初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化試題賞釋

初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化試題賞釋屈景蘭潘祥萬(wàn)2017高考考試大綱修訂內(nèi)容數(shù)學(xué)部分的要求是：“在能力要求內(nèi)涵方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求，增加了數(shù)學(xué)文化的要求。同時(shí)對(duì)能力要求進(jìn)行了到位的說(shuō)明，使能力要求更加明確具體”。在整個(gè)考綱的修改部分，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)于數(shù)學(xué)文化的考查。作為教學(xué)一線的老師，除了關(guān)注初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際外，也不得不圍繞高考這根指揮棒開(kāi)展一些教學(xué)工作。而具體的體現(xiàn)就是在其他兄弟省、市的中考數(shù)學(xué)試卷里就出現(xiàn)了與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的題目。這些題型的出現(xiàn)，其意圖是向通過(guò)解題讓孩子感受中國(guó)的傳統(tǒng)文化之美并予以傳承。本文就對(duì)教材中涉及的數(shù)學(xué)文化試題和一些省、市的中考試題做一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)以饗同仁。一、源于“實(shí)際生活中的收、支”的表示問(wèn)題。在《數(shù)學(xué)》七年級(jí)（上）有理數(shù)這章開(kāi)始講正、負(fù)數(shù)時(shí)，知道數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展與生活有關(guān)的。如實(shí)物計(jì)數(shù)，結(jié)繩計(jì)數(shù)，刻道計(jì)數(shù)等是原始社會(huì)的計(jì)數(shù)方法，說(shuō)明當(dāng)時(shí)如何用小石子檢查放牧歸來(lái)的羊的只數(shù)；用結(jié)繩的方法統(tǒng)計(jì)獵物的個(gè)數(shù)；用在木頭上刻道的方法記錄捕魚(yú)的數(shù)量等等。古時(shí)候人們計(jì)數(shù)的方法有（結(jié)繩）記數(shù)，（籌碼）記數(shù)和（算盤）記數(shù)，而算籌也是一種表示數(shù)的工具。在中國(guó)的古代用算籌進(jìn)行計(jì)算，紅色（或正放）算籌表示正數(shù)，黑色（或斜放）算籌表示負(fù)數(shù)。例1.史料證明：追溯到兩千多年前，中國(guó)人就開(kāi)始使用負(fù)數(shù)，且在世界上也是首創(chuàng)。而中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)。如果收入100元記作+100元，那么-60元表示（）A.支出40元8.收入40元C.支出60元D.收入60元。解析：隨著時(shí)代的進(jìn)步，社會(huì)向前發(fā)展，一些繁雜（擺算籌）的計(jì)數(shù)方法也得改進(jìn)。后來(lái)的數(shù)學(xué)家們用“+、-”表示正、負(fù)數(shù)，知道其涵義后，書(shū)寫簡(jiǎn)潔又方便。賞釋：以教材中旁白作為切入點(diǎn)，了解古時(shí)人們計(jì)數(shù)的方式，進(jìn)而考查正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的意義。二、源于《閱讀與思考》中的有關(guān)問(wèn)題（一）中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)〖1〗、〖2〗、中國(guó)是世界上首先使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。而負(fù)數(shù)產(chǎn)生的原因有:一是來(lái)源于生活和生產(chǎn)實(shí)際；另一個(gè)是解方程的需要。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期李悝所著的《法經(jīng)》中已出現(xiàn)使用負(fù)數(shù)的實(shí)例：“衣五人終歲用千五百不足四百五十。”在甘肅居延出土的漢簡(jiǎn)中，出現(xiàn)了大量的“負(fù)算”……以負(fù)與得相比較，表示缺少、虧空之意，由此說(shuō)明負(fù)數(shù)產(chǎn)生于生活實(shí)踐的需要；據(jù)世界上第一部關(guān)于負(fù)數(shù)完整介紹的古算書(shū)《九章算術(shù)》記載，由于在解方程時(shí)遇到了小數(shù)減大數(shù)的情況，為了使方程能解，數(shù)學(xué)家發(fā)明了現(xiàn)在使用負(fù)數(shù)。同時(shí)該書(shū)率先給出了負(fù)數(shù)的定義：”今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，并辯證地闡明：“言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多。”比意大利數(shù)學(xué)家邦貝利在他的《代數(shù)學(xué)》中給出負(fù)數(shù)的定義要早得多。例2.計(jì)算：一8.4+10—4.2+5.7解：原式=—8.4—4.2+（10+5.7）=—12.6+15.7=3.1解析：主要是有理數(shù)加減法則及運(yùn)算律的考查。賞釋：有理數(shù)加減法則，在我國(guó)的古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章中，并給出名為“正負(fù)術(shù)”的算法。而“正負(fù)術(shù)”就是今天的正負(fù)數(shù)加減法則。遺憾的是未能總結(jié)出今天所學(xué)習(xí)的乘除法法則。直到1299年元代朱世杰的《算學(xué)啟蒙》中才有明確記載：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)，同名相除所得為正，異名相除所得為負(fù)?！边@與我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)

