第2章應(yīng)變分析(修改)

第二章應(yīng)變分析第一節(jié)一點的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變與位移的關(guān)系第二節(jié)應(yīng)變狀態(tài)分析第三節(jié)主應(yīng)變第四節(jié)應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量第五節(jié)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）

（Equationsofcompatibility）2/2/20231第二章應(yīng)變分析在靜力學理論中，通常假定物體是剛性的，即在力的作用下，構(gòu)成該物體質(zhì)點之間的距離保持不變。前章建立平衡條件時，就忽略了固體變形，即假定固體是剛體。實際上剛體是不存在，所有物體在某種程度上都是可以變形的，也即是說，在力的作用下，實際物體質(zhì)點之間的距離總是要發(fā)生變化的。一個物體是否可以被假定為剛體，關(guān)鍵在于剛體假定的有效范圍。本章從幾何學的觀點出發(fā)分析研究物體的變形。反映物體變形規(guī)律的數(shù)學方程也有兩類，即幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于這兩類方程都是基于物體連續(xù)性的假定從幾何學出發(fā)得到的，并不涉及產(chǎn)生變形的原因和物體的材料性質(zhì)，所以它們均屬于“普適方程”。2/2/20232第二章應(yīng)變分析前面討論了受力物體的應(yīng)力，現(xiàn)在開始討論物體的變形。在外力作用下，物體各點的位置要發(fā)生改變，即發(fā)生位移。如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產(chǎn)生了剛體移動和轉(zhuǎn)動，將這種位移稱為剛體位移。如果物體各點發(fā)生位移后改變了各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體就同時產(chǎn)生了形狀的變化，統(tǒng)稱該物體產(chǎn)生了變形。（書圖2－1）2/2/20233第二章應(yīng)變分析第一節(jié)

一點的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變與位移的關(guān)系

為了確定正應(yīng)變的定義，在一受拉桿上有線段AB，在變形后，變?yōu)椋ㄒ娪覉D）。若線段AB的長度為，變形后的A點的物體不論是發(fā)生空間的剛體運動或?qū)嵭螤畹淖兓?，終歸體現(xiàn)為物體內(nèi)部每一點產(chǎn)生位移；因而，只要確定了物體內(nèi)各點的位移，物體的變形狀態(tài)也就確定了。因此研究物體內(nèi)一點的變形是很重要的。2/2/20234第二章應(yīng)變分析下面我們討論一般情況，給出應(yīng)變的概念。設(shè)在直角坐標系中，變形前A點的坐標是（x，y，z），變形后的坐標是（x+u，y+v，z+w），這里u，v，w是A點的位移在x，y，z三軸上的投影，它們都是坐標x，y，z的連續(xù)函數(shù)，而且位移的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。定義：正應(yīng)變（2－1）顯然，如果變形的分布是均勻的，則有:即：材料力學的拉伸應(yīng)變。（2－2）位移是u，而B點的位移是u+u，則線段增加了u。2/2/20235第二章應(yīng)變分析

設(shè)由變形體中取出一個微小六面體（見書中圖2－3變形體的投影），在研究微小六面體的變形時，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標系的各個坐標平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來判斷整個平行六面體的變形。由于變形很微小，所以可以認為兩個平行面在坐標面上的投影只相差高階的微量，因而，兩個平行面的投影可以合并為一個投影面。2/2/20236第二章應(yīng)變分析首先，研究平行六面體在xoz面上的投影ABCD（見書中圖2－4）。在變形前六面體A點的坐標為（x，y，z），在六面體變形時，投影上的A點移到了點，同時而整個ABCD移到。設(shè)A點的位移是u，w，它們是坐標的函數(shù)，因此有：

（2－3）

2/2/20237第二章應(yīng)變分析而B點的坐標為（x+dx，y，z），因此B點在x方向的位移為：

根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，可得：

略去高階項后得到：（2－4）

由于則AB在x軸上的投影的伸長量為，則有：

2/2/20238第二章應(yīng)變分析同理可得平行于y軸和z的邊長的正應(yīng)變，因此有：（2－5）

下面研究六面體的剪應(yīng)變，即各直角的改變。（見圖）

取變形前的直角BAC或，變形時，棱邊轉(zhuǎn)動一個角度，棱邊轉(zhuǎn)動一個角度，在xoz平面內(nèi)，角應(yīng)變用表示，其值為和之和，即：

