初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章勾股定理單元復(fù)習(xí) 獲獎作品

《第17章勾股定理》一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．一直角三角形的斜邊長比一直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為（）A．4 B．8 C．10 D．122．小豐的媽媽買了一部29英寸（74cm）的電視機(jī)，下列對29英寸的說法中正確的是（）A．小豐認(rèn)為指的是屏幕的長度B．小豐的媽媽認(rèn)為指的是屏幕的寬度C．小豐的爸爸認(rèn)為指的是屏幕的周長D．售貨員認(rèn)為指的是屏幕對角線的長度3．如圖中字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．644．將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形5．一直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．適合下列條件的△ABC中，直角三角形的個數(shù)為（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形8．直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，這個三角形有一個銳角是（）A．15° B．30° C．45° D．60°9．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．10．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）11．利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個十分著名的定理，這個定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是．12．如圖，等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，則腰長AB的長為．13．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為m．14．小華和小紅都從同一點O出發(fā)，小華向北走了9米到A點，小紅向東走了12米到了B點，則AB為米．15．一個三角形三邊滿足（a+b）2﹣c2=2ab，則這個三角形是三角形．16．木工做一個長方形桌面，量得桌面的長為60cm，寬為32cm，對角線為68cm，這個桌面（填”合格”或”不合格”）．17．直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長為13cm，則它的面積為cm2．18．如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是．三、解答題（共46分）19．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米（先畫出示意圖，然后再求解）．20．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．21．小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，已知其面積為48m2，其對角線長為10m22．如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？四、創(chuàng)新探索題23．一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？已知長方體的長2cm、寬為1cm、高為4cm．

《第17章勾股定理》參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．一直角三角形的斜邊長比一直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為（）A．4 B．8 C．10 D．12【考點】勾股定理．【分析】設(shè)斜邊長為x，則一直角邊長為x﹣2，再根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【解答】解：設(shè)斜邊長為x，則一直角邊長為x﹣2，根據(jù)勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故選C．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．2．小豐的媽媽買了一部29英寸（74cm）的電視機(jī)，下列對29英寸的說法中正確的是（）A．小豐認(rèn)為指的是屏幕的長度B．小豐的媽媽認(rèn)為指的是屏幕的寬度C．小豐的爸爸認(rèn)為指的是屏幕的周長D．售貨員認(rèn)為指的是屏幕對角線的長度【考點】勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)電視機(jī)的習(xí)慣表示方法解答．【解答】解：根據(jù)29英寸指的是熒屏對角線的長度可知售貨員的說法是正確的．故選D．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時了解一個常識：通常所說的電視機(jī)的英寸指的是熒屏對角線的長度．3．如圖中字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．64【考點】勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義解答．【解答】解：根據(jù)勾股定理以及正方形的面積公式知：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，所以A=289﹣225=64．故選D．【點評】能夠運用勾股定理發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．運用結(jié)論可以迅速解題，節(jié)省時間．4．將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的三角形相似，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求解．【解答】解：將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形與原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故選C．【點評】本題主要考查相似三角形的判定以及性質(zhì)．5．一直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm【考點】勾股定理．【分析】設(shè)另一條直角邊是a，斜邊是c．根據(jù)另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程組，即可求解．【解答】解：設(shè)另一條直角邊是a，斜邊是c．根據(jù)題意，得，聯(lián)立解方程組，得．故選D．【點評】注意根據(jù)已知條件結(jié)合勾股定理列方程求解．解方程組的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再聯(lián)立解方程組．6．適合下列條件的△ABC中，直角三角形的個數(shù)為（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．【分析】計算出三角形的角利用定義判定或在知道邊的情況下利用勾股定理的逆定理判定則可．【解答】解：①，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成為直角三角形的必要條件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°則第三個角度數(shù)是90°，故是；④72+242=252，根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故選A．【點評】本題考查了直角三角形的定義和勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．7．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【考點】勾股定理的逆定理；完全平方公式．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形為直角三角形，故選D．【點評】本題利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．8．直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，這個三角形有一個銳角是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考點】勾股定理．【分析】根據(jù)斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，以及勾股定理可以列出兩個關(guān)系式，直接解答即可．