的有理數(shù)乘除法法則是一致的。（二）與‘方程’史話⑶”有關(guān)的方程試題人們對(duì)方程的表示及解法的研究有很久遠(yuǎn)的歷史。不管是公元820年左右中亞西亞的數(shù)學(xué)家阿爾-花拉子米著的《對(duì)消與還原》，還是公元前200?前50年古代中國(guó)的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》及宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的“天元術(shù)”，用“天元”表示未知數(shù)（與現(xiàn)今代數(shù)中的列一元方程解應(yīng)用題的方法基本上是一致）而建立方程。這種方法的代表著作是數(shù)學(xué)家李冶寫的《測(cè)圓海鏡》，書(shū)中的“立天元一”就相當(dāng)于現(xiàn)在的設(shè)未知數(shù)x。而后的清代數(shù)學(xué)家李善蘭把國(guó)外數(shù)學(xué)著作翻譯過(guò)來(lái)，就將equation一詞譯為“方程”，即含有未知數(shù)的等式稱為方程，沿用至今。HIT

叫in=ii圖HIT

叫in=ii圖2程組是由算籌布置而成的，如圖1,圖2,圖中各行從1左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x,y的系數(shù)與相ULzU應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來(lái)，就是J3x+2j=19[x+4j=23（1）寫出圖2所示的算籌圖所表示的方程組；（2）請(qǐng)你求出在（1）中寫出的方程組的解.分析：由圖1可得1個(gè)豎直的算籌數(shù)算1，一個(gè)橫的算籌數(shù)算10，每一橫行是一個(gè)方程，第一個(gè)數(shù)是x的系數(shù)，第二個(gè)數(shù)是y的系數(shù)，第三個(gè)數(shù)是相加的結(jié)果：前面的表示十位，后面的表示個(gè)位，由此可得圖2的表達(dá)式.（1）根據(jù)圖1所示的算籌的表示方法，可推出圖2所示的算籌的表示的方程組：（2x+j=11 ①14x+3j=27；②（2）①X2-②得，-y=-5,即y=5,把y=5代入②得，4x+3X5=27,x=3.所以方程組的解為：F=3[j=5點(diǎn)評(píng)：考查列二元一次方程組；關(guān)鍵是讀懂圖意，得到所給未知數(shù)的系數(shù)及相加結(jié)果.例4.（2017年連云港市）《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客來(lái)到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空?！眲t客人有位，客房有一間。例5.（2016.銅仁）我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有一題“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”（鳧：野鴨）設(shè)野鴨與大雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過(guò)x天相遇，可列方程為（）A.（9-7）x=1 b.（9+7）x=1c.（―--）x=1d.（—+—）x=179 79例6.元代朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾日追及之？”良馬一天可以追上弩馬。