（2－6）

若A點在z軸方向的位移為，

當大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。2/2/20239第二章應(yīng)變分析圖：位移矢量在xoz平面上的投影返回2/2/202310第二章應(yīng)變分析則B點在Z軸方向的位移為，

B點與A點沿Z軸方向的位移之差為:

在直角三角形中，可得：

在分母中（）與1相比是一個微量，故可以略去，因而得出，

2/2/202311第二章應(yīng)變分析同理可得：

所以有剪應(yīng)變：同理可得另外兩個剪應(yīng)變。即有剪應(yīng)變的表達式（2－7）

（2－7）

說明：剪應(yīng)變的正負號2/2/202312第二章應(yīng)變分析所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達式為（2－8）：（2－8）

式（2－8）稱為柯西（Cauchy）幾何關(guān)系。[式(2－8)的提出者：法國工業(yè)學院的數(shù)學教授柯西（Cauchy）(1789－1857)，于1822年發(fā)表的論文提出的]注意：書中P48給出了幫助記憶的圖形（圖2－5）?？芍喝绻阎灰品至靠梢院芎唵蔚那蟪鰬?yīng)變分量；反之，則問題比較復(fù)雜。2/2/202313第二章應(yīng)變分析利用類似的方法，可以導(dǎo)出柱坐標表示的幾何方程為式（2－9）：

（2－9）2/2/202314第二章應(yīng)變分析其中，分別表示一點位移在徑向（r方向），環(huán)向（方向）以及軸向（z方向）的分量。

對于平面問題，柱坐標變?yōu)闃O坐標，則平面極坐標表示的幾何方程為：

（2－10）

下面給出式（2－10）的推導(dǎo)過程。

2/2/202315第二章應(yīng)變分析首先假定只有徑向位移而沒有環(huán)向位移：

如圖（2－6）所示，在P點沿徑向和環(huán)向取兩個微段PA和PB，設(shè)PA移到了，位移為u；PB移到了，則P，A，B三點的位移分別為：徑向位移圖2/2/202316第二章應(yīng)變分析則PA的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

PB的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為：

所以有：

2/2/202317第二章應(yīng)變分析其次，假定只有環(huán)向位移而沒有徑向位移:

見圖2－7，由于P點的環(huán)向位移v，徑向線段PA移段到了，環(huán)向線段PB移到了，則P，A，B三點的位移分別為：

可見：徑向線段PA的正應(yīng)變?yōu)椋簣D2-7環(huán)向位移圖2/2/202318第二章應(yīng)變分析環(huán)向線段PB的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為：

2/2/202319第二章應(yīng)變分析所以剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

因此，如沿徑向和環(huán)向都有位移，則根據(jù)疊加原理可得式（2－10）。

對于軸對稱問題：，，則式（2－10）的平面極坐標幾何方程為（2－11）

（2－11）

對于球?qū)ΨQ問題：變形的幾何方程為式（2－12）

（2－12）

2/2/202320第二章應(yīng)變分析注意：書中P47對方程（2－10）的相關(guān)項進行了解釋，自己看一下。2/2/202321第二章應(yīng)變分析第二節(jié)

應(yīng)變狀態(tài)分析

現(xiàn)在已知物體內(nèi)任一點P的六個應(yīng)變分量，試求經(jīng)過該點（P點）的沿N方向的任一微小線段PN＝dr的正應(yīng)變，以及經(jīng)過P點的微小線段PN和的夾角的改變。

