初中數(shù)學(xué)正方形

已知正方形ABCD的邊長為1,直線1”直線UL與I2之間的距離為一「I2與正方形ABCD的邊總有交點。（1）如圖（1）,當(dāng)1JAC于點A,12，AC交邊DC、BC分別于E、F時，求^EFC的周長；（2）把圖（1）中的11與12同時向右平移x個單位，得到圖（2）,問^EFC與4AMN的周長的和是否隨x的變化而變化，若不變，求出^EFC與4AMN的周長的和；若變化，請說明理由；（3）把圖（2）中的正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a,得到圖（3）,問4EFC與4AMN的周長的和是否隨a的變化而變化，若不變，求出^EFC與4AMN的周長的和；若變化，請說明理由。解：（1）如圖（1）,???正方形ABCD的邊長為1,.，.AC/又???直線L〃直線12,1］與12之間的距離為1,.?.CG=/-1,;.EF=2^-2,EC=CF=2-陋.?.△EFC的周長為EF+EC+CF=2；I2F（2）AEFC與4AMN的周長的和不隨x的變化而變化，如圖（2）,把1/12向左平移相同的距離，使得乙過4點，I2F即L平移到14,12平移到13,過E、F分別作13的垂線，垂足為R,G可證△AHM04ERP,4AHN04FGQ.\AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ/.△EFC與AAMN的周長的和為^CPO的周長，由已知可計算^CPQ的周長為2./△EFC與4AMN的周長的和為2；

(3)4EFC與4AMN的周長的和不隨a變化而變化，如圖(3),把l1、l2平移相同的距離，使得11過A點，即11平移到l4，l2平移到l3,F分別作13的垂線，垂足為R,S,過A作l1的垂線，垂足為H,可證△AHM04FSQ,4AHN04ERP.\AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=PR???△EFC與AAMN的周長的和為^CPO的周長，如圖(4),過A作l3的垂線，垂足為T連接AP、AQ可證△APT04APD,4AQT04AQB,ADP=PT,BQ=TQ.?.△CPQ的周長為DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2...△EFC與AAMN的周長的和為2附如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的對稱中心，邊MN與邊AB交于F,邊AD與邊QM交于E.附(1)在圖1中求證：ae+af=V3am；(2)如圖2,若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且NQMN=NCBA=60°,其他條件不變，則在圖2中線段AE,AF與AM的關(guān)系為；(3)在(2)的條件下，若菱形MNPQ在繞著點M運動的過程中，點E,F分別在邊AD,AB所在直線上時，已知菱形ABCD的邊長為4,AE=1,求^AFM的面積.解：(1)..?正方形ABCD和正方形QMNP,M為正方形ABCD的中心,.\ZMDA=ZBAM=45°,MD=MA,ZAMD=ZQMN=90°,.\ZAMD-ZAME=ZQMN-ZAME,IPZDME=ZFMA,2QME=AFMA\DM=AM在△DME和AFMA中，?/皿七=,,\ADME=AFMA(ASA),ADE=AF,.?.AE+AF=AE+ED=AD,在Rt^AMD中，sin/MDA:sin45°=? =匕，即AD三二AM,則AE+AF=3=AM；(2)在圖2中線段AE,AF與AM的關(guān)系為：AE+AF=AM,理由為：取AD的中點K,連接MK,IM為菱形的中心，即M為DB中點，.KM為三角形ABD的中位線，.\KM=JAB,,?,菱形ABCD,M為菱形的中心，.??AM平分/BAD,BM平分NABC,又?「NCBA=60°,.??/BAD=120°,11.\ZBAM=ZMAP=JZBAD=60°,ZABM=JZABC=30°,???/A乂8=90°,即三角形ABM為直角三角形，1.\AM=JAB,.KM二AM,又/MAP=60°,.△AKM為等邊三角形，.\KM=AM=AK,ZMKA=ZKME=60°,.\ZMKE=ZMAF=60°,圖3.\ZKME+ZEMA=60°,ZEMA+ZAMF=60°,圖3.\ZKME=ZAMF,^KME="MF*KM=AM在^KME和^AMF中，? 卜，/.△KME^AAMF(ASA),.\KE=AF,則AM二AK=AE+KE=AE+AF.故答案為：AM=AE+AF；(3)\?菱形ABCD的邊長為4,AAB=BC,又NABC=60°,/.△ABC為等邊三角形，.\AC=AB=BC=4,又M為AC中點，1.??AM=￡aC=2,又AE=1,由(2)得出的結(jié)論AM=AE+AF,可得AF=1,=AV?^MAE=MAF在AAME和^AMF中，,./△AME^AMF(SAS),...△AME與^AMF的面積相等，過M作MH，AD,連接AM,???四邊形ABCD是菱形，..AM±BD,在Rt^ADM中，AD=4,AM=2,根據(jù)勾股定理得：DM=2二:，在Rt^DMH中，NMDH=30°,1?.mh=jdm=E2,1亞..?====皿?皿=二.

如圖，正方形ABCD的邊長為6.以直線AB為x軸、AD為y軸建立坐標(biāo)系，菱形EFGH的三個頂點H、E、G分別在正方形ABCD邊DA、AB、CD上，已知AH=2。(1)如圖甲，當(dāng)點F在邊BC上時，求點F的坐標(biāo)；(2)設(shè)DG=x,請在圖乙中探索：用含x的代數(shù)式表示點F的坐標(biāo)；(3)設(shè)點F的橫坐標(biāo)為m.問：m有無最大值和最小值？若有，請求出；若無，請直接作否定的判斷，不必說明理由。.*.DG=EM=x,FM=DH=4,??.在RSEFM中,

??.在Rt^AEH中，/.Mf=