數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》專題訓(xùn)練

九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》專題訓(xùn)練（附答案）1．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P為AE的中點(diǎn)，連接DP．（1）如圖1，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關(guān)系；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD落在圖2所示的位置時(shí)，點(diǎn)C，D，P恰好在同一條直線上．①在圖2中，按要求補(bǔ)全圖形，并證明∠BAE＝∠ACP；②連接BD，交AE于點(diǎn)F．判斷線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．如圖，等邊三角形ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，將CD平移到BE（其中點(diǎn)B和C對(duì)應(yīng)），連接AE．將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAF，延長(zhǎng)AF交BE于點(diǎn)G．（1）連接DF，求證：△BDF是等邊三角形；（2）求證：D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線；（3）當(dāng)BG＝2EG時(shí)，求tan∠AEB的值．3．如圖1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AE于點(diǎn)C，在BC上截取CD＝CE，連接AD、DE，并延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)P；（1）求證：AD＝BE；（2）試說(shuō)明AD⊥BE；（3）如圖2，將△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說(shuō)明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫(huà)出△A1B1C1向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A2B2C2；（3）如果點(diǎn)M（a，b）是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)上述兩次變換后，在△A2B2C2內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M2的坐標(biāo)是；（4）在y軸上存在一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．【問(wèn)題背景】如圖1，點(diǎn)P是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠ABC＝60°，PA＝1，PB＝2，PC＝，求∠APB的度數(shù)．小明通過(guò)分析，思考，形成如下思路：思路一：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP'A，連接PP'，從而求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'B，連接PP'，從而求出∠APB的度數(shù)．請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過(guò)程．【類比探究】如圖2，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝4，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．6．如圖，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，∠EAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F．AG⊥EF于點(diǎn)G．（1）當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BE＝DF時(shí)，請(qǐng)你寫出線段AG與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BE≠DF時(shí)，問(wèn)（1）中線段AG與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明，若不成立，說(shuō)明理由．7．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）如圖1，直接寫出線段BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，上題結(jié)論是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)寫出新的結(jié)論；若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；8．一節(jié)數(shù)學(xué)課上，張老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？（1）小明通過(guò)觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過(guò)程．（2）如圖2，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P不與A、C重合時(shí)，連結(jié)PD，以直線PD為對(duì)稱軸作△APD的軸對(duì)稱圖形△PED，連結(jié)AE，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段AB的長(zhǎng)為．（2）當(dāng)直線AE與BC垂直時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)△ADE是鈍角三角形時(shí)，求t的取值范圍．10．如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE，連接BE，CD，點(diǎn)M，N，P分別是BE，CD，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：△PMN的形狀是．（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖②的位置，△PMN的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AB＝3，AD＝1，請(qǐng)直接寫出△PMN周長(zhǎng)的最大值．11．已知正方形ABCD，將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段BE，連接EA，EC．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分∠ABC，AB＝4，則∠AEC＝°，四邊形ABCE的面積為；（2）當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時(shí)，①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；②作∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．如圖，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，試回答下列問(wèn)題：（1）若把三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)AB∥MN時(shí)，∠2＝度；（2）在三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蚶^續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．如圖，在△ABC中，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當(dāng)射線DP交AB于點(diǎn)G，射線DQ交BC于點(diǎn)N時(shí)，連接FE并延長(zhǎng)交射線DP于點(diǎn)M，判斷FN與EM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求DN的長(zhǎng)．14．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E．作直線BE交射線AD于點(diǎn)F．連接CF．