令PN的方向余弦為l、m、n，則PN在坐標軸上的投影為：

2/2/202322第二章應(yīng)變分析（2－13）

設(shè)P點的位移分量為u，v，w，則N點的位移分量為：略去高階項（小量）得：

同理可得：即有式（2－14）2/2/202323第二章應(yīng)變分析（2－14）

在變形后，線段PN在坐標軸上的投影為（2－15）式：即

（2－15）

2/2/202324第二章應(yīng)變分析令線段PN的正應(yīng)變?yōu)椋瑒t該線段變形后的長度為：而且有

（2－16）

上式兩邊同除以，并利用（2－13）式得：

2/2/202325第二章應(yīng)變分析因為和位移分量的導(dǎo)數(shù)都是微小的，它們的平方和乘積可以不計，可得：

利用，上式可得：

再利用幾何方程可得：

（2－17）

2/2/202326第二章應(yīng)變分析下面來求PN和的夾角的改變

設(shè)PN在變形后的方向余弦為，則由式（2－13）和式（2－15）可以得到：

注意到，都是微小量，在展開上式后，略去二階以上的微小量得：

2/2/202327第二章應(yīng)變分析同理可得出，即得出式（2－18）

（2－18）

與此類似，設(shè)線段在變形之前的方向余弦為，則其在變形后的方向余弦為：2/2/202328第二章應(yīng)變分析（2－19）

（2－20）

其中，是的正應(yīng)變。

令PN和在變形之前的夾角為，變形之后的夾角為，則有：

2/2/202329第二章應(yīng)變分析將式（2－18）和（2－19）代入，并略去高階微量可得：

利用幾何方程，并注意到，則有：（2－21）

由此可求出，進而可求得。

2/2/202330第二章應(yīng)變分析由此可見：在物體內(nèi)的任一點，如果已知六個應(yīng)變分量，就可以求出經(jīng)過該點的任一線段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過該點的任意兩線段之間的夾角的改變。這就是說，六個應(yīng)變分量完全決定了這一點的應(yīng)變狀態(tài)。

2/2/202331第二章應(yīng)變分析第三節(jié)主應(yīng)變在研究一點的應(yīng)力狀態(tài)時，可以找到三個相互垂直的沒有剪應(yīng)力作用的平面，將這些面稱為主平面，而這些平面的法線方向稱為主方向。在研究應(yīng)變問題時，同樣可以找到三個相互垂直的平面，在這些平面上沒有剪應(yīng)變，將這些面稱為應(yīng)變主平面，而這些平面的法線方向稱為應(yīng)變主方向。對應(yīng)于該主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。2/2/202332第二章應(yīng)變分析一點的應(yīng)變狀態(tài)也可以用張量表示，這時引進符號

（2－22）（書：2－13）

則應(yīng)變張量為：

（2－23）（書：2－14）

通常稱為“工程剪應(yīng)變”2/2/202333第二章應(yīng)變分析應(yīng)變張量還可以寫為：

式中的不同符號可以交換使用，這就要看在某些特定用途中哪個用起來更方便。2/2/202334第二章應(yīng)變分析下面分析如何確定主應(yīng)變：

在直角坐標系空間中取一微小線段，設(shè)A點在x方向的位移為u，則有B點在x方向的位移為：

圖2-8略去高階微量得：

顯然（或由全微分概念）有：

2/2/202335第二章應(yīng)變分析進一步可寫成式（2－24）（書：2－15）

（2－24）（書：2－15）

這里要注意的是：當一個物體從一個位置變形到另一個空間位置（圖2－9）時，其中可能包括一部分剛體位移（平動或轉(zhuǎn)動），而這部分位移不引起形變，其實式（2－24）中的和恰恰表示物體的微小剛性轉(zhuǎn)動。（下頁圖）

圖2-92/2/202336第二章應(yīng)變分析B點的三部分位移一般來說，對于可變形固體而言，與物體內(nèi)任一點A無限臨近的一點B的位移有三個部分組成：1、隨同A點的一個平動位移，如圖中的所示；2、繞A點的剛性轉(zhuǎn)動在B點所產(chǎn)生的位移，如圖中的所示；3、由于A點臨近微元體的形狀變化在B點引起的位移，如圖所示，這部分位移與應(yīng)變張量分量有關(guān)。2/2/202337第二章應(yīng)變分析因此，當考慮純變形時有：

