第五章頻率響應(yīng)法

第五章頻率響應(yīng)法第一節(jié)頻率特性第二節(jié)對數(shù)坐標(biāo)圖

第三節(jié)極坐標(biāo)圖（Nyquist）第四節(jié)用MATLAB繪制伯德圖和乃奎斯特圖第五節(jié)乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)第六節(jié)相對穩(wěn)定性分析第七節(jié)頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系

5.1頻率響應(yīng)1.頻率響應(yīng)法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種控制系統(tǒng)分析方法。系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性，稱為頻率特性又稱頻率響應(yīng)。

2.用途及特點(diǎn)：

1).僅用簡便的圖解法（Bode、Nyquist圖）就能確定控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性；并可根據(jù)時(shí)域給定的性能指標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

一.概述00控制系統(tǒng)2).對于未知系統(tǒng)，可用實(shí)驗(yàn)法，根據(jù)系統(tǒng)的頻率相應(yīng)描述其實(shí)際動(dòng)態(tài)過程和物理性質(zhì)。

3).頻率特性（幅頻特性G（jw）和相頻特性∠G（jw））與系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)密切相關(guān)4).對二階系統(tǒng)，頻率特性與過渡過程性能指標(biāo)之間有確定的對應(yīng)系，對高階系統(tǒng)也存在近似關(guān)系。5.當(dāng)系統(tǒng)在某些頻率范圍存在嚴(yán)重噪聲時(shí)，應(yīng)用頻率法可設(shè)計(jì)出抑制這些噪聲的系統(tǒng)。6.頻率法可用來分析部分非線性系統(tǒng)、魯棒多變量系統(tǒng)和參數(shù)不確定系統(tǒng)等二.頻率響應(yīng)法的基本概念

線性系統(tǒng)當(dāng)r(t)=Asinωt時(shí)，則系統(tǒng)輸出：00控制系統(tǒng)r(t)c(t)設(shè)有RC網(wǎng)絡(luò)如圖，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出

1.閉環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)輸入信號(hào)為

拉氏表達(dá)式

：輸出

拉氏反變換：

t→∞RCr(t)C(t)

2.幅值和頻率有關(guān)，且為

倍；

結(jié)論：1.穩(wěn)態(tài)輸出和輸入信號(hào)頻率（）相同；*當(dāng)ω＝0其輸入、輸出幅值相等；

3.相角遲后，是的函數(shù)；

幅值、相角與ω之間的關(guān)系

*當(dāng)ω＝0輸入、輸出相位一致0…………1……0.71……00…………

物理意義電容隔直輸出短接幅值01幅頻特性RCr(t)0-45-90相頻相頻特性Tr(t)C(t)t0C(t)r(t)2.RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性一．對數(shù)坐標(biāo)圖的組成§5.2對數(shù)坐標(biāo)圖

一幅是對數(shù)幅頻特性圖，縱坐標(biāo)為，舉例：設(shè)有系統(tǒng)如圖

為分度，0.1到1和1到10的距離相等稱十倍頻符號(hào)為（dec）

對數(shù)坐標(biāo)圖有兩幅圖組成：另一幅是相頻率特性圖,縱坐標(biāo)為度；記為L().以線性分度，單位分貝(dB)；橫坐標(biāo)以lg求頻率特性優(yōu)點(diǎn)：1）

把幅值乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算2）

曲線形狀簡單（直線）便于繪制3）

用實(shí)驗(yàn)法獲得的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)繪成的Bode圖，由Bode圖可方便地寫出系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。二．典型環(huán)節(jié)的Bode圖1．

比例環(huán)節(jié)K；例

:結(jié)論：K

值每增加10倍，縱坐標(biāo)分貝值增加20dB2.一階環(huán)節(jié)i）

幅值

L（）020400.1110式中

:當(dāng)：<<時(shí),

幅值

:>>時(shí),幅值:

相角

:=時(shí)

,=10時(shí)

,相角:

相角

:-L()00.110-20db/dec………………………………-<<為倍頻程斜率的直線。

最大誤差在轉(zhuǎn)角頻率為3dB=一階慣性環(huán)節(jié)可用RC電路表示(低通濾波器)。當(dāng)，幅值趨向于0，相角.

