第四節(jié)：冪級(jí)數(shù)

第四節(jié)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念稱為定義在U上的（函數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，（1）簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。（2）對(duì)于每一個(gè)確定的（2）即為一常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?？紤]區(qū)間U上的一個(gè)函數(shù)序列代入（1）式得（1）（2）對(duì)于每一個(gè)確定的代入（1）式得若（2）收斂，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的收斂點(diǎn)，若（2）發(fā)散，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的全體稱為（1）的收斂域，記為散點(diǎn)的全體稱為（1）的發(fā)散域，記為所有發(fā)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，其和記為（1）所有收斂點(diǎn)的全體稱為（1）的收斂域，記為散點(diǎn)的全體稱為（1）的發(fā)散域，記為所有發(fā)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，其和記為即稱s(x)為（1）的和函數(shù)，和函數(shù)的定義域即為I。兩個(gè)基本問題：（1）如何確定（1）的收斂域？（2）如何在收斂域上求（1）的和函數(shù)？二、冪級(jí)數(shù)及收斂性（1）當(dāng)（2）在變量代換的冪級(jí)數(shù)，時(shí)，上述冪級(jí)數(shù)成為下，（1）就化為（2）了形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為（2）對(duì)于冪級(jí)數(shù)（2），（1）如何確定它的收斂域

I；（2）在收斂域內(nèi)，如何求它的和函數(shù)

s(x)。主要有兩個(gè)問題:考察冪級(jí)數(shù)這是公比為x的幾何級(jí)數(shù)，（1）當(dāng)|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，（2）當(dāng)|x|1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，（1）所以（1）的收斂域?yàn)椋?）的發(fā)散域?yàn)樵谑諗坑騼?nèi)，（1）的和函數(shù)為即（1）的收斂域是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間。又例：解：將該冪級(jí)數(shù)看成參數(shù)為x的任意項(xiàng)常數(shù)級(jí)數(shù)，并用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法進(jìn)行判別。結(jié)論：當(dāng)|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)|x|>1時(shí)發(fā)散當(dāng)x=–1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)x=1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。特點(diǎn)：除去端點(diǎn)–1外，收斂域I是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間。收斂域?yàn)槭諗坑虻纳鲜鎏攸c(diǎn)對(duì)一般的冪級(jí)數(shù)也成立的。定理1（阿貝爾定理）：如果級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)，反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)則當(dāng)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散，時(shí)，則當(dāng)冪級(jí)數(shù)發(fā)散。定理1的幾何解釋：（1）冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)都集中在以原點(diǎn)為中心的左右兩側(cè)。（2）推論：如果級(jí)數(shù)使得（1）當(dāng)|x|<R時(shí)，不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必有一個(gè)確定的正數(shù)R

絕對(duì)收斂，（2）當(dāng)|x|>R時(shí)，發(fā)散，（3）當(dāng)x=

R時(shí)，可能收斂，也可能發(fā)散稱上述R為收斂區(qū)間的收斂半徑，為收斂區(qū)間+收斂的端點(diǎn)規(guī)定：僅在x=0處收斂，則（2）若在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則=收斂域（1）若問題：如何求的收斂半徑？定理2：考慮冪級(jí)數(shù)如果其中，是級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則求冪級(jí)數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑R

處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。及收斂區(qū)間例1：當(dāng)x=–1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)且收斂

，所以，所求收斂域?yàn)椋喊l(fā)散解：例2：求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：例3：求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：t=–1，交錯(cuò)級(jí)數(shù)且收斂，t=1，調(diào)和級(jí)數(shù)且發(fā)散例4：求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：當(dāng)x=2時(shí)，原級(jí)數(shù)成為發(fā)散，故×理由：原級(jí)數(shù)中缺少偶數(shù)次冪的項(xiàng)：所以R=2，實(shí)際上解：因原級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，定理2不能直接應(yīng)用。此時(shí)要用任意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法來求例4：求冪級(jí)數(shù)的收斂域當(dāng)即當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂時(shí)，時(shí)，發(fā)散，時(shí)，解：例4：求冪級(jí)數(shù)的收斂域當(dāng)即當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂時(shí)，時(shí)，發(fā)散，時(shí)，當(dāng)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)闀r(shí)，原級(jí)數(shù)成為解：例5：求冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng)，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵?jí)數(shù)成為也可先作變量替換：可按例4的方法處理這是關(guān)于t的冪級(jí)數(shù)，且沒有缺項(xiàng)可直接用定理2求收斂半徑和收斂域：（二）冪級(jí)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1：如果兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為則有且收斂半徑R滿足：性質(zhì)2：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù)；例如：收斂域?yàn)椋汗势浜秃瘮?shù)s(x)在上連續(xù)性質(zhì)3：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：級(jí)數(shù)成為發(fā)散所以收斂域?yàn)槔?：求的收斂域及和函數(shù)，的和。設(shè)冪級(jí)數(shù)在I上的和函數(shù)為s(x),則例1：求并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。例1：求并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。例1：求并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。性質(zhì)4：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。例2：求的和函數(shù)解