解析：三個(gè)題都是列方程與解方程的問(wèn)題，是課程標(biāo)準(zhǔn)要求及考查的知識(shí)點(diǎn)。賞釋：對(duì)上述三個(gè)試題，均是我國(guó)古典數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》、《九章算術(shù)》、《算學(xué)啟蒙》（人教版七年級(jí)上P112中的注釋）中的方程問(wèn)題。而對(duì)一次方程或一次方程組的解法在《九章算術(shù)》中有比較完整的論述。讓學(xué)生了解我國(guó)數(shù)學(xué)文化的輝煌成就，進(jìn)而增強(qiáng)民族自豪感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。過(guò)去代數(shù)的研究主要是對(duì)方程的研究。在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“直田積（矩形面積）八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步。答：闊二十四步，長(zhǎng)三十六步?！边@個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是古代的一元二次方程問(wèn)題。（二）源于生活中的長(zhǎng)度測(cè)量問(wèn)題無(wú)論何時(shí)，在日常的生活或生產(chǎn)中，人們經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算和測(cè)量。隨著科學(xué)的不斷發(fā)展，而計(jì)量單位也不斷的在更新，精確度也提高了。我們見(jiàn)過(guò)的測(cè)長(zhǎng)度的工具有：木尺、塑料尺、卷尺、鋼卡尺、游標(biāo)卡尺等。如果對(duì)測(cè)量精度要求不高，我們也可用肘、拃、步長(zhǎng)等來(lái)估計(jì)距離。如我國(guó)的傳統(tǒng)中醫(yī)理論中依據(jù)經(jīng)絡(luò)脈理尋求穴位等，也有測(cè)量。例7.《索竿之長(zhǎng)》問(wèn)題一支竹竿一條索，索比竿子長(zhǎng)一托。對(duì)折索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托。則索長(zhǎng)—托，竿長(zhǎng)—托。解析：這是生活中的一個(gè)測(cè)量問(wèn)題。一托是一個(gè)人的兩只手臂伸直的長(zhǎng)度，與人的手臂長(zhǎng)短有關(guān)，一般人的一托是5尺，就是1.7米左右。賞釋：主要應(yīng)搞清楚古時(shí)候的計(jì)量有哪些，可以不必糾纏與現(xiàn)在長(zhǎng)度有何關(guān)聯(lián)，沒(méi)必要考察。雖是一個(gè)從測(cè)量問(wèn)題，實(shí)則歸為方程問(wèn)題。例8.（2017.瀘州,2016.太原）已知三角形的三遍長(zhǎng)分別為a,b,c，求其面積問(wèn)題，中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過(guò)深入的研究，故希臘的幾何學(xué)甲海倫給出求其面積的海倫公式S=5（P—a）（P—b）（p—c），其中p=a+b+c；我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=g\：'a2b2-(S=g\：'a2b2-(3V15A.—3t后B.——C.3<15D.史解析:此題是源于二次根式這章中“閱讀與思考”中海倫一秦九韶公式（三斜求積公式）的介紹為背景，考查學(xué)生對(duì)二次根式代值計(jì)算化簡(jiǎn)問(wèn)題。賞釋：秦九韶在1247年完成的著作《數(shù)書(shū)九章》就總結(jié)了這個(gè)公式。而《數(shù)書(shū)九章》是一部劃時(shí)代的數(shù)學(xué)巨作，全書(shū)共18卷，81題，分九大類：大衍類、天時(shí)類、田域類、測(cè)望類、賦役類、錢谷類、營(yíng)建類、軍旅類、市易類。而此書(shū)實(shí)用性強(qiáng)，所設(shè)問(wèn)題復(fù)雜，解題步驟詳，對(duì)“大衍求一術(shù)”（一次同余組解法）和“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”（高次方程的數(shù)值解法）等有深入研究。（三）源于“楊輝三角⑷”問(wèn)題2011版初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生已有認(rèn)知和知識(shí)水平應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的“數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)