RCii)一階微分環(huán)節(jié)

當(dāng)＜＜時(shí)，

當(dāng)＞＞時(shí)，

00.110-20db/dec當(dāng)3，積分、微分環(huán)節(jié)i)積分環(huán)節(jié)

幅頻特性：

當(dāng)ω=1L(ω)=0ω=10L(ω)=-20dB相頻特性：

例：設(shè)

即放大倍數(shù)

當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)

可見曲線比時(shí)的幅頻特性平移了40dBii)υ階積分環(huán)節(jié)

幅頻特性：

相頻特性：

iii)微分環(huán)節(jié)幅頻：

相頻：

4二階環(huán)節(jié)i)二階振蕩環(huán)節(jié)

根據(jù)二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)有：

幅頻：當(dāng)<<,式中和可略，dB即低頻段為0dB直線當(dāng)>>,式中1和可略，即振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性既和，有關(guān)，也和有關(guān)何時(shí)產(chǎn)生諧振？最大值為多少？令可見，當(dāng)時(shí)，有最小值即為

峰值=0配方成完全平方相頻特性

相角是和的函數(shù)

和的關(guān)系如圖i)

二階微分環(huán)節(jié)和對應(yīng)的頻率稱為諧振頻率，=0時(shí)，上式=;當(dāng)>0.707,不能產(chǎn)生諧振。5.時(shí)滯環(huán)節(jié)幅值：

幅角：40db三：繪制對數(shù)頻率響應(yīng)曲線的一般步驟：

1.將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)用典型環(huán)節(jié)連乘形式表示。頻率特性表達(dá)式：

2.將系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率在頻率坐標(biāo)上標(biāo)出。比例環(huán)節(jié)K和積分環(huán)節(jié)沒有轉(zhuǎn)折頻率，應(yīng)先考慮作低頻段。例：

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

其中k=250,T1=0.2秒,

解：

的頻率特性圖=0.007秒,試畫出系統(tǒng)當(dāng)=1時(shí)；

=48dB當(dāng)=10時(shí)；

2).轉(zhuǎn)折頻率：

1)幅頻表達(dá)式:比例環(huán)節(jié)K和積分環(huán)節(jié):

3）當(dāng)=5時(shí)：

即

求得：

在處的轉(zhuǎn)折以-60斜率。

3.每遇一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率。

如轉(zhuǎn)折頻率斜率增加-20轉(zhuǎn)折頻率

環(huán)節(jié)當(dāng)

斜率增加+20分段直線最后一段開換對數(shù)幅頻曲線的高頻段漸進(jìn)線斜率為：

當(dāng)4.根據(jù)誤差要求，修正各環(huán)節(jié)漸進(jìn)曲線,可得到實(shí)際對數(shù)幅頻曲線。

5．作相應(yīng)的相頻特性曲線計(jì)算相角：

例：已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)的Bode

圖。

解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對數(shù)幅頻特性：

轉(zhuǎn)折頻率：

相頻特性:四.最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)1.最小相位系統(tǒng)定義

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒有極點(diǎn)或零點(diǎn),稱為最小相位系統(tǒng)。舉例:1)

極點(diǎn)S＝

零點(diǎn)S=

2)

極點(diǎn)S＝零點(diǎn)S=

式中,兩個(gè)系統(tǒng)極點(diǎn)完全相同,但零點(diǎn)相差一個(gè)負(fù)號(hào),對照定義:為最小相位系統(tǒng),為非最小相位系統(tǒng).2.頻率特性分析幅頻

頻相

幅頻相頻

兩者幅頻特性相同；但最小相位系統(tǒng)相位

,變化量為

非最小相位系統(tǒng)相位

變化量為

3.Bode圖對照1).已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

2).最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線變化趨勢一致。

3).最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，非最小相位系統(tǒng)往往不穩(wěn)定。

4.小結(jié)五．系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系1.“0”型系統(tǒng)

1)基本表達(dá)式及低頻段幅頻特性圖形

2)低頻段幅頻特性的斜率為0dB/dec=20lgK=20lg

為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，

由圖知20lgK=40dB則得K=100。

2).已知最小相位系統(tǒng)及折線幅頻特性,可求得開環(huán)傳遞函數(shù)。

2.“I”型系統(tǒng)：

1)基本表達(dá)式及低頻段幅頻特性圖形

當(dāng)

2)低頻段幅頻特性的斜率為-20dB/dec結(jié)論：可由幅頻特性低頻段求出。1).靜態(tài)位置誤差系數(shù),結(jié)論：-20dB斜率十倍頻程的直線與0dB直線的交點(diǎn)是一個(gè)數(shù)值上等于的頻率。為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)