（2－25）（書：2－16）

如果用張量表示，則為

其中，j稱為“啞標”（表示求和）。

現(xiàn)在取一微小四面體O123（圖2－10），為法線方向，設(shè)斜面123上只有正應(yīng)變（即主平面），則有：2/2/202338第二章應(yīng)變分析并且一定為要求的主應(yīng)變。

（成比例是因為與方向一致）（書：2－17）

代入式（2－25）（書：2－16）得出：（書：2－18）

（2－26）（書：2－18）

2/2/202339第二章應(yīng)變分析若上式有非零解，必須有“系數(shù)行列式為零”，可得：

（2－27）（書：2－19）

其中，為應(yīng)變第一、二、三不變量，且有：

（2－28）（書：2－20）

2/2/202340第二章應(yīng)變分析若方程式（2－27）可以因式分解，則應(yīng)有：

式中，為主應(yīng)變。用主應(yīng)變表示的應(yīng)變不變量將為：

（書：2－20）

在主應(yīng)變平面上，剪應(yīng)變?yōu)榱?。則由方程（2－27）可以求出三個主應(yīng)變。

2/2/202341第二章應(yīng)變分析增例1：已知物體中任意一點的位移分量如下式表示，試比較點A（1，2，3）與點B（0.5，-1，0）的最大伸長值（絕對值）。解：利用幾何方程求得應(yīng)變分量為：2/2/202342第二章應(yīng)變分析點A的應(yīng)變分量值為：應(yīng)變不變量為：該點的主應(yīng)變值可由下式確定，即為計算方便，令代入上式，得2/2/202343第二章應(yīng)變分析以代入上式，消去二項式，得此方程的解為：由此得A點的主應(yīng)變?yōu)椋汗庶cA的最大伸長的絕對值為可以用獲得的三個主應(yīng)變之和是否等于第一應(yīng)變不變量的值，檢驗所得結(jié)果是否正確。2/2/202344第二章應(yīng)變分析用同樣的方法可以求得點B的主應(yīng)變?yōu)椋汗庶cB的最大伸長的絕對值為由以上計算可知，點A最大伸長值大于點B的最大伸長的絕對值。2/2/202345第二章應(yīng)變分析增例2：已知物體中某點的應(yīng)變分量為：試求該點的主應(yīng)變方向。解：首先計算應(yīng)變不變量，并解三次方程，求得主應(yīng)變值為為求解主應(yīng)變方向，利用下列方程組：2/2/202346第二章應(yīng)變分析將代入上式，第一式自然滿足，其余兩個方程式為以上兩式的唯一解為。為滿足，則有。即的方向余弦為（1，0，0）。2/2/202347第二章應(yīng)變分析將代入方程組，得由第一式得。由二、三式可得。再由得，由該式求得，而。即的方向余弦為（0，0.585，0.811）。同樣可求得的方向余弦為（0，-0.811，0.585，）2/2/202348第二章應(yīng)變分析第四節(jié)

應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量

仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張量可以分解為與體積變化有關(guān)的“球形應(yīng)變張量”和與物體形狀變化有關(guān)的“應(yīng)變偏量”。利用書中（2－14）式可以分解為：

其中球形應(yīng)變張量為：

（2－30）（書：2－22）

一、應(yīng)變張量的分解2/2/202349第二章應(yīng)變分析應(yīng)變偏量可寫為：

式中，為平均正應(yīng)變。

其中，，，稱為“應(yīng)變偏量分量”?？蓪憺椋?/p>

2/2/202350第二章應(yīng)變分析（2－32）（書：2－23）2/2/202351第二章應(yīng)變分析若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，則有式（2－33）（書：2－24）（2－33）（書：2－24）

