初中數學教材中的數學文化試題賞釋

初中數學教材中的數學文化試題賞釋屈景蘭潘祥萬2017高考考試大綱修訂內容數學部分的要求是：“在能力要求內涵方面，增加了基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的要求，增加了數學文化的要求。同時對能力要求進行了到位的說明，使能力要求更加明確具體”。在整個考綱的修改部分，特別強調了要增加對于數學文化的考查。作為教學一線的老師，除了關注初中數學教學的實際外，也不得不圍繞高考這根指揮棒開展一些教學工作。而具體的體現就是在其他兄弟省、市的中考數學試卷里就出現了與數學文化有關的題目。這些題型的出現，其意圖是向通過解題讓孩子感受中國的傳統(tǒng)文化之美并予以傳承。本文就對教材中涉及的數學文化試題和一些省、市的中考試題做一個簡單的總結以饗同仁。一、源于“實際生活中的收、支”的表示問題。在《數學》七年級（上）有理數這章開始講正、負數時，知道數的產生和發(fā)展與生活有關的。如實物計數，結繩計數，刻道計數等是原始社會的計數方法，說明當時如何用小石子檢查放牧歸來的羊的只數；用結繩的方法統(tǒng)計獵物的個數；用在木頭上刻道的方法記錄捕魚的數量等等。古時候人們計數的方法有（結繩）記數，（籌碼）記數和（算盤）記數，而算籌也是一種表示數的工具。在中國的古代用算籌進行計算，紅色（或正放）算籌表示正數，黑色（或斜放）算籌表示負數。例1.史料證明：追溯到兩千多年前，中國人就開始使用負數，且在世界上也是首創(chuàng)。而中國古代數學著作《九章算術》的“方程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數。如果收入100元記作+100元，那么-60元表示（）A.支出40元8.收入40元C.支出60元D.收入60元。解析：隨著時代的進步，社會向前發(fā)展，一些繁雜（擺算籌）的計數方法也得改進。后來的數學家們用“+、-”表示正、負數，知道其涵義后，書寫簡潔又方便。賞釋：以教材中旁白作為切入點，了解古時人們計數的方式，進而考查正負數在實際生活中的意義。二、源于《閱讀與思考》中的有關問題（一）中國人最先使用負數〖1〗、〖2〗、中國是世界上首先使用負數的國家。而負數產生的原因有:一是來源于生活和生產實際；另一個是解方程的需要。戰(zhàn)國時期李悝所著的《法經》中已出現使用負數的實例：“衣五人終歲用千五百不足四百五十。”在甘肅居延出土的漢簡中，出現了大量的“負算”……以負與得相比較，表示缺少、虧空之意，由此說明負數產生于生活實踐的需要；據世界上第一部關于負數完整介紹的古算書《九章算術》記載，由于在解方程時遇到了小數減大數的情況，為了使方程能解，數學家發(fā)明了現在使用負數。同時該書率先給出了負數的定義：”今兩算得失相反，要令正負以名之”，并辯證地闡明：“言負者未必負于少，言正者未必正于多?！北纫獯罄麛祵W家邦貝利在他的《代數學》中給出負數的定義要早得多。例2.計算：一8.4+10—4.2+5.7解：原式=—8.4—4.2+（10+5.7）=—12.6+15.7=3.1解析：主要是有理數加減法則及運算律的考查。賞釋：有理數加減法則，在我國的古代數學著作《九章算術》的“方程”一章中，并給出名為“正負術”的算法。而“正負術”就是今天的正負數加減法則。遺憾的是未能總結出今天所學習的乘除法法則。直到1299年元代朱世杰的《算學啟蒙》中才有明確記載：“同名相乘為正，異名相乘為負，同名相除所得為正，異名相除所得為負。”這與我們現在學習

的有理數乘除法法則是一致的。（二）與‘方程’史話⑶”有關的方程試題人們對方程的表示及解法的研究有很久遠的歷史。不管是公元820年左右中亞西亞的數學家阿爾-花拉子米著的《對消與還原》，還是公元前200?前50年古代中國的數學著作《九章算術》及宋元時期數學家創(chuàng)立的“天元術”，用“天元”表示未知數（與現今代數中的列一元方程解應用題的方法基本上是一致）而建立方程。這種方法的代表著作是數學家李冶寫的《測圓海鏡》，書中的“立天元一”就相當于現在的設未知數x。而后的清代數學家李善蘭把國外數學著作翻譯過來，就將equation一詞譯為“方程”，即含有未知數的等式稱為方程，沿用至今。HIT