3)低頻段漸近線（或其延長線）在=1處的縱坐標(biāo)為20lg證明：

即20lg1

即

3.“Ⅱ”型系統(tǒng)

1）基本表達(dá)式及低頻段幅頻特性圖形

2）低頻段幅頻特性的斜率為-40dB/dec.3）低頻段漸近線（或延長線）證明：

在值20lg加速度誤差系數(shù)等于漸近線與0dB線相交點(diǎn)的頻率的平方。=1處的縱坐標(biāo)即

六．根據(jù)最小相位系統(tǒng)的折線對數(shù)幅頻特性，求開環(huán)傳遞函數(shù)。解

：由圖知，轉(zhuǎn)折頻率

即例1：系統(tǒng)折線對數(shù)幅頻特性如圖，試求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，并確定K值。例2．折線如圖，求對像傳遞函數(shù)解：

轉(zhuǎn)折頻率

例3：最小相位系統(tǒng)折線如圖，求出傳遞函數(shù)解：轉(zhuǎn)折頻率即

的，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。

一.傳遞函數(shù)一般極坐標(biāo)表達(dá)形式

……（1）

是一個(gè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面用直角坐標(biāo)形式表示：

極坐標(biāo)形式表示：

頻率特性正弦傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖是當(dāng)由0→∞時(shí)，表示極坐標(biāo)上的幅值與相角的關(guān)系圖。因此，極坐標(biāo)圖是當(dāng)由0→∞時(shí)，向量的軌跡。相角是從正實(shí)軸開始ImRe§5.3極坐標(biāo)圖（Nyquist）幅角：

幅值：

二.典型環(huán)節(jié)的乃氏曲線

由（1）式知，以時(shí)間常數(shù)形式表達(dá)的傳遞函數(shù)一般由下列五種典型環(huán)節(jié)組成：

1)比例環(huán)節(jié)K

2)一階環(huán)節(jié)

3）積分和微分環(huán)節(jié)

4）二階環(huán)節(jié)

5）延遲環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖平面實(shí)軸上的某一定點(diǎn)，如圖中K點(diǎn)。

2.積分和微分環(huán)節(jié)［；］

i）積分環(huán)節(jié)的頻率特性：

幅值與ω成反比，相角恒為1.比例因子KK是一個(gè)與ω?zé)o關(guān)的常數(shù),其相角虛部為0，其乃氏圖為ImRe0ImRe0Kii）微分環(huán)節(jié)的頻率特性幅值與ω成正比，相角恒為

90°3.一階環(huán)節(jié)（;）

i）慣性環(huán)節(jié)頻率特性：

幅值

相角

當(dāng)ω從變化，頻率特性為單位圓

ImRe0.510ImRe0兩邊同時(shí)平方，并左右分別相加

即:

證明

:

配方：

即

圓心，半徑r=0.5

ii）一階微分環(huán)節(jié)頻率特性：

幅值：

幅角：

4.二階環(huán)節(jié)：

分子分母同除以即

i）典型二階振蕩環(huán)節(jié)：

ImRe0式中：

幅值：

乃氏圖特點(diǎn)

1）2）和值有關(guān)，值越小，軌跡線越大,其矢量長度取決于阻尼比。3）當(dāng)時(shí)，，相角

imRe0最大值0.35最小值0.2014）當(dāng)時(shí)，乃氏曲線上距原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)所對應(yīng)的頻率就是二階振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率，諧振峰值用與之比表示。當(dāng)，不產(chǎn)生諧振；ii）二階微分因子

向量的長度將隨ω增加而單調(diào)減少。imRe0最大值0.35最小值0.20相角：

特點(diǎn)：1）極座標(biāo)曲線的低頻部分

高頻部分：

2）兩階微分系統(tǒng)的虛部為正，且單調(diào)增加實(shí)部從1開始單調(diào)減小。相角在與之間。

5.滯后環(huán)節(jié)頻率特性為：

G(jω)＝1∠(cosωT-jsinωT)

當(dāng)時(shí);

三．開環(huán)系統(tǒng)的乃奎斯特圖：

由控制系統(tǒng)的一般方塊圖知，開環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)頻率特性由各種環(huán)節(jié)組合構(gòu)成的，不同組合的乃氏曲線不同，但有一定規(guī)律。1.“0”型系統(tǒng)：開環(huán)頻率特性一般表達(dá)式