三個坐標平面為應(yīng)變主平面在主應(yīng)變?yōu)樽鴺说膽?yīng)變空間中有：由應(yīng)變偏量張量的定義式（書2-23）可見，它是一個實對稱二階張量，因此，存在三個主值及其相應(yīng)的主方向?？梢宰C明，應(yīng)變偏量張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3與應(yīng)變張量的主應(yīng)變存在如左的關(guān)系。2/2/202352第二章應(yīng)變分析注意：純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪變形的必要且充分條件是，因此，為純剪狀態(tài)且與有相同的主軸。同樣，應(yīng)變偏量增量也存在三個不變量，它們分別表示為：當用張量給出一點的應(yīng)變狀態(tài)時，需注意2/2/202353第二章應(yīng)變分析其三次方程為：二、體積應(yīng)變在考慮塑性變形時，經(jīng)常采用“體積不變”假設(shè)，這時球形應(yīng)變張量為零，應(yīng)變偏量等于應(yīng)變張量，即“應(yīng)變分量與應(yīng)變偏量的分量相等”，這一假設(shè)，對于簡化計算來了方便?，F(xiàn)在我們來研究每單位體積的體積改變，即體積應(yīng)變。

2/2/202354第二章應(yīng)變分析設(shè)有微小的正平行六面體，它的棱邊長度是：

變形前它的體積為：

變形后它的體積稱為：因此，它的體積應(yīng)變?yōu)椋?/p>

對于小應(yīng)變（忽略高階微量）有：

驗證體積不變假設(shè)的成立2/2/202355第二章應(yīng)變分析（2－34）

由此則有：顯然，若體積不變，則必有球形應(yīng)變張量為零成立，且有。在主應(yīng)變空間：

對于小應(yīng)變有：

2/2/202356第二章應(yīng)變分析1、主剪應(yīng)變（工程主剪應(yīng)變）

（2－35）（書：2－25）

三、相關(guān)結(jié)論

與應(yīng)力分析類似。在應(yīng)變分析中也有一些相應(yīng)的公式，下面給出有關(guān)結(jié)論：如果，則最大剪應(yīng)變?yōu)椋海?－36）（書：2－26）

2/2/202357第二章應(yīng)變分析（1）等傾面（或稱八面體面）的剪應(yīng)變?yōu)?，則有：

（2－37）（書：2－27）

2、八面體應(yīng)變（正應(yīng)變、剪應(yīng)變）對任意一組坐標軸x，y，z的應(yīng)變分量的八面體剪應(yīng)變可寫為：2/2/202358第二章應(yīng)變分析單向拉伸情況：可得

此時的應(yīng)變張量為：

平均應(yīng)變?yōu)?3、單向拉抻時的應(yīng)變

（2）等傾面（或稱八面體面）的正應(yīng)變?yōu)?，則有：

（三個主應(yīng)變的平均值）2/2/202359第二章應(yīng)變分析應(yīng)變偏量的分量為：

（書：2－28）

球形應(yīng)變張量為：

2/2/202360第二章應(yīng)變分析應(yīng)變偏量為：

在以主應(yīng)變?yōu)樽鴺溯S的主應(yīng)變空間內(nèi)討論。4、應(yīng)變強度（等效應(yīng)變）

（2－39）（書：2－30）當體積不可壓縮時，令，稱為應(yīng)變強度或等效應(yīng)變。

這里之所以不稱為應(yīng)變強度，而又引進符號，是因為要與應(yīng)力分析中的情況相一致。

2/2/202361第二章應(yīng)變分析5、應(yīng)變率應(yīng)變率：在變形過程中，單位時間中應(yīng)變值的增量稱為“應(yīng)變率”。即：

（2－41）（書：2－31）

根據(jù)小變形的幾何關(guān)系，可得應(yīng)變率分量：即：應(yīng)變率分量等于位移率分量對相應(yīng)坐標的偏導(dǎo)數(shù)，也等于應(yīng)變分量對時間的偏導(dǎo)數(shù)。見書中解釋。

2/2/202362第二章應(yīng)變分析（2－42）（書：2－34）

增加：關(guān)于應(yīng)變率的推導(dǎo)

