第一章靜電場(chǎng)

EnteringtheworldofEM一、關(guān)于教材1)著者北大物理系教授，國家物理教學(xué)委員會(huì)主任，《大學(xué)物理》雜志主編。2)教材特點(diǎn)

內(nèi)容豐富、廣泛，課后習(xí)題量大，備有答案。課程介紹3)獲獎(jiǎng)

1986年獲首屆國家優(yōu)秀教材獎(jiǎng)4)應(yīng)用

被廣泛選為教材，是各院校考研的指定參考書二、講授安排①帶星號(hào)的章節(jié)原則上不講②簡(jiǎn)單電路、復(fù)雜電路、交流電路（不講）③部分次要內(nèi)容（不講）

緒論

1)電磁學(xué)的研究?jī)?nèi)容

電磁學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的一部分。主要研究電荷、運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)、磁場(chǎng)的規(guī)律，電場(chǎng)、磁場(chǎng)的相互關(guān)系，電場(chǎng)對(duì)電荷、電流的作用、電磁場(chǎng)對(duì)物質(zhì)的各種相互作用。

（建議：學(xué)前、課程結(jié)束后各讀一遍）應(yīng)用

應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到人類生活的方方面面。3）電磁現(xiàn)象的普遍性

四種基本相互作用之一電磁引力強(qiáng)弱是各種宏觀接觸力的成因無線電、熱、光、X射線、伽馬射線都是電磁輻射第一章靜電場(chǎng)

相對(duì)于觀察者靜止的電荷所激發(fā)的電場(chǎng)。本章目的：研究真空中的靜電場(chǎng)的性質(zhì)和分布規(guī)律，以及帶電粒子在電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)等問題?！?靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律§2電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度

§3高斯定理§4電位及其梯度

§1靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律1、摩擦起電一、電荷物體由于摩擦有了吸引輕小物體的性質(zhì)，它就帶了電，這種帶電叫摩擦起電。2、兩種電荷實(shí)驗(yàn)表明，自然界中只存在兩類電荷：正電和負(fù)電，且同性電荷相斥、異性電荷相吸引。規(guī)定：絲綢摩擦過的玻璃棒，棒上帶電為正；毛皮摩擦過的硬橡膠棒，棒上帶電為負(fù)。3、電荷測(cè)量

（1）電量的測(cè)量驗(yàn)電器靜電計(jì)（金屬球）（金屬箔）(a)驗(yàn)電器：張開情況可定性(b)靜電計(jì)：弧度刻尺上讀數(shù)，說明電量多少。可用于測(cè)量電量。

（2）電荷正負(fù)判定已帶某種已知電荷張角變大張角變小同性異性（3）電荷中和

自由的等量異號(hào)電荷相遇，它們恰好抵消的現(xiàn)象叫電荷中和。

二、靜電感應(yīng)電荷守恒定律

1、靜電感應(yīng)靜電感應(yīng)實(shí)質(zhì)上為電荷轉(zhuǎn)移的過程。(a)(b)

(c)(d)ABAB

2、電荷守恒定律

在一個(gè)與外界無電荷交換的封閉系統(tǒng)中，無論進(jìn)行什么過程，該系統(tǒng)的正負(fù)電荷之代數(shù)和始終保持不變。[說明]：(1)

電荷守恒是一切宏觀、微觀過程均遵守的規(guī)律。（物理學(xué)基本定律之一）(2)

電荷的量子化。電子電量大小庫侖,是電荷的最小單元，物體帶電是基本電子電量的整數(shù)倍（不連續(xù)）。三、物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)導(dǎo)體與絕緣體1、物質(zhì)組成與原子結(jié)構(gòu)

2、起電的物理解釋

摩擦起電——用原子的玻爾模型說明：摩擦引起核外電子運(yùn)動(dòng)速度V變大，克服原子核的束縛而發(fā)生轉(zhuǎn)移。

感應(yīng)起電——導(dǎo)體中自由電子在外電場(chǎng)力作用下從物體的一部分轉(zhuǎn)移至另一部分。3、物質(zhì)按導(dǎo)電性能分類

按照傳導(dǎo)轉(zhuǎn)移電荷的能力，將物體進(jìn)行分類導(dǎo)體：能把電荷從產(chǎn)生地方迅速地轉(zhuǎn)移或傳導(dǎo)到其它地方。金屬、石墨、電解液、等離子體絕緣體：電荷幾乎停留在產(chǎn)生的地方，不易轉(zhuǎn)移半導(dǎo)體：轉(zhuǎn)移電荷的能力介于上述兩種物質(zhì)之間四、庫侖定律