，相角隨線性變化，其極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓。幅值始終為1例

試?yán)L制極坐標(biāo)圖

解：

幅值：

幅角：

結(jié)論：1）“0”型系統(tǒng)：乃氏曲線起始點(diǎn)在實(shí)軸上（k,0）由（）決定，終點(diǎn)（）在原點(diǎn)。

與“一”階相比二階系統(tǒng)幅角增加了若僅判斷系統(tǒng)穩(wěn)定，只需大概曲線軌跡，不必詳細(xì)計(jì)算作圖。

2.“I”型系統(tǒng)：

2）曲線形狀，由該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)及參數(shù)決定。

若系統(tǒng)有n個(gè)極點(diǎn)，幅角增加例：

；若系統(tǒng)有n個(gè)極點(diǎn)，m個(gè)零點(diǎn)：因?yàn)榭杀磉_(dá)成虛、實(shí)部形式

寫成極坐標(biāo)形式

當(dāng)結(jié)論：I型系統(tǒng)起點(diǎn)幅角，幅值為∞，且以3).II型系統(tǒng)

通過K值的漸近線為起始；其終點(diǎn)在原點(diǎn)0。

當(dāng)例：

式中

畫得乃氏圖如右。

小結(jié)：1.一般0型、I型、II型系統(tǒng)的乃奎斯特圖的基本形狀為

3).2.不同階次形式高頻段的乃氏圖

,曲線順時(shí)針趨向原點(diǎn),1).2).i)相角ii)，起點(diǎn)情況；

0型在；Ⅰ型或Ⅱ型以上n-m為偶數(shù)，乃氏曲線與負(fù)實(shí)軸相切;n-m為奇數(shù)，乃氏曲線與虛軸相切

bode(num,den)

一．用MATLAB繪制伯德圖1．

功能指令nyquist(num,den)nyquist(num,den,w)bode(num,den,w)margin(mag,phase,W)plot(Re(:,:),Im(:,:),Re(:,:),-Im(:,:))§5.4用MATLAB繪制伯德圖和乃奎斯特圖num=[0110];den=[0.510];w=logspace(-2,3,100);%給出頻率ω值的范圍

%0.01rad/s-1000rad/sbode(num,den,w);%繪制0.01≤ω≤1000的伯德圖xlabel('ω/rad/s');ylabel('φ(度)L(ω)/dB')title('BodeDiagramofG(s)=10(1+0.1s)/[s(1+0.5s)]')%MATLAB程序5-2%繪制圖8控制系統(tǒng)的伯德圖%輸入系統(tǒng)分子、分母數(shù)組表達(dá)式num=[001530];den=[1161000];w=logspace(-2,3,100);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag)),gridonxlabel('w/rad/s'),ylabel('L(w/dB')title('BodeDiagramofG(s)=30(1+0.2s)/[s(s^2+16s+100)]')subplot(212)semilogx(w,phase),gridonxlabel('w/rad/s'),ylabel('(度)')%MATLAB程序5-4num=30*[0.21];f1=[10];f2=[0.51];f3=[116100];den=conv(f1,conv(f2,f3));w=logspace(-1,3,100);[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilogx(w,20*log10(mag));gridon%幅頻特性坐標(biāo)xlabel('w/rad/s'),ylabel('L(\omega)[dB]')subplot(212)semilogx(w,phase);gridon%相頻特性坐標(biāo)xlabel('?rad/s]'),ylabel('(度)')num=[002010];den=[111100];w1=0.1:0.1:10;w2=10:2:100;w3=100:5:500;w=[w1w2w3];[Re,Im]=nyquist(num,den,w);%因?yàn)樽鴺?biāo)軸在nyquist函數(shù)中已自定義，plot(Re(:,:),Im(:,:),Re(:,:),-Im(:,:))%需要取出Real、Imag，用plot函數(shù)

v=[-33-33];axis(v)%用高層圖形命令axis(v)，若要重新設(shè)置坐標(biāo)軸，gridon%重新繪制，然后調(diào)用axis函數(shù)重新設(shè)置坐標(biāo)軸title('nyquistplotofG(s)=20(s+0.5)/[s(s+1)(s+10)]')xlabel('Re')ylabel('Im')%PlotnyquistandcomputeGainandPhase%MarginsforGH(s)=0.5/s^3+2.5s^2+s+0.5num=[0.5]den=[1210.5][mag,phase,W]=bode(num,den);[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,W);