在小變形的條件下，設(shè)物體內(nèi)任一點速度在坐標軸上的投影為：2/2/202363第二章應(yīng)變分析其中,此處用到“小變形”假設(shè)：即在小變形條件下，（a）物體內(nèi)各點的位置坐標因變形而有的改變可以忽略不計，即初始位置與瞬時位置坐標可以不加區(qū)別；（b）此處，還可以略去物體內(nèi)各點的位移梯度分量的影響，用對時間的偏導(dǎo)數(shù)代替全導(dǎo)數(shù)。應(yīng)變率分量用符號表示為：則有：類推得（書中2-34）式，與應(yīng)變張量相似，可得應(yīng)變率張量。2/2/202364第二章應(yīng)變分析在塑性力學中經(jīng)常使用應(yīng)變增量的概念。實驗證明，靜力學中塑性變形規(guī)律和時間因素是沒有關(guān)系的，此處dt并不代表時間，因此，用應(yīng)變增量來代替應(yīng)變率往往更能表示塑性靜力學應(yīng)變不受時間參數(shù)影響的特點。即：通常使用的不是應(yīng)變率張量，而是在時間步長或dt內(nèi)的應(yīng)變增量。應(yīng)變增量：

6、應(yīng)變增量2/2/202365第二章應(yīng)變分析有了應(yīng)變增量的概念，則可描述應(yīng)變成比例變化或不成比例變化時的規(guī)律。7、應(yīng)變強度增量

在比例變形的條件下，在應(yīng)變空間是一條直線，而當各應(yīng)變分量的變化不成比例時，在三個坐標軸互成120°角的坐標中，將是一條折線或曲線，如圖2－17（書P63）。2/2/202366第二章應(yīng)變分析如果變形過程是兩條折線組成的，則這一情況表示兩個比例變形的過程。當變形由曲線表示時，則可認為變形過程的總應(yīng)變強度等于曲線的總長度，即應(yīng)變強度不僅與初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)，而且還與應(yīng)變歷史即變形過程有關(guān)。

由圖2－17可見，應(yīng)變強度增量與應(yīng)變增量分量，和有關(guān)。（2－43）（書：2－36）

[注：的表達式中，只有簡單加載條件下才有]2/2/202367第二章應(yīng)變分析此式即為應(yīng)變強度增量的表達式，它是各應(yīng)變分量增量的函數(shù)。在塑性力學中，當應(yīng)變較大時，需采用另外一種表示應(yīng)變的方法。

8、工程應(yīng)變有一截面為而長度為的受拉構(gòu)件，在某一時刻其長度達到而截面積為，且桿件伸長量為，則應(yīng)變增量及應(yīng)變的表達方法如下：

工程應(yīng)變：假設(shè)兩質(zhì)點相距，變形后為，則有工程應(yīng)變表達式（2－44）：

2/2/202368第二章應(yīng)變分析（2－44）

對數(shù)應(yīng)變：設(shè)某瞬時的應(yīng)變增量為，積分后得到對數(shù)應(yīng)變的表達式（2－45）：

（2－45）（書：2－37）

（2－46）（書：2－38）

顯然有對數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變之間的關(guān)系為：2/2/202369第二章應(yīng)變分析截面收縮率：

（2－47）

其中A0為初始時截面面積，A為某一時刻的截面面積。

若材料為不可壓縮，則有：

（

）

或

（2－48）

不同應(yīng)變指數(shù)之間的關(guān)系見書中表2-2（P65）2/2/202370第二章應(yīng)變分析增例3：給定一點的應(yīng)變張量計算：（a）主應(yīng)變、和；（b）最大剪應(yīng)變；（c）八面體應(yīng)變和。解：（a）計算應(yīng)變不變量，求主應(yīng)變。2/2/202371第二章應(yīng)變分析特征方程變?yōu)榛蚯蟮萌齻€主應(yīng)變?yōu)?/2/202372第二章應(yīng)變分析校核：用、和的值代入三個不變量的表達式，以校核所得結(jié)果。（b）計算最大剪應(yīng)變。（c）八面體應(yīng)變和。2/2/202373第二章應(yīng)變分析增例4：一點的應(yīng)變狀態(tài)由給定的應(yīng)變張量表示確定：（a）應(yīng)變偏量張量；（b）應(yīng)變偏量不變量和；（c）單位體積的體積變化（膨脹）。2/2/202374第二章應(yīng)變分析解：（a）計算平均應(yīng)變。所以有應(yīng)變偏量張量為：（b）計算不變量。2/2/202375第二章應(yīng)變分析（c）單位體積的體積變化（膨脹）。即在該應(yīng)變張量表示的應(yīng)變狀態(tài)下，該點附近體元的體積減小。2/2/202376第二章應(yīng)變分析第五節(jié)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、