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊是a、b，斜邊是c．根據(jù)斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍得到：2ab=c2，根據(jù)勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，則這個三角形是等腰直角三角形，因而這個三角形的銳角是45°．故選C．【點評】已知直角三角形的邊長問題，不要忘記三邊的長，滿足勾股定理．9．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根據(jù)勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面積為3×4÷2=6．故選C．【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．10．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里【考點】勾股定理的應(yīng)用；方向角．【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，得兩條船分別走了32，24．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC=90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2=32海里，12×2=24海里，根據(jù)勾股定理得：=40（海里）．故選D．【點評】熟練運用勾股定理進(jìn)行計算，基礎(chǔ)知識，比較簡單．二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）11．利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個十分著名的定理，這個定理稱為勾股定理，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是a2+b2=c2．【考點】勾股定理的證明．【專題】證明題．【分析】通過圖中三角形面積、正方形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．【解答】解：用圖（2）較簡單，如圖正方形的面積=（a+b）2，用三角形的面積與邊長為c的正方形的面積表示為4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化簡得a2+b2=c2．這個定理稱為勾股定理．故答案為：勾股定理、a2+b2=c2．【點評】本題是用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．12．如圖，等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，則腰長AB的長為10．【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得BD=8，再根據(jù)勾股定理即可求出AB的長．【解答】解：∵等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，∴BD=8，AB===10．【點評】注意等腰三角形的三線合一，熟練運用勾股定理．13．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達(dá)點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為480m．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運用勾股定理求得AB===480米．【點評】考查了勾股定理的應(yīng)用，是實際問題但比較簡單．14．小華和小紅都從同一點O出發(fā)，小華向北走了9米到A點，小紅向東走了12米到了B點，則AB為15米．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：如圖，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，根據(jù)勾股定理得AB====15m．【點評】本題很簡單，只要根據(jù)題意畫出圖形即可解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．15．一個三角形三邊滿足（a+b）2﹣c2=2ab，則這個三角形是直角三角形．【考點】勾股定理的逆定理．【分析】化簡等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，進(jìn)而可得其為直角三角形．【解答】解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，則這個三角形為直角三角形．故答案為：直角．【點評】考查了勾股定理逆定理的運用，是基礎(chǔ)知識比較簡單．16．木工做一個長方形桌面，量得桌面的長為60cm，寬為32cm，對角線為68cm，這個桌面合格（填”合格”或”不合格”）．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【分析】只要算出桌面的長為60cm，寬為32cm，對角線為68cm是否符合勾股定理即可，根據(jù)勾股定理直接解答．【解答】解：==68cm，故這個桌面合格．【點評】本題考查的是勾股定理在實際中的應(yīng)用，需要同學(xué)們結(jié)合實際掌握勾股定理．17．直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長為13cm，則它的面積為30cm2【考點】勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理求得其另一直角邊的長，再根據(jù)面積公式即可求得其面積．【解答】解：∵直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長為13cm，∴另一直角邊==5cm，∴面積=×5×12=30cm2．【點評】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得另一直角邊的長．18．如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是25．【考點】平面展開﹣最短路徑問題．【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答．【解答】解：如圖所示，∵三級臺階平面展開圖為長方形，長為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案為25．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．三、解答題（共46分）19．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米（先畫出示意圖，然后再求解）．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如圖所示，過D點作DE⊥AB，垂足為E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（負(fù)值舍去）答：小鳥飛行的最短路程為13m．【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．【考點】勾股定理．【分析】∵AD⊥BC于D，∴可得到兩個直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD長，進(jìn)而求得AC2的值．【解答】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．【點評】本題需注意最后求的是AC2，所以在計算過程中都保持線段的平方即可．21．小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，已知其面積為48m2，其對角線長為10m【考點】勾股定理的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；矩形的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)矩形的面積公式得到長與寬的積，再根據(jù)勾股定理得到長與寬的平方和．聯(lián)立解方程組求得長與寬的和可．【解答】解：設(shè)矩形的長是a，寬是b，根據(jù)題意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周長是14×2=28m．【點評】注意根據(jù)題意結(jié)合勾股定理聯(lián)立解方程組，只需求得長與寬的和即可．22．如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】（1）點到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點向BF作垂線，垂足為C，若AC＞200則A城不受影響，否則受影響；（2）點A到直線BF的長為200千米的點有兩點，分別設(shè)為D、G，則△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，則C是DG的中點，在Rt△AD