%Gm=增益裕量nyquist(num,den)%Pm=相位裕量gridon%Wcg=相位-180度交界頻率

%Wcp=增益0dB頻率title(['GainMargin='num2str(Gm),'PhaseMargin='num2str(Pm)])xlabel('Re'),ylabel('Im')

該判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能反映系統(tǒng)穩(wěn)定的程度；同時(shí)對不穩(wěn)定的系統(tǒng)還能提示改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法及指出閉環(huán)系統(tǒng)有幾個(gè)不穩(wěn)定的特征根。

設(shè)有反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)(n≥m)代入上式并通分特性方程式：F(s)=1+G(s)H(s)=0一.閉環(huán)特征方程式與開環(huán)極點(diǎn)§5.5乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)式中：是F（s）的零點(diǎn)，是閉環(huán)特征方程式的根

s=－p1,－p2,…,－pn是F（s）的極點(diǎn)，是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

根據(jù)穩(wěn)定性定義，若閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則特征方程的根（即F(s)零點(diǎn)），均要位于S平面的左半邊。

二.幅角原理1.設(shè)復(fù)函數(shù)(n≥m)

F(s)是s的有理分式，則由復(fù)變函數(shù)的理論知道，F(xiàn)(s)除了s平面上的有限奇點(diǎn)外，它總是解析的，即為單值連續(xù)的正則函數(shù)；

在F(s)平面上必有唯一的一個(gè)映射點(diǎn)與之相對應(yīng)。同理，對s平面上任意一條不通過復(fù)函數(shù)F(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的閉合曲線Cs，在F(s)平面上，必有唯一的一條閉合曲線CF與之相對應(yīng)。

若S平面上的閉合曲線Cs按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，則F(s)平面上映射曲線CF的運(yùn)動(dòng)方向?？赡苁琼槙r(shí)針，也可能逆時(shí)針的,全取決于復(fù)變函數(shù)F（s）本身特性。我們感興趣的不是映射曲線CF

的具體形狀，而是它是否包圍F(s)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)以及繞原點(diǎn)的方向和周數(shù)。因?yàn)樗c系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系。

s平面上的()每個(gè)點(diǎn)，復(fù)變函數(shù)F(s)的相角為：

……（1）

當(dāng)點(diǎn)S1繞閉環(huán)曲線Cs走一周時(shí)，向量（S＋Z1）的相角變化了－2π，其余各向量的相角變化都為0°；即在F（s）平面上的映射曲線按順時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周。

假設(shè)S平面上的閉環(huán)曲線Cs以順時(shí)針方向圍繞F（s）的一個(gè)零點(diǎn)Z1，而F（s）的其余零點(diǎn)和極點(diǎn)均位于閉環(huán)曲線Cs之外；若任選點(diǎn)S1；

如果S平面上的閉環(huán)曲線Cs按順時(shí)針方向圍繞著F(s)的一個(gè)極點(diǎn)(－P)旋轉(zhuǎn)一周，則向量（s+p1）的相角變化了－2π；

由F（s）相角表達(dá)式推得：F(s)的相角度變化了＋2π，表明F（s）平面上的映射曲線CF按逆時(shí)針方向圍繞其坐標(biāo)原點(diǎn)一周。

例：

Ｓ平面F（s）平面A點(diǎn)：s=jB點(diǎn)：s=2+j設(shè)有解：計(jì)算特征點(diǎn)坐標(biāo)S平面上的閉環(huán)曲線Cs按順時(shí)針方向圍繞著F(s)的一個(gè)極點(diǎn)+1旋轉(zhuǎn)一周E點(diǎn)：s=2

C點(diǎn)：s=2-jC’=2+j

D點(diǎn)：s=-jD’=j

若Ｓ平面上的閉環(huán)曲線Cs以順時(shí)針方向包圍F（s）的Z個(gè)零點(diǎn)，則在F（s）平面上的映射曲線CF將按順時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Z周；閉環(huán)曲線Cs以順時(shí)針方向包圍F（s）的P個(gè)極點(diǎn)，則在F（s）平面上的映射曲線CF將按逆時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。

