Z/2；在單側(cè)檢驗時注意Z應(yīng)用于左側(cè)還是右側(cè)；第四步，計算置信區(qū)間的上下限；第五步，根據(jù)顯著水平，將計算得到的統(tǒng)計量與相應(yīng)的臨界值比較，做出接受還是拒絕H0的判斷。4、 兩類錯誤事實上，由于采用拒絕“小概率事件”的“概率反證法”確定對“原假設(shè)”接受還是拒絕，所以無論對原假設(shè)做出接受或拒絕的判斷時，都不能保證百分之百正確。可能犯的錯誤有兩類：第一類，“以真當假”的錯誤一一拒絕了原本為真的原假設(shè)。因為在原假設(shè)為真的前提下，大量重復(fù)抽樣，出現(xiàn)個別的統(tǒng)計量落入拒絕區(qū)是可能發(fā)生的“小概率事件”。但是卻根據(jù)小概率原理將原假設(shè)拒絕。當然出現(xiàn)小概率事件時，不可能知道這個拒絕是錯誤的，所以，拒絕原假設(shè)要冒一定的風(fēng)險。第二類，“以假當真”的錯誤一一接受了原本應(yīng)該拒絕的原假設(shè)。通常用P表示以假當真的概率。犯第一類錯誤的可能性與顯著水平。有關(guān)。減少a，響應(yīng)的拒絕域也隨之減小，就可以少犯“以真當假”的錯誤；但是在減小a時，p就會增大，犯“以假當真”的第二類錯誤的概率就增加了。反之亦然：在減小6時a就會變大。所以在樣本容量固定時，要同時減小犯第一和第二類錯誤是比較困難的。避免犯錯誤的方法通常選用經(jīng)驗積累的結(jié)果作原假設(shè)，一旦原假設(shè)被拒絕，可以及時采取調(diào)換樣本再檢驗；也可以采用不同的顯著水平做檢驗，當結(jié)果不相同時，增加樣本容量再檢驗。常把增加樣本的容量作為避免犯錯誤的主要方法。5、 參數(shù)的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的內(nèi)在聯(lián)系統(tǒng)計推斷的基本問題分為兩類:一類是參數(shù)估計問題，另一類是假設(shè)問題。參數(shù)區(qū)間估計與假設(shè)檢驗雖然提法不同，但解決問題的途徑是相通的，統(tǒng)計推斷的思想方法是一樣的，都是基于數(shù)理統(tǒng)計理論的推斷方法，都是基于樣本信息來推斷總體的性質(zhì)，即用部分來推斷總體。它們都是選取一個統(tǒng)計量，然后使這個統(tǒng)計量落在某個已知區(qū)間上的概率而由此得到結(jié)果。利用區(qū)間估計可以建立假設(shè)檢驗，反之亦然。

例1設(shè)總體X~N(M,。2),。2已知，若求p的區(qū)間估計，應(yīng)選擇統(tǒng)計U=— ~N(O,1)按置信度1-a確定一個大概率事件戶｛|合T-口由此得到p的置信度為1-a的置信區(qū)間為:這個區(qū)間估計恰好是原假設(shè)H0：p=p。的一個接受域，顯著水平為。。問題如果是假設(shè)檢驗H0：p=p0；H1：p尹p0選擇統(tǒng)計量對給定的顯性水平為。，得到一個小概率事件IX-UCf/a/m由實測值點是否成立，決定是否拒絕原假設(shè)。X拒絕域為拒絕域為IX-UCf/a/m由實測值點是否成立，決定是否拒絕原假設(shè)。X拒絕域為拒絕域為接受域為接受域為將U0改為p，那么結(jié)果正是p的區(qū)間估計，置信度為1-a。6、參數(shù)的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗之間的區(qū)別參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗從不同的角度回答同一問題，它們的統(tǒng)計處理是相通的。但是它們之間又有區(qū)別，體現(xiàn)以下三點：第一，參數(shù)估計解決的是多少（或范圍）問題，假設(shè)檢驗則判斷結(jié)論是否成立。前者解決的是定量問題，后者解決的是定性問題。第二，兩者的要求各不相同。區(qū)間估計確定在一定概率保證程度下給出未知參數(shù)的范圍。而假設(shè)檢驗確定在一定的置信水平下，未知參數(shù)能否接受己給定的值。第三，兩者對問題的了解程度各不相同。進行區(qū)間估計之前不了解未知參數(shù)的有關(guān)信息。而假設(shè)檢驗對未知參數(shù)的信息有所了解，但作出某種判斷無確切把握。因而在實際應(yīng)用中，究竟選擇哪種方法進行統(tǒng)計推斷，需要根據(jù)實際問題的情況確定相應(yīng)的處理方法。否則將會產(chǎn)生不同的結(jié)論，做出錯誤的統(tǒng)計推斷。綜上所述，在通常情況下參數(shù)的區(qū)間估計與假設(shè)檢驗這兩種統(tǒng)計推斷方法是相通的。參數(shù)的區(qū)間估計可通過利用假設(shè)檢驗的方法來解決，同樣參數(shù)的假設(shè)檢驗問題可通過利用區(qū)間估計的方法來解決。但是，這兩種統(tǒng)計推斷方法的適用情況也有所不同。在實際應(yīng)用中假若我們對問題有很多的了解或掌握一些非樣本的信息，這時采用假設(shè)檢驗的方法比較合適。如果我們對問題除樣本信息外再沒有其它要考慮的信息，則采用區(qū)間估計的方法較為穩(wěn)妥。參考文獻:張靄珠，陳力君.定量分析方法[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社.2003.樊明智，王芬