法國物理學(xué)家查利·奧古斯丁·庫侖(1736-1806)，扭稱發(fā)明人，法國科學(xué)院院士。1、內(nèi)容

真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力，其大小與兩者電量成正比、與它們之間的距離平方成反比，方向沿兩電荷連線，且同性相斥、異性相吸。電學(xué)發(fā)展史上的第一個(gè)定量規(guī)律，使電學(xué)的研究從定性進(jìn)入定量階段。庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式其中:q1指向q2的單位矢量:q1給q2的作用力若將比例系數(shù)取為k，則有q1、q2本身可正可負(fù)，故上式包含力的排斥（正）、吸引（負(fù)）。同理，有:其中。推廣至一般，有:以后常略去下標(biāo)。很容易得到：（滿足牛頓第三定律）2、電量的單位及k（或0）的數(shù)值

在國際單位制（SI）中，常用的基本物理量及其基本單位為：長度L（m）、質(zhì)量m（kg）、時(shí)間t（S）、電流I（A）。依據(jù)物理公式導(dǎo)出的其它物理量的單位稱為導(dǎo)出單位，

k的大小—在庫侖定律中，q的單位由上述導(dǎo)出、r及力F的單位分別為米和牛頓（導(dǎo)出），k的大小則由實(shí)驗(yàn)測(cè)定：由可得電量單位：設(shè)兩點(diǎn)電荷q1

=q2

=1C、真空中相距r=1m，用N作為F的單位，所得數(shù)值為：取（單位制的有理化），則稱為真空介電常數(shù)，是電學(xué)中的重要常數(shù)。至此，庫侖定律可表述為：3、關(guān)于庫侖定律的幾點(diǎn)說明

(1)只適用于真空、點(diǎn)電荷間作用力。

真空——物理上指沒有原子或分子存在的空間，但并非一無所有；點(diǎn)電荷——指帶電體幾何線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離（），是理想模型。(2)只適用于靜止電荷，不適用于運(yùn)動(dòng)電荷。五、靜電力的疊加原理兩點(diǎn)電荷之間的作用力不因?yàn)榈谌齻€(gè)電荷的存在而改變，不管一個(gè)體系中存在多少個(gè)點(diǎn)電荷，每一對(duì)電荷之間的作用力都服從庫侖定律，而任一點(diǎn)電荷所受的合力則等于所有其它點(diǎn)電荷單獨(dú)作用于該電荷的庫侖力之矢量和。1、電荷分立分布設(shè)體系有N個(gè)點(diǎn)電荷，第j個(gè)點(diǎn)電荷所受合力為例如：邊長為a的正方形頂點(diǎn)置四個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷，如圖所示，求任一點(diǎn)電荷q所受的合力。經(jīng)分析可知，q所受合力為圖示中三力之矢量和。-qqaa-qqdqq0

2、電荷連續(xù)分布

推廣至真空中連續(xù)體電荷分布對(duì)q0之作用力，有§2電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度

一、電場(chǎng)

庫侖定律給出了兩點(diǎn)電荷之間相互作用的定量關(guān)系，但并未說明作用的傳遞途徑。1、兩種觀點(diǎn)超距作用觀點(diǎn)：無需經(jīng)中間物體傳遞，而是超越空間直接地、瞬時(shí)地發(fā)生。(2)近距作用觀點(diǎn)：通過空間某種中間物為媒介，以一定的有限速度傳遞過去?，F(xiàn)代物理學(xué)的觀點(diǎn)：不存在超距作用。即所有的作用都需要時(shí)間，均需要物質(zhì)傳遞。2、場(chǎng)的概念

彈性以太？——不存在電磁場(chǎng)觀點(diǎn)：電荷在周圍激發(fā)電場(chǎng)，電場(chǎng)具有物質(zhì)性。電荷電荷？

電荷——電場(chǎng)——電荷

[說明](1)電磁場(chǎng)與實(shí)物一樣具有能量、動(dòng)量等，可以脫離場(chǎng)源而單獨(dú)存在，即電磁場(chǎng)是物質(zhì)的一種形態(tài)。(2)電場(chǎng)對(duì)其中的電荷會(huì)施加作用力。二、電場(chǎng)強(qiáng)度