由此推得：F點(diǎn)：s=0F’=-12.幅角原理

設(shè)除了有限個(gè)奇點(diǎn)外，F(xiàn)（s）是解析函數(shù)，如果S平面上的閉環(huán)曲線Cs以順時(shí)針方向包圍了F（s）的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)（且此曲線不通過F(s)的任何極點(diǎn)和零點(diǎn)），則其在F（s）平面上的映射曲線CF將圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N周,其中N=Z-P。若N>0表示曲線CF以順時(shí)針方向圍繞；若N<0,則表示CF以逆時(shí)針方向圍繞。

如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則其特征方程式的根，也就是F（s）所有的零點(diǎn)均位于S的左半平面；換句話說，若要判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，只要檢驗(yàn)F(s)是否有零點(diǎn)在S平面的右半面就可以了，有F(s)的零點(diǎn)在S平面右側(cè)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。

如何檢驗(yàn)判定呢？，如前所述知：二.乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在S平面上，取一閉合曲線Cs，Cs應(yīng)包含S的整個(gè)右半平面，如圖，如果F（s）有零點(diǎn)或極點(diǎn)在右半平面，一定被該曲線包圍，這一閉合曲線稱為乃氏軌線，它由jω軸表示的C1部分和半徑無窮大的半圓C2部分組成。CS按順時(shí)針方向沿C1由－j∞運(yùn)動(dòng)到+j∞，然后沿著以無窮大半徑的半圓C2由運(yùn)動(dòng)到。

又G(s)H(s)階次n≥m，當(dāng)S沿乃氏軌線C2運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：

=常數(shù)。

CS的走向：

這說明當(dāng)S沿著半徑為無窮大的半圓變化時(shí)，函數(shù)F（s）始終是一常數(shù)。由此可知，F(xiàn)（s）平面上的映射曲線CF是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)只取決于乃氏軌線C1部分的映射。

1.

設(shè)在jω軸上不存在F(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則當(dāng)S-j∞沿著運(yùn)動(dòng)到+j∞時(shí)，在F(jω)平面上的映射曲線CF為

F(jω)=1+G(jω)H(jω)

假如閉合曲線CF以順時(shí)針方向包圍了F（s）的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。由幅角原理知，在F(jω)平面上的映射曲線CF將按順或逆時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N周。

N＝Z－P

由于：F平面和GH平面的乃氏曲線映射位置如圖

因而映射曲線F(jω)對其坐標(biāo)原點(diǎn)的圍繞相當(dāng)于開環(huán)頻率曲線G(jω)H(jω)對GH平面上的（－1，j0）點(diǎn)的圍繞。G(jω)H(jω)=[1+G(jω)H(jω)]-1換為通過開環(huán)頻率響應(yīng)G(jω)H(jω)乃氏曲線對（－1,j0）點(diǎn)的包圍與否，判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題了。

2.乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2）如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（P≠0，即開環(huán)傳遞函數(shù)有P個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在S的右半平面），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：G(jω)H(jω)曲線按逆時(shí)針圍繞（－1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。

1）.如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：G(jω)H(jω)曲線不包圍（－1,j0）點(diǎn)；由于畫G(jω)H(jω)的乃氏軌跡圖形是不難的，它就是前面討論的極坐標(biāo)圖（乃氏圖）。這樣就把求解：F（s）=1+G(s)H(s)零點(diǎn)的復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)例1：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試用乃氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！嚅_環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定作G(jω)H(jω)乃氏曲線（極坐標(biāo)圖），并求出乃氏曲線與實(shí)軸交點(diǎn)：

令I(lǐng)m=0；得代入實(shí)部解:由式知：P=0,

本題當(dāng)K＝15時(shí)，可求得Re＝－1.3,乃氏曲線順時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)2圈，N＝2；Z＝N+P=2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

4)根據(jù)幅角原理確定Z(Z＝N+P)是否為零；Z=0則系統(tǒng)穩(wěn)定。2）根據(jù)G(jω)H(jω)判斷乃氏曲線是否包圍（－1，j0）；由Im=0

求出Re值即乃氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn),看交點(diǎn)與－1的位置。解題過程小結(jié)：

由圖知：乃氏曲線未包圍（－1，j0）點(diǎn)，即N＝0；根據(jù)N＝Z－P知：Z＝0；系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。1）根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)確定P；P＝0開環(huán)穩(wěn)定。3）

依據(jù)乃氏曲線的走向，判斷曲線順時(shí)針或逆時(shí)針包圍(－1，j0)的圈數(shù)N。3.虛軸或原點(diǎn)存在開環(huán)極點(diǎn)

n≥m

根據(jù)幅角原理約定，包圍整個(gè)右半S平面的封閉曲線是不得通過奇點(diǎn)的，若通過極點(diǎn)（如S＝0，則G(s)=∞）；也就是說，原點(diǎn)成了奇點(diǎn)；