相容方程）

（Equationsofcompatibility）

在研究物體變形時，一般都取一個平行六面體進行分析，物體在變形時，各相鄰的小單元不能是互相無關(guān)的，必然是相互有聯(lián)系的，因此應(yīng)該認為是物體在變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的，連續(xù)物體應(yīng)變之間關(guān)系的數(shù)學表達式即為“應(yīng)變協(xié)調(diào)方程”。

2/2/202377第二章應(yīng)變分析（2－8）

方程組(2-8)表示的幾何方程表明，六個應(yīng)變分量是通過三個位移分量表示的，這六個應(yīng)變分量不是互不相關(guān)的，它們之間必然存在著一定的聯(lián)系。這一事實很重要，因為如果我們知道了位移分量，則容易通過(2-8)式獲得應(yīng)變分量；但是反過來，如果純粹從數(shù)學角度任意給出一組“應(yīng)變分量”,2/2/202378第二章應(yīng)變分析則幾何方程給出了包含六個方程而只有三個未知函數(shù)的偏微分方程組，由于方程的個數(shù)超過了未知函數(shù)的個數(shù)，方程組可能是矛盾的。要使這方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。下面的任務(wù)就是建立這個條件。為此，我們要設(shè)法從方程組（2-8）中消去所有的位移分量。設(shè)物體中的某一點的坐標是（x，y，z），其位移是u、v、w，應(yīng)變?yōu)椋?，若已知u、v、w，則應(yīng)變便可用位移表示；如果在表達式中消去位移u、v、w，則可得到應(yīng)變之間的關(guān)系。

2/2/202379第二章應(yīng)變分析處理方式：現(xiàn)對正應(yīng)變分別對y、x

取兩次偏微分，則有：

將以上兩式相加，可得：

這里,我們利用了位移分量具有三階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。因為，

所以有：

2/2/202380第二章應(yīng)變分析同理可得另外兩個類似的方程，故有式（2－49）（書：2－39）

（2－49）（書：2－39）

這是一組相容方程。

2/2/202381第二章應(yīng)變分析若取剪應(yīng)變的表達式：

將上式的分別對求一階偏導(dǎo)數(shù)，可得：

2/2/202382第二章應(yīng)變分析將上式中的第一式與第三式相加，然后減去第二式，則可得：再對求導(dǎo)得出：

同理可得另外兩式，即有式（2－50）（書：2－40）：

（2－50）（書：2－40）

這是又一組相容方程。

2/2/202383第二章應(yīng)變分析綜合以上（2-49、50）[書2-39、40]兩式，有：該式稱為“變形協(xié)調(diào)方程式”或“變形的協(xié)調(diào)方程”，又稱為圣維南（Saint-Venant）方程。是圣維南首次導(dǎo)出的。

(2-51)2/2/202384第二章應(yīng)變分析其實，通過上述相似的變化，可以導(dǎo)出無窮多組相容方程，但是可以證明，如果滿足了上式[(2－49)和(2－50)兩組相容方程]，就可以保證位移的連續(xù)性。

上式表示要使以位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

方程意義的幾何解釋：如將物體分割成無數(shù)個微分平行六面體，并使每一個微元體發(fā)生變形。這時如果表示微元體變形的六個應(yīng)變分量不滿足一定的關(guān)系，則在物體變形后，微元體之間就會出現(xiàn)“撕裂”或“套疊”等現(xiàn)象，從而破壞了變形后物體的整體性和連續(xù)性。為使變形后的微元體能重新拼2/2/202385第二章應(yīng)變分析合成連續(xù)體，則應(yīng)變分量就要滿足一定的關(guān)系，這個關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。因此說，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，是保證物體連續(xù)的一個必要條件。