3.討論

（1）場(chǎng)強(qiáng)是矢量物理量。既有大小，又有方向，且是空間位置矢量的函數(shù)，形成一個(gè)空間場(chǎng)分布，即電場(chǎng)構(gòu)成空間矢量場(chǎng)：(2)場(chǎng)強(qiáng)的單位或(3)場(chǎng)強(qiáng)定義式的變形此式不僅適用于靜電場(chǎng)，還適用于時(shí)變場(chǎng)。-由對(duì)稱性分析知垂直x

軸的場(chǎng)強(qiáng)為0例3均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)解：在圓環(huán)上任取兩對(duì)稱電荷元,對(duì)應(yīng)元電場(chǎng)為>>若點(diǎn)電荷電場(chǎng)若

x=0（圓心處）,E=0,帶電體系電場(chǎng)解題小結(jié):對(duì)稱性分析：

簡(jiǎn)化計(jì)算選擇坐標(biāo)系連續(xù)電荷(a)元電荷分割,(b)元電場(chǎng)分量分析,(c)分量積分五、帶電體在電場(chǎng)中受的力及其運(yùn)動(dòng)受力分析公式：，給定或者由電荷分布計(jì)算得到。帶電粒子受到作用力時(shí)，做變速運(yùn)動(dòng)。加速度。如果電場(chǎng)是均勻的，帶電體作均加速運(yùn)動(dòng)，如果電場(chǎng)是非均勻的，帶電體作變加速運(yùn)動(dòng)。

運(yùn)動(dòng)方程復(fù)雜，需要解微分方程。

簡(jiǎn)單重要例子--->電偶極子在電場(chǎng)中的受力分析

介質(zhì)極化的機(jī)理解釋(a)[受力](b)[力矩]--->合力為零[例]電偶極子在均勻電場(chǎng)中所受的力矩

以中心O為參考點(diǎn)，由力矩定義可見，力矩的作用總是使電偶極子轉(zhuǎn)向電場(chǎng)的方向?！?高斯定理

一.電力線

用一系列空間曲線形象地描述場(chǎng)強(qiáng)分布，通常把這些曲線稱為電力線或電場(chǎng)線1.規(guī)定

方向：電力線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向；

大?。涸陔妶?chǎng)中任一點(diǎn)，取一垂直于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向的面積元，使通過單位面積的電力線數(shù)目，即電力線數(shù)密度，等于該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的量值。若面積元不垂直電場(chǎng)強(qiáng)度，電場(chǎng)強(qiáng)度與電力線條數(shù)、面積元的關(guān)系如何？由圖可知通過和電力線條數(shù)相同均勻電場(chǎng)分析電力線數(shù)密度電力線密集，E高；電力線稀疏，E低。推論：2.典型帶電體系的電力線+++-+-3.電力線的性質(zhì)1)始于正電荷，止于負(fù)電荷（或來自無窮遠(yuǎn)，去向無窮遠(yuǎn)），不會(huì)在沒有電荷處中斷；2)帶電體系中正負(fù)電荷相等時(shí)，正電荷發(fā)出的電力線全部集中到負(fù)電荷上去。3)電力線不會(huì)相交；4)靜電場(chǎng)中的電力線不會(huì)形成閉合曲線二.電通量勻強(qiáng)電場(chǎng)通過任意面積元的電通量通過任意曲面的電通量怎么計(jì)算？方法:把曲面分成許多個(gè)面積元每一面元處視為勻強(qiáng)電場(chǎng)電通量--->通過某一面的電力線的條數(shù)積分可得：通過閉合面的電通量正與負(fù)取決于面元的法線方向的選取如圖知：>0若面元法線方向如虛線箭頭所示S討論<0

閉合曲面面元方向規(guī)定：

由閉合面內(nèi)指向面外。

不同于一般曲面（面元法線方向沒有區(qū)別、沒有明確規(guī)定）S>0<0夾角為鈍角電力線穿入穿越閉合曲面的總電通量：夾角為銳角電力線穿出三.靜電場(chǎng)的高斯定理

1.表述(a)文字表述:在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)，通過任一閉合面的電通量等于這閉合面所包圍的所有電量的代數(shù)和除以0。(b)數(shù)學(xué)表述:平面角：由一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線之間的夾角2.證明高斯定理的知識(shí)補(bǔ)充：立體角的概念為半徑的弧長取一般的定義：線段元與某點(diǎn)的距離為，則線段元對(duì)該點(diǎn)所張的平面角單位：弧度定義：同理：立體角面元對(duì)某點(diǎn)所張的立體角：錐體的“頂角”單位：球面度對(duì)比平面角，取半徑為，球面面元。定義同理計(jì)算球面對(duì)球心所張的立體角dS0Or0d可證得：任意閉合曲面對(duì)面內(nèi)一點(diǎn)所張立體角也為4球面度。庫侖定律電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理思路：先證明點(diǎn)電荷的電場(chǎng)遵守高斯定理，然后推廣至一般電荷分布的場(chǎng)3.高斯定理的證明