把C2作為封閉曲線的一部分，即把原點(diǎn)0歸入左半平面，曲線沒有通過奇點(diǎn)；乃氏途徑僅C2部分和非奇點(diǎn)途徑時(shí)不同。處理方法：在奇點(diǎn)（原點(diǎn)）處，以奇點(diǎn)為圓心，以半徑r→0(但不等于0)為半徑作一半圓C2，如圖。如何處理？在C2部分上，則

例如：討論這部分在GH平面的映射規(guī)律。

時(shí)，C2部分在GH平面的映射曲線為一個(gè)半徑為無窮大的半圓。

a點(diǎn)：

b點(diǎn)：

c點(diǎn)：

S平面上曲線方向a->b->c(逆時(shí)針)；GH平面->->順時(shí)針。

,C2部分在GH平面的映射曲線為半徑無窮大的圓。例1.設(shè)有一負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

∴S平面上乃氏途徑C2部分映射到GH平面上為半徑無窮大的半圓。與乃氏曲線G(jω)H(jω)相連接后的圍線如圖；，原點(diǎn)為極點(diǎn)；

∴Z=N+P＝0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由圖知：

N＝0；P＝0根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母知：解：

試分析時(shí)間常數(shù)T1和T2的相對大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，畫出所對應(yīng)的乃氏圖。討論：T1<T2

起點(diǎn)：

幅值：

終點(diǎn)：

例2.已知開環(huán)傳遞函數(shù)解：由開環(huán)傳遞函數(shù)得

由圖知：G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0,P＝0，∴Z＝N+P=0；系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。相角：ii)當(dāng)T1=T2時(shí)∴G(jω)H(jω)乃氏曲線通過（－1，j0）∴系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。iii).當(dāng)T1>T2時(shí)起點(diǎn)幅值＝

起點(diǎn)相角：

終點(diǎn)幅值

＝0；

終點(diǎn)相角：

LmReGH-14.利用乃氏判據(jù)確定系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍。K>0,T1>0,T2>0試求K為何值系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

解：分析：I型系統(tǒng)，系統(tǒng)的最大，且P＝0，閉環(huán)要穩(wěn)定，則要N為0，即不包圍（－1，j0）

例1G(jω)H(jω)曲線順時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)兩圈,即

N＝2P＝0∴Z＝N+P=2有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于S右半平面，閉

環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。起點(diǎn)：

終點(diǎn)：

求G(jω)H(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)

令I(lǐng)m=0得：代入實(shí)部

當(dāng)

乃氏曲線不包圍（－1，j0），N＝0，又∵P＝0，∴Z＝N+P=0；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例2.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試用乃氏判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解：

為

即屬非最小相位系統(tǒng)；起點(diǎn)：

終點(diǎn)：

乃氏曲線包圍（－1，j0）一周；N＝－1，∵P＝1，∴Z＝N＋P＝－1＋1＝0當(dāng)K=1時(shí)曲線G(jω）H(jω)穿過（－1、j0）點(diǎn)，當(dāng)K>1時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

1.若已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，開環(huán)極點(diǎn)P的個(gè)數(shù)和畫G(jω)H(jω)的乃氏曲線繞向N及是否包圍（－1，j0）(令I(lǐng)m＝0代入實(shí)部Re，求乃氏曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn))點(diǎn)易知,用N＝Z－P可判定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定與否。2.若已給出極點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及G(jω)H(jω)乃氏曲線的繞向圖形用N＝Z－P可直接判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

小結(jié)：幅值為k

一.相對穩(wěn)定性由前面討論知道，控制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻特性曲線是否包圍（－1，j0）點(diǎn)是判定閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)，即系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)P＝0情況下，幅相頻特性曲線靠近原點(diǎn)0，遠(yuǎn)離（－1，j0）點(diǎn)穩(wěn)定性好。；

P=01．小K值：幅相頻率特性曲線遠(yuǎn)離(-1，j0)，穩(wěn)定性好

2.K↑值：幅相頻率特性曲線靠近(－1，j0)，系統(tǒng)穩(wěn)定，但穩(wěn)定裕量減小。例如§5.6相對穩(wěn)定性分析

3．K↑↑值：幅相頻率特性曲線通過（－1，j0）臨界穩(wěn)定;