需要說明的幾點：

1、可以證明：如果物體是單聯(lián)通的，則應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程還是物體連續(xù)的充分條件。從數(shù)學的觀點來看，也就是說，如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對于單聯(lián)通物體，就一定能通過幾何方程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。

2、如果能正確地求出物體各點的位移函數(shù)u，v，w，并根據(jù)幾何方程求出各應(yīng)變分量，則應(yīng)變協(xié)調(diào)方程自然滿足。2/2/202386第二章應(yīng)變分析

3、從物理意義來看，如果位移函數(shù)是連續(xù)的，變形自然也就是可以協(xié)調(diào)。

4、計算時，采用位移法求解，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可以自然滿足；而采用應(yīng)力法求解，則需要同時考慮應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

5、對于多聯(lián)通物體，我們總可以作適當?shù)慕孛媸顾兂蓡温?lián)通物體，如此則上述的結(jié)論完全適用。具體的說，如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則在此被割開后的區(qū)域里，一定能求得單值連續(xù)的函數(shù)u，v，w。但是對求得的u，v，w，他們在截面兩側(cè)趨向于截面上某一點的值一般是不相同的，為了使考察的多聯(lián)通物體在變形后仍2/2/202387第二章應(yīng)變分析保持為連續(xù)體，必須加上下列的補充條件：式中：分別為與截面同一點無限臨近的兩側(cè)點的位移。因此，對于多聯(lián)通物體，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，只是物體連續(xù)的必要條件，只有加上補充條件，條件才是充分的。

6、對于平面應(yīng)變問題，有：

則相容方程只有（2－49）中的第一式。

2/2/202388第二章應(yīng)變分析柱坐標中的相容方程：用相同的方法可以導(dǎo)出柱坐標中的變形協(xié)調(diào)條件為式（2－52）（書：2－41），即：

已知柱坐標系中物體內(nèi)任意一點的六個應(yīng)變分量所滿足的幾何方程的形式為：（2－9）2/2/202389第二章應(yīng)變分析（2－52）（書：2－41）

2/2/202390第二章應(yīng)變分析極坐標中相容方程（平面應(yīng)變問題）我們知道：對平面問題，柱坐標變?yōu)闃O坐標()，幾何方程為（2-10）：由于，變形協(xié)調(diào)條件只剩下（2－52）中的第三式，即：

（2－10）

2/2/202391第二章應(yīng)變分析（2－53）（書：2－42）

軸對稱問題的相容方程：

對于軸對稱平面應(yīng)變問題，應(yīng)變分量與無關(guān)，變形協(xié)調(diào)條件簡化為式（2－54），即：（2－54）（書：2－43）

式（2－54）的左邊項可由式（2－53）的第二項獲得：即：

2/2/202392第二章應(yīng)變分析

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義：如果將變形體分解為許多微元體，每個微元體的變形都用六個應(yīng)變分量描述。若應(yīng)變分量不滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則這些微元體將不能構(gòu)成一個連續(xù)體，因為這時可能會出現(xiàn)裂紋或發(fā)生重疊。滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程便能保證變形前后物體的連續(xù)性，因此，連續(xù)介質(zhì)的應(yīng)變狀態(tài)是否可能，需要利用應(yīng)變協(xié)調(diào)方程來檢驗。

球坐標系下的相容方程：幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程見相關(guān)書籍。

2/2/202393第二章應(yīng)變分析舉例：例1（書中P68）已知下列的應(yīng)變分量是物體變形時產(chǎn)生的，試求系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系式。平面應(yīng)變問題解：該應(yīng)變狀態(tài)屬于平面應(yīng)變狀態(tài)，這些應(yīng)變分量應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件，即書中（2-39）式的第一式。本題的目的是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的應(yīng)用。2/2/202394第二章應(yīng)變分析由應(yīng)變分量可得：將以上各式代入應(yīng)變協(xié)調(diào)條件可得：在物體內(nèi)任一點上，即x、y為任意值時，上式皆應(yīng)成立，因此得上式即為系數(shù)應(yīng)滿足的條件，而系數(shù)可為任意常數(shù)。2/2/20239