叫in=ii圖HIT

叫in=ii圖2程組是由算籌布置而成的，如圖1,圖2,圖中各行從1左到右列出的算籌數分別表示未知數x,y的系數與相ULzU應的常數項，把圖1所示的算籌圖用我們現在所熟悉的方程組形式表述出來，就是J3x+2j=19[x+4j=23（1）寫出圖2所示的算籌圖所表示的方程組；（2）請你求出在（1）中寫出的方程組的解.分析：由圖1可得1個豎直的算籌數算1，一個橫的算籌數算10，每一橫行是一個方程，第一個數是x的系數，第二個數是y的系數，第三個數是相加的結果：前面的表示十位，后面的表示個位，由此可得圖2的表達式.（1）根據圖1所示的算籌的表示方法，可推出圖2所示的算籌的表示的方程組：（2x+j=11 ①14x+3j=27；②（2）①X2-②得，-y=-5,即y=5,把y=5代入②得，4x+3X5=27,x=3.所以方程組的解為：F=3[j=5點評：考查列二元一次方程組；關鍵是讀懂圖意，得到所給未知數的系數及相加結果.例4.（2017年連云港市）《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客來到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空?！眲t客人有位，客房有一間。例5.（2016.銅仁）我國古代名著《九章算術》中有一題“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？”（鳧：野鴨）設野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經過x天相遇，可列方程為（）A.（9-7）x=1 b.（9+7）x=1c.（―--）x=1d.（—+—）x=179 79例6.元代朱世杰所著的《算學啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾日追及之？”良馬一天可以追上弩馬。

解析：三個題都是列方程與解方程的問題，是課程標準要求及考查的知識點。賞釋：對上述三個試題，均是我國古典數學著作《算法統(tǒng)宗》、《九章算術》、《算學啟蒙》（人教版七年級上P112中的注釋）中的方程問題。而對一次方程或一次方程組的解法在《九章算術》中有比較完整的論述。讓學生了解我國數學文化的輝煌成就，進而增強民族自豪感和學習數學的信心。過去代數的研究主要是對方程的研究。在我國南宋數學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中有這樣一個問題：“直田積（矩形面積）八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步。答：闊二十四步，長三十六步。”這個問題實際上是古代的一元二次方程問題。（二）源于生活中的長度測量問題無論何時，在日常的生活或生產中，人們經常會遇到計算和測量。隨著科學的不斷發(fā)展，而計量單位也不斷的在更新，精確度也提高了。我們見過的測長度的工具有：木尺、塑料尺、卷尺、鋼卡尺、游標卡尺等。如果對測量精度要求不高，我們也可用肘、拃、步長等來估計距離。如我國的傳統(tǒng)中醫(yī)理論中依據經絡脈理尋求穴位等，也有測量。例7.《索竿之長》問題一支竹竿一條索，索比竿子長一托。對折索子來量竿，卻比竿子短一托。則索長—托，竿長—托。解析：這是生活中的一個測量問題。一托是一個人的兩只手臂伸直的長度，與人的手臂長短有關，一般人的一托是5尺，就是1.7米左右。賞釋：主要應搞清楚古時候的計量有哪些，可以不必糾纏與現在長度有何關聯(lián)，沒必要考察。雖是一個從測量問題，實則歸為方程問題。例8.（2017.瀘州,2016.太原）已知三角形的三遍長分別為a,b,c，求其面積問題，中外數學家曾經進行過深入的研究，故希臘的幾何學甲海倫給出求其面積的海倫公式S=5（P—a）（P—b）（p—c），其中p=a+b+c；我國南宋時期數學家秦九韶（約1202-1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=g\：'a2b2-(S=g\：'a2b2-(3V15A.—3t后B.——C.3<15D.史解析:此題是源于二次根式這章中“閱讀與思考”中海倫一秦九韶公式（三斜求積公式）的介紹為背景，考查學生對二次根式代值計算化簡問題。賞釋：秦九韶在1247年完成的著作《數書九章》就總結了這個公式。而《數書九章》是一部劃時代的數學巨作，全書共18卷，81題，分九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類。而此書實用性強，所設問題復雜，解題步驟詳，對“大衍求一術”（一次同余組解法）和“正負開方術”（高次方程的數值解法）等有深入研究。（三）源于“楊輝三角⑷”問題2011版初中數學課程標準指出：數學是人類文化的重要組成部分，數學素養(yǎng)是現代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。在數學教學中，結合學生已有認知和知識水平應當注重發(fā)展學生的“數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數