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，補(bǔ)全圖形，求∠AFB的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（2）如果∠α＝60°，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，用等式表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出線段AF、BF、CF之間的數(shù)量關(guān)系．15．旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中一種重要的思想方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問(wèn)題．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．（1）如圖a，當(dāng)α＝60°時(shí)，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置，連結(jié)DF．①∠DAF＝；②求證：DF＝DE；（2）如圖b，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為射線BD與CE的交點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CE上時(shí)，求證：BD＝CD+AD；（2）若AB＝2，AD＝1，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，求PC的長(zhǎng)；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)四邊形ADPE為正方形時(shí)，直接寫出線段PB長(zhǎng)度的值．17．如圖，△ABC與△ACD為正三角形，點(diǎn)O為射線CA上的動(dòng)點(diǎn)，作射線OM與射線BC相交于點(diǎn)E，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到射線ON，射線ON與射線CD相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上，求證：△OEC≌△OFD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，E，F(xiàn)分別在線段BC的延長(zhǎng)線和線段CD的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)證明：OC+CE＝CF；（3）點(diǎn)O在線段AC上，若AB＝6，BO＝2，當(dāng)CF＝1時(shí)，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)．18．綜合與探究我們經(jīng)常會(huì)遇到三角形中的“折疊”問(wèn)題，在解答這種問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)考慮到折疊前與折疊后的圖形全等，并利用全等圖形的性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等來(lái)研究解決數(shù)學(xué)中的“折疊”問(wèn)題，每個(gè)小組剪了一些如圖1所示的Rt△ABC紙片（∠B＝90°，AB＝6，BC＝8）并進(jìn)行探究：（1）如圖2，“奮斗”小組將Rt△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外部的C'處．①若∠1＝40°，∠C＝37°，則∠2的度數(shù)為．②∠1，∠2，∠C之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖3，“勤奮”小組將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，求BD的長(zhǎng)；（3）如圖4，“雄鷹”小組將△ABC沿AD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接CE，當(dāng)△CDE為直角三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．19．【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接BD，CE交于點(diǎn)F．①的值為；②∠BFC的度數(shù)為°；【類比探究】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，連接CE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．計(jì)算的值及∠BFC的度數(shù)；【實(shí)際應(yīng)用】在（2）的條件下，將△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，CE，BD所在直線交于點(diǎn)F，若AE＝1，AC＝，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí)BD的長(zhǎng)．20．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC上時(shí)，探究BD2、DC2與AD2之間的數(shù)量關(guān)系，我們可以把△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACE，根據(jù)圖形，請(qǐng)你通過(guò)探究直接寫出BD2、DC2與AD2之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，將△ABD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCE，若D、E、C三點(diǎn)在一直線上，求∠ADB的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，已知∠BAC＝∠BDA＝120°，DC＝10，AD＝2，求BD的長(zhǎng)．參考答案1．解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P為AE的中點(diǎn)，∴DP⊥AE；（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示；證明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＝45°，AD＝ED，∵P為AE的中點(diǎn)，∴∠ADP＝∠EDP＝45°，∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，∴∠BAE＝∠ACP；②BF＝DF．證明：如圖3，延長(zhǎng)CP至G，使PG＝DP連接AG，BG，∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝DE，∠DAE＝45°，∵P為AE的中點(diǎn)，∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，∠ADP＝45°，∴△APG≌△APD（SAS），∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，∴∠GAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠CAD，∵AG＝AD，AB＝AC，∴△BAG≌△CAD（SAS），∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，∴∠BGC＝∠APG，∴PF∥BG，∴＝＝1，∴BF＝DF．2．證明：（1）連接DF，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAF，∴∠FBD＝∠ABC＝60°，BF＝BD，∴△BDF是等邊三角形，（2）連接DE，如圖，∵△BDF是等邊三角形，∴∠BDF＝60°，∵CD平移得到BE，（其中點(diǎn)B和C對(duì)應(yīng)），∴DE∥BC，DE＝BC，∴∠BDE＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF，∴點(diǎn)F在DE上，即D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，解：（3）延長(zhǎng)AG，CB交于點(diǎn)H，如圖，∵EF∥BC，∴∠GEF＝∠GBH，∠GFE＝∠GHB，∴△GEF∽△GBH，∴．∵BG＝2EG，∴BH＝2EF，∵ED＝BC＝AB，DF＝BD，∴EF＝AD，設(shè)AB＝a，BD＝b，∴EF＝AD＝a﹣b，∴BH＝2a﹣2b．∵DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴，即，解得a1＝2b，＜b（舍去），∴AB＝2b，即D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，∴，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠CDB＝90°，在Rt△ABE中，．