高斯定理（1）點(diǎn)電荷q位于球面S的中心rqS與半徑r無關(guān)（2）點(diǎn)電荷q在任意閉合曲面S內(nèi)以q

為球心作球面S"

由對(duì)稱性，在4立體角內(nèi)電通量均勻分布取立體角d

d在S、S"面上分別截出面元dS、dS"

qSS"rqSS"r穿過面元dS的電通量為：穿過面元dS"的電通量為：結(jié)論（3）點(diǎn)電荷q在閉合曲面S之外qS對(duì)q所張的立體角大小相等（4）多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)q1q2Sqi=0得證1.閉合面內(nèi)、外電荷的貢獻(xiàn)3.源于庫侖定律，高于庫侖定律討論都有貢獻(xiàn)

對(duì)

對(duì)電通量的貢獻(xiàn)有差別只有閉合面內(nèi)的電量對(duì)電通量有貢獻(xiàn)2.是靜電場(chǎng)性質(zhì)的基本方程有源場(chǎng)四、由高斯定理分析電力線性質(zhì)1.電力線的起點(diǎn)、終點(diǎn)（a)起點(diǎn)、夾角為銳角，電通量，由高斯定理：電力線起點(diǎn)處存在正電荷（b)終點(diǎn)同樣分析：電力線終點(diǎn)處存在負(fù)電荷(c)高斯定理的形象理解單一點(diǎn)電荷情形:正電荷：正電荷發(fā)出根電力線。負(fù)電荷：來自無窮遠(yuǎn)的根電力線終止于負(fù)電荷

由正電荷發(fā)出的電力線部分終止于負(fù)電荷，其余的電力線終止于無窮遠(yuǎn)終止負(fù)電荷的部分電力線來自于無窮遠(yuǎn)正負(fù)電荷同時(shí)存在時(shí):由正電荷發(fā)出的電力線全部終止于負(fù)電荷(b)電力管的高斯面及電通量：高斯面：

側(cè)面+兩個(gè)截面2.電力線的疏密與場(chǎng)強(qiáng)(a)電力管的概念：由一束電力線圍成的管狀區(qū)域。

性質(zhì)：電力線在側(cè)面上，即沒有電力線穿過側(cè)壁。(c)結(jié)論電力線稀疏處，電場(chǎng)弱；電力線密集處，電場(chǎng)強(qiáng)。五.高斯定理的應(yīng)用利用高斯定理解較為方便的分布具有某種對(duì)稱性的情況下在

常見的電量分布的對(duì)稱性：

球?qū)ΨQ

柱對(duì)稱

面對(duì)稱均勻帶電的球體球面(點(diǎn)電荷)無限長柱體柱面帶電線無限大平板平面123討論的電場(chǎng)疊加問題無限大帶電平面①分析場(chǎng)的對(duì)稱性，明確的方向；②選取合適的高斯面；③計(jì)算；④計(jì)算；⑤應(yīng)用定理求的大小，結(jié)合方向得出。解題步驟總結(jié)：§4電位及其梯度(1)是靜電場(chǎng)另一基本性質(zhì)(2)證明所能依據(jù)的已有知識(shí):(a)庫侖定律;(b)電場(chǎng)疊加原理(3)證明:

①單個(gè)點(diǎn)電荷電場(chǎng);

②任意帶電體系電場(chǎng)§4.1靜電場(chǎng)力所做的功與路徑無關(guān)①單個(gè)點(diǎn)電荷(正電荷情形)描述:正電荷q處于O點(diǎn),將試探電荷q0由P點(diǎn)沿路徑L移至Q點(diǎn)，計(jì)算電場(chǎng)力做的功APQ。L由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式L由下式：結(jié)論：?jiǎn)蝹€(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)對(duì)試探電荷所做的功與路徑無關(guān),只與起、始點(diǎn)位置有關(guān)。

②任何帶電體系的電場(chǎng)（將帶電體分成多個(gè)點(diǎn)電荷元）電場(chǎng)疊加原理點(diǎn)電荷電場(chǎng)：每項(xiàng)都與路徑無關(guān)