據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”。除了培養(yǎng)發(fā)展基本的數學素養(yǎng)和數學思想外，還要把“應用意識和創(chuàng)新意識”兩方面的精神貫穿在教育教學中。作為教學一線的教育者應結合教材中提供的素材，適當的進行拓展、延伸，使學生的知識面得以拓寬，為后續(xù)的學習打下基礎；而下面兩個地方的中考試題就是一個很好的例證，也為我們的教學開展指明了方向。例9.（2016.四川廣安）我國南宋數學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”.這個三角形給出了（。+b）n（n=1,2,3,4……）的展開式的系數規(guī)律（按a的次數由大到小的順序）11(a+b)1=a+b121(a+b)2=a2+2ab+b21331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b314641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4請依據上述規(guī)律：寫出（X—32016展開式中含X2014項的系數是：.X解析：在初中數學教材八年級（上）《整式的乘法與因式分解》這一章中學習了幕的意義和整式乘法公式，而完全平方公式實際上楊輝三角的特殊。本題主要考查幕的運算和整式乘法運算.首先確定X2014是展開式中第幾項，根據楊輝三角即可解決問題.解：（X-g）2016展開式中含X2014項的系數，根據楊輝三角，就是展開式中第二項的系數，即-2016x2=-4032.故答案為-4032.例10.（2014.四川省巴中市）圖中是我國古代數學家楊輝最早發(fā)現的，稱為“楊輝三角形”.它的出現比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角形”中有許多規(guī)律，如它的每一行數字正好對應了（。+b>（n為自然數）的展開式中a按次數從大到小排列的項的系數，例如Q+b\=a2+2ab+b2展開式中的系數1、2、1恰好對應圖中第三行的數字；再如（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中為 111121133114641的系數1、3、3、1恰好對應圖中第四行的數字.請認真觀察此圖，寫出為 111121133114641(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【答案】a4-4a3b+6a2b2一4ab3+b4賞釋：在我國古代，“幕”的早期含義是泛指方形的東西。到三國時代，劉徽給《九章算術》作注時第一次在數學中使用幕表示乘積。到明朝徐光啟翻譯《幾何原本》時，用“自乘之數曰幕”來解釋幕，明確給出了幕下了定義。后來，隨著數學家們的深入研究，在1591年法國數學家韋達的代數名著《分析方法入門》中才有現代意義的幕的概念。在教學中，我們應

清楚地告知：幕是乘方的結果，不是乘方。對于題中談到的楊輝三角，實際上是高中數學教材中“二項式定理”學習的內容。我國南宋時期杰出的數學家和教育家楊輝在公元1261年著《詳解九章算術》中載有“開方作法本源”圖，使得賈憲的成果得以保存。由于“開方作法本源”圖出自楊輝的著作，后人稱“開方作法本源”圖為楊輝三角。事實上，楊輝作注：”出《釋鎖算術》，賈憲用此術”。所以，著名數學家華羅庚教授曾建議稱之為“賈憲一楊輝三角”，現在“賈憲三角”“楊輝三角”并用，對于這個科學成果，比西方早500年左右。我國古代有這樣的數學成就，是非常值得驕傲的，是能激發(fā)中華民族自豪感的。（四）源于“勾股定理”證明問題2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣。因為這個定理重要、基本，還貼近人們的生活實際。自古以來，上至帝王將相，下至平民百姓都愿意探討、研究證明證明。證明方法較多。對于證明法，感興趣者可參閱人教版八年級（下）P30“閱讀與思考”中的畢達哥拉斯證法、趙爽弦圖證法、加菲爾德證法；也可在互聯(lián)網上搜閱其他證法。而世界上第一次給出勾股數組通解公式的是《九章算術》一書。同時，我們知道困擾數學界300多年的費馬大定理可以看作是從勾股數組引出的類比、推廣后的數學問題。由此可知勾股定理的影響是深遠的，在其他領域的作用是不可估量的。例11.如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC=6,BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是 .解析：本題是勾股定理的應用計算問題。解答時應明確周長是哪些線段的長度之和。賞釋：對于勾股定理的應用問題，在人教版教材的第十七章P29的10題和P39的10題這兩題均選自《九章算術》。而這兩題經改編，卻在有些省市作為中考題展現。如“蕩秋千”問題和“折竹抵地”問題?！竟垂啥ɡ響米兪健浚海?017.東營）我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖1所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是 尺．圖1圖2圖1圖2（2017.襄陽）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲.如圖2所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A?3B.4C.5D.6（3）我國明代有一位杰出的數學家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高土素好奇，算出索長有幾？”［解析］詩的意思告訴我們：當秋千靜止在地上時，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺，當然這是秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，要求這個秋千的繩索有多長？要解決這個古詩中的問題，我們可以先畫出圖形，再運用勾股定理求解.0（4）（2017年.荊州）《九章算術》中的〃折竹抵地〃問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（ ）A.X2-