據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想”。除了培養(yǎng)發(fā)展基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想外，還要把“應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”兩方面的精神貫穿在教育教學(xué)中。作為教學(xué)一線的教育者應(yīng)結(jié)合教材中提供的素材，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生的知識(shí)面得以拓寬，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；而下面兩個(gè)地方的中考試題就是一個(gè)很好的例證，也為我們的教學(xué)開(kāi)展指明了方向。例9.（2016.四川廣安）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”.這個(gè)三角形給出了（。+b）n（n=1,2,3,4……）的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）11(a+b)1=a+b121(a+b)2=a2+2ab+b21331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b314641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律：寫出（X—32016展開(kāi)式中含X2014項(xiàng)的系數(shù)是：.X解析：在初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)（上）《整式的乘法與因式分解》這一章中學(xué)習(xí)了幕的意義和整式乘法公式，而完全平方公式實(shí)際上楊輝三角的特殊。本題主要考查幕的運(yùn)算和整式乘法運(yùn)算.首先確定X2014是展開(kāi)式中第幾項(xiàng)，根據(jù)楊輝三角即可解決問(wèn)題.解：（X-g）2016展開(kāi)式中含X2014項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)楊輝三角，就是展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)，即-2016x2=-4032.故答案為-4032.例10.（2014.四川省巴中市）圖中是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角形”.它的出現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角形”中有許多規(guī)律，如它的每一行數(shù)字正好對(duì)應(yīng)了（。+b>（n為自然數(shù)）的展開(kāi)式中a按次數(shù)從大到小排列的項(xiàng)的系數(shù)，例如Q+b\=a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)1、2、1恰好對(duì)應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；再如（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中為 111121133114641的系數(shù)1、3、3、1恰好對(duì)應(yīng)圖中第四行的數(shù)字.請(qǐng)認(rèn)真觀察此圖，寫出為 111121133114641(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【答案】a4-4a3b+6a2b2一4ab3+b4賞釋：在我國(guó)古代，“幕”的早期含義是泛指方形的東西。到三國(guó)時(shí)代，劉徽給《九章算術(shù)》作注時(shí)第一次在數(shù)學(xué)中使用幕表示乘積。到明朝徐光啟翻譯《幾何原本》時(shí)，用“自乘之?dāng)?shù)曰幕”來(lái)解釋幕，明確給出了幕下了定義。后來(lái)，隨著數(shù)學(xué)家們的深入研究，在1591年法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)的代數(shù)名著《分析方法入門》中才有現(xiàn)代意義的幕的概念。在教學(xué)中，我們應(yīng)

清楚地告知：幕是乘方的結(jié)果，不是乘方。對(duì)于題中談到的楊輝三角，實(shí)際上是高中數(shù)學(xué)教材中“二項(xiàng)式定理”學(xué)習(xí)的內(nèi)容。我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和教育家楊輝在公元1261年著《詳解九章算術(shù)》中載有“開(kāi)方作法本源”圖，使得賈憲的成果得以保存。由于“開(kāi)方作法本源”圖出自楊輝的著作，后人稱“開(kāi)方作法本源”圖為楊輝三角。事實(shí)上，楊輝作注：”出《釋鎖算術(shù)》，賈憲用此術(shù)”。所以，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾建議稱之為“賈憲一楊輝三角”，現(xiàn)在“賈憲三角”“楊輝三角”并用，對(duì)于這個(gè)科學(xué)成果，比西方早500年左右。我國(guó)古代有這樣的數(shù)學(xué)成就，是非常值得驕傲的，是能激發(fā)中華民族自豪感的。（四）源于“勾股定理”證明問(wèn)題2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣。因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本，還貼近人們的生活實(shí)際。自古以來(lái)，上至帝王將相，下至平民百姓都愿意探討、研究證明證明。證明方法較多。對(duì)于證明法，感興趣者可參閱人教版八年級(jí)（下）P30“閱讀與思考”中的畢達(dá)哥拉斯證法、趙爽弦圖證法、加菲爾德證法；也可在互聯(lián)網(wǎng)上搜閱其他證法。而世界上第一次給出勾股數(shù)組通解公式的是《九章算術(shù)》一書(shū)。同時(shí)，我們知道困擾數(shù)學(xué)界300多年的費(fèi)馬大定理可以看作是從勾股數(shù)組引出的類比、推廣后的數(shù)學(xué)問(wèn)題。由此可知勾股定理的影響是深遠(yuǎn)的，在其他領(lǐng)域的作用是不可估量的。例11.如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若AC=6,BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是 .解析：本題是勾股定理的應(yīng)用計(jì)算問(wèn)題。解答時(shí)應(yīng)明確周長(zhǎng)是哪些線段的長(zhǎng)度之和。賞釋：對(duì)于勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，在人教版教材的第十七章P29的10題和P39的10題這兩題均選自《九章算術(shù)》。而這兩題經(jīng)改編，卻在有些省市作為中考題展現(xiàn)。如“蕩秋千”問(wèn)題和“折竹抵地”問(wèn)題?！竟垂啥ɡ響?yīng)用變式】：（2017.東營(yíng)）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖1所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是 尺．圖1圖2圖1圖2（2017.襄陽(yáng)）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖2所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A?3B.4C.5D.6（3）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高土素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”［解析］詩(shī)的意思告訴我們：當(dāng)秋千靜止在地上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這是秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，要求這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？要解決這個(gè)古詩(shī)中的問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出圖形，再運(yùn)用勾股定理求解.0（4）（2017年.荊州）《九章算術(shù)》中的〃折竹抵地〃問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（ ）A.X2-