例：

問題：題中幅相頻率特性曲線沒包圍也沒有經(jīng)過（－1，j0）點(diǎn)，即系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；

特征根全部位于左半S平面系統(tǒng)穩(wěn)定，但特征根靠近虛軸超調(diào)增大；位于虛軸為臨界穩(wěn)定；特征根在右半S平面系統(tǒng)不穩(wěn)定4．K↑↑↑值：幅相頻率特性曲線順時(shí)針包圍(－1,j0),不穩(wěn)定.但穩(wěn)定裕量如何？穩(wěn)定裕量用幅值裕量Kg和相位裕量γ表示.

實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，為了得到較好的動(dòng)態(tài)性能要求Kg>6dB,γ為30O~60O之間。二、用乃氏圖定義的相位裕量和幅值裕量

1.相位裕量

γ1)定義：在剪切頻率ωC處，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)所能接受的附加相位滯后角稱為相位裕量，符號(hào)γ

2)計(jì)算式（解析式）：

例：

其中若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：（p=0）γ為正值，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定

γ為0，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定

γ為負(fù)值,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定

2.幅值裕量（也稱增益裕量）

1）定義：開環(huán)幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)為增益裕量，符號(hào)KgKg是系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的另一度量指標(biāo)。2）計(jì)算式Kg=1閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；G(jωg)H(jωg)=1

3）物理意義：

對穩(wěn)定系統(tǒng)而言，增益裕量表示當(dāng)系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定之前，增益允許增大的倍數(shù)。

若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（P=0），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定G（jω）H(jω)曲線不包圍（-1，j0）即Kg>1閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；G(jωg)H(jωg)<1Kg<1閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

G(jωg)H(jωg)>11).GH平面上單位圓的圓周與對數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線相對應(yīng),單位圓外部對應(yīng)于L（ω）>0dB,單位圓的內(nèi)部對應(yīng)于L（ω）<0dB2)GH平面上的負(fù)實(shí)軸和對數(shù)坐標(biāo)圖上的φ＝-180°線相對應(yīng)。

設(shè)有系統(tǒng)G（jω）H(jω)乃氏曲線圖及相應(yīng)Bode圖如下

三．奈氏穩(wěn)定判據(jù)在對數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用1.奈氏圖與對數(shù)坐標(biāo)圖對應(yīng)關(guān)系

2.奈氏曲線和對數(shù)坐標(biāo)圖關(guān)系判定系統(tǒng)穩(wěn)定的應(yīng)用（3）Bode圖上的正負(fù)穿越對應(yīng)表現(xiàn)L（ω）>0dB頻域內(nèi)，當(dāng)ω增加時(shí)，相頻曲線向-180°以上值增加為負(fù)穿越；向負(fù)（-180°）值減小為正穿越.（1）正穿越：奈氏曲線以逆時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)一周，必然由上向下穿過負(fù)實(shí)軸的（-1，-∞）線段一次，這種穿越使相角增大稱正穿越。2)

包圍圈數(shù)N在Bode圖或奈氏圖中用正、負(fù)穿越次數(shù)表示（2）負(fù)穿越：奈氏曲線以順時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)一周，曲線將由下向上穿越負(fù)實(shí)軸（-1，-∞）線段一次，這種穿越使相角減少稱為負(fù)穿越.1)概念N=2(N--N+)四.用Bode圖定義的相位裕量和幅值裕量

20LgKg＝-20Lg|G(jωg)H(jωg)|；

|G(jωg)H(jωg)|<1Kg為正閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定在說明給定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性時(shí)，通常要給出增益裕量和相位裕量。

例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求（1）K＝1時(shí)系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量（2）調(diào)整K值系統(tǒng)的增益裕量20lgKg=20dB,且相位裕量

增益裕量計(jì)算式

相位裕量計(jì)算式解：

ωg處的相頻特性

整理：

兩邊取正切得:(分子不能為0)

處的對數(shù)幅值：即有解得根據(jù)Bode圖知，K=1時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）的,則

在處的對數(shù)幅頻為：

化簡：

解得：K=2.5由題：γ=40o

則

即

(2)當(dāng)Kg=10時(shí)，即方程兩邊取正切

解得即：解得：K=5.22可知當(dāng)K=2.5時(shí)就能滿足Kg和r的要求

五.相對穩(wěn)定性與對數(shù)