3．解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∴AD⊥BE．（3）AD⊥BE不發(fā)生變化．理由：如圖（2），∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．4．解：（1）△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1見(jiàn)下圖；（2）△A1B1C1沿x軸向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A2B2C2見(jiàn)上圖；（3）關(guān)于x軸的對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，沿x軸向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度則橫坐標(biāo)增加4，∴AC上有一點(diǎn)M（a，b）經(jīng)過(guò)上述兩次變換，對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)M2的坐標(biāo)是（a+4，﹣b），故答案為：（a+4，﹣b）；（4）如下圖：若使PA+PB的值最小，作A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，與y軸交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，∵A（﹣3，5），∴A′（3，5），又B（﹣2，1），∴A′B的解析式為：y＝x+，令x＝0得y＝，∴P（0，），故答案為：（0，）．5．【問(wèn)題背景】解：思路一：如圖1，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP'A，連接PP'，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝60°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝，∴△BPP'是等邊三角形，∴∠BPP'＝60°，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+4＝5，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+60°＝150°．【類比探究】將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝4，∴AP2+PP'2＝16+2＝18，∵AP'2＝（3）2＝18，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．6．解；（1）結(jié)論AG＝AB．理由：如圖①中，∵AB＝AD，∠B＝∠D，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∵AG⊥EF，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠EAG＝22.5°，∵AE＝AE，∠B＝∠AGE＝90°，∴△ABE≌△AGE（ASA），∴AB＝AG．故答案為AG＝AB．（2）成立．證明：如圖②中，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF．∵AB＝AD，BM＝DF，∠ABM＝∠D＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAE+∠BAM＝45°，即∠EAM＝∠EAF，又AE＝AE，AM＝AF，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴，∴AB＝AG．7．解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延長(zhǎng)BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）結(jié)論不發(fā)生變化，理由是：設(shè)AC與DE相交于點(diǎn)O，∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC．8．解：（1）思路一，如圖1，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'A，連接PP'，則△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP′＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二，將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△P′CB，連接PP′，∴P'B＝PB＝2，P'C＝AP＝1，∠P'BP＝90°，∠APB＝∠BP'C，∴∠BP'P＝45°，P'P＝＝＝2，∵PC＝3，P'C＝1，∴P'C2+PP'2＝PC2，∴∠PP'C＝90°，∴∠BP'C＝∠BP'P+∠PP'C＝45°+90°＝135°，∴∠APB＝∠BP'C＝135°；（2）如圖3，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'A，連接PP'．則△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝，∴AP2+P'P2＝5+2＝7，又∵＝7，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．9．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，故答案為：10；（2）當(dāng)直線AE與BC垂直時(shí)，如圖，∵AE⊥BC，DP⊥AE，∴DP∥BC，∵D為AB的中點(diǎn)，∴P為AC的中點(diǎn)，∴AP＝3，∴3t＝3，∴t＝1；（3）如圖，∵以直線PD為對(duì)稱軸作△APD的軸對(duì)稱圖形△PED，∴△ADE為等腰三角形，且AD＝DE，則△ADE是鈍角三角形時(shí)，只能是∠ADE為鈍角當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，則∠ADP＝∠PDE＝45°，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，則PF＝DF，∵sinA＝，∴，∴PF＝，∵cosA＝，∴，∴AF＝t，∵AD＝AF+DF＝5，∴＝5，∴t＝，故當(dāng)t＞時(shí)，△ADE是鈍角三角形，但P在AC上，不與A，C重合，故P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＜＝2（秒），即s＜t＜2s．10．解：（1）如圖1，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝CE，∵點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、BC的中點(diǎn)．∴PM∥CE，PM＝CE，PN∥AD，PN＝BD，∴PM＝PN，∠BPM＝∠BCA＝60°，∠CPN＝∠CBA＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN為等邊三角形；故答案為：等邊三角形；（2）△PMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形．理由如下：連接CE、BD，如圖2，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到△CAE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，與（1）一樣可得PM∥CE，PM＝CE，PN∥AD，PN＝BD，∴PM＝PN，∠BPM＝∠BCE，∠CPN＝∠CBD，∴∠BPM+∠CPN＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN為等邊三角形．（3）∵PN＝BD，∴當(dāng)BD的值最大時(shí)，PN的值最大，∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、A、D共線時(shí)取等號(hào)），∴BD的最大值為1+3＝4，∴PN的最大值為2，∴△PMN的周長(zhǎng)的最大值為6．11．解：（1）∵將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段BE，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB＝∠CEB，∴∠AEC＝∠AEB+∠CEB＝180°﹣45°＝135°；過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，如圖1，∵AB＝4，∴AF＝AB＝2，∴S△ABE＝BE?AF＝＝4，∴四邊形ABCE的面積＝2S△ABE＝8，故答案為：135°，8；（2）①補(bǔ)全圖形如圖2，∵將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段BE，∴BE＝BA＝BC，∠ABC＝90°，∠ABE＝α，∴∠BEA＝∠BAE＝90°﹣，∠BEC＝∠BCE＝45°﹣，∴∠AEC＝∠BEA﹣∠BEC＝45°；②FB＝2FC﹣AE．