結(jié)論：在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所做的功只與試探電荷電量大小，起點(diǎn)、終點(diǎn)位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。③功與路徑無關(guān)的另一表達(dá)方式——環(huán)路定理(b)閉合環(huán)路的線積分[說明積分方向](a)閉合路徑（圖）(c)在環(huán)路上任意取P、Q點(diǎn)，將閉合路徑分為L1和L2

。靜電場(chǎng)的環(huán)路定理：靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合環(huán)路的積分恒等于0。討論是靜電場(chǎng)的基本方程之一靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)功與路徑無關(guān)與等價(jià)靜電場(chǎng)中電力線不能閉合的證明反證法：假設(shè)電力線可以閉合，如圖積分路徑每一段上，違反環(huán)路定理。§4.2電位(勢(shì)）差與電位（勢(shì)）靜電場(chǎng)重力場(chǎng)保守力場(chǎng)引進(jìn)位（勢(shì)）能概念重力場(chǎng)：將質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)移到Q點(diǎn)，重力作功等于勢(shì)能的減少。水流傾瀉而下，水的勢(shì)能減少靜電場(chǎng)：把電荷q0由P點(diǎn)移到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力作功等于電位能的減少。電位能減少電場(chǎng)力作功只和P、Q位置及電量q0有關(guān)或者:WP稱為電荷在P點(diǎn)的電位能。與重力場(chǎng)一樣，只有選定一個(gè)電位能參考零點(diǎn)，才能確定電位能WP

的具體值。對(duì)有限大帶電體來說，通常選取無限遠(yuǎn)處的電位能為零，則電位能差

WPQ與電荷電量有關(guān)，若除以q0，則只與位置有關(guān)，描述的是靜電場(chǎng)的性質(zhì)。定義這一比值為P、Q兩點(diǎn)間的電位差（電勢(shì)差、電壓）物理意義：從P到Q移動(dòng)單位正電荷時(shí)電場(chǎng)力所作的功。UPQ為兩點(diǎn)間的電位差，確定某點(diǎn)的電位需要電位參考零點(diǎn)。若選無窮遠(yuǎn)處的電位為零，則空間任一點(diǎn)P的電位為：同樣：對(duì)于任意兩點(diǎn)P和Q，電位差：作功與路徑無關(guān)U(P)U(Q)電位零點(diǎn)的選擇方法：有限大帶電體以無窮遠(yuǎn)為電位零點(diǎn)，實(shí)際中常以大地和儀器外殼為電位零點(diǎn)。無限大帶電體以有限遠(yuǎn)為電位零點(diǎn)。靜電場(chǎng)力所作的功：由式靜電場(chǎng)力作功與電位差有關(guān)，與路徑無關(guān)。例1.點(diǎn)電荷場(chǎng)電位公式球?qū)ΨQ標(biāo)量正負(fù)：由場(chǎng)強(qiáng)積分法計(jì)算電位選最容易的積分路徑：徑向取決于場(chǎng)電荷例2：均勻帶電q、半徑R的球殼的電位分布。由高斯定理可知空間的電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ性O(shè)R?Prq（1）球殼外（rR）和點(diǎn)電荷相同（2）球殼內(nèi)（r

R）OR?Prq0常數(shù)rUO例3：求無限長均勻帶電直線的電場(chǎng)中的電位分布???PP'P0rr0e由高斯定理可知空間的電場(chǎng)分布具有柱對(duì)稱性若選無限遠(yuǎn)處電位為零，則無意義，不能選無限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)???PP'P0rr0e

設(shè)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)，則§4.3電位疊加原理點(diǎn)電荷組形成的電場(chǎng)意義：點(diǎn)電荷組的電場(chǎng)中某點(diǎn)的電位，是各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)的電場(chǎng)在該點(diǎn)電位的代數(shù)和。電荷連續(xù)分布qdq?Pr例：求距電偶極子相當(dāng)遠(yuǎn)處任一點(diǎn)的電位。當(dāng)r>>l時(shí),?Pr+r-r+q-qr-r+§4.4等位面（電位圖示法）(一)等位面定義由電位相等的點(diǎn)組成的面叫等位面，并規(guī)定任意兩相鄰等位面間的電位差相等。(二）等位面與電力線1.電力線處處垂直等位面在等位面上任意移動(dòng)元位移，等勢(shì)=0即任意處處有電力線與等位面處處垂直2.等位面密集處場(chǎng)強(qiáng)大，稀疏