證明：過(guò)點(diǎn)B作BH∥EC交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖3，∵BE＝BC，BF平分∠EBC，∴BF垂直平分EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE，由①知，∠AEC＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴∠GFC＝45°，∵BH∥EC，∵∠FBH＝∠FGC＝90°，∠H＝∠FCG＝45°，∴BF＝BH?tan45°＝BH，F(xiàn)H＝FB，∵∠ABF＝90°﹣∠FBC，∠CBH＝90°﹣∠FBC，∴∠ABF＝∠CBH，∵AB＝CB，∴△ABF≌△CBH（SAS），∴AF＝CH，∵FH＝FC+CH＝FC+AF＝FC+FE﹣AE＝2CF﹣AE，∴FB＝2FC﹣AE．12．解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案為45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．13．（1）證明：如圖1，連接AF，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，∴，AF⊥BC，∴，∴；（2）解：，理由如下：連接AF，如圖2，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)，∴，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵將∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如圖，連接AF，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，，∴，∵，∴，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴，Rt△GED中，，Rt△AGD中，，∴，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴，∴，∵△DNF∽△DME，∴，∴．14．解：（1）補(bǔ)全圖形如下，連接AE，CE，∵點(diǎn)E為點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，設(shè)∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABCα．∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α，∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝x+α，∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；（2）①AF＝BF+CF．延長(zhǎng)FB至點(diǎn)G，使FG＝FA，連接AG，∵AB＝AC，∴∠ABC＝α＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∠BAC＝60°，由（1）知∠AFB＝α＝60°，∴△AFG為等邊三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAB＝∠FAC，在△ABG和△ACF中，，∴△ABG≌△ACF（SAS），∴BG＝CF，∴CF+BF＝BG+BF＝GF，∵GF＝AF，∴AF＝BF+CF；②結(jié)論為：CF＝AF+BF．連接AE．∵點(diǎn)E為點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，設(shè)∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC＝AE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠DAB＝x﹣60°，∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x，∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，在BE上取點(diǎn)G，使得FG＝FA，連接AG，∴△AFG為等邊三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，在△AGE與△AFB中，，∴△AGE≌△AFB（SAS），∴BF＝EG，∴EF＝EG+FG＝BF+AF，∴CF＝EF＝BF+AF．15．（1）①解：由旋轉(zhuǎn)知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，故答案為：30°；②證明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，∵AB＝AC，∴△DAF≌△DAE（SAS），∴DF＝DE；（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：如圖，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置，連結(jié)DF，∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°，∴∠DBF＝90°，根據(jù)勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，∴DF2＝BD2+CE2，同（1）②的方法得，DF＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．16．（1）證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BD＝CD+DE，又∵△ADE是等腰直角三角形，∴ED＝AD，∴BD＝CD+AD；（2）解：①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ADB＝∠PDC，∴△ABD∽△PCD，∴，又∵AB＝2，AD＝1，∠BAC＝90°，∴CD＝AC﹣AD＝AB﹣AD＝1，BD＝＝，∴，∴PC＝；②當(dāng)四邊形ADPE為正方形時(shí)，點(diǎn)P在線段BD上，∵∠ADB＝90°，AD＝1，AB＝2，∴BD＝＝＝，∴PB＝﹣1；如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理PB＝BD+PD＝+1．綜上所述可得PB的長(zhǎng)為+1或﹣1．17．（1）證明：∵△ABC與△ACD為正三角形，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，∵將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，AE＝AF，在△AEC與△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（SAS），（2）CE+CO＝CF，如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH∥BC，交CF于H，∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，∴△COH是等邊三角形，∴OC＝CH＝OH，∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC，在△OHF與△OCE中，，∴△OHF≌△OCE（ASA），∴CE＝FH，∵CF＝CH+FH，∴CF＝CO+CE；（3）作BH⊥AC于H，∵AB＝6，AH＝CH＝3，∴BH＝AH＝3，當(dāng)點(diǎn)O在線段AH上，點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，∵OB＝2，∴OH＝＝1，∴OC＝3+1＝4，過(guò)點(diǎn)O作ON∥AB，交BC于N，∴△ONC是等邊三角形，∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF，∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC＝∠OCF，在△ONE與△OCF中，，∴△ONE≌△OCF（ASA），∴CF＝NE，∴CO＝CE+CF，∵OC＝4，CF＝1，∴CE＝3，∴BE＝6﹣3＝3，當(dāng)點(diǎn)O在線段CH上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，同法可證：OC＝CE+CF，∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，∴CE＝1，∴BE＝6﹣1＝5，綜上所述，滿足條件的BE的值為：3或5．18．解：（1）①由折疊性質(zhì)可得∠C＝∠C′＝3