第六章彎曲應力

上一講回顧（11）剛性接頭：受力時不變形的接頭。既傳力，又傳力偶。剛架：用剛性接頭連接的彈性桿系結(jié)構(gòu)剛架的內(nèi)力及其符號：軸力、扭矩和剪力的符號具有坐標不變性。彎矩圖的符號坐標相關(guān)。彎矩圖位置具有坐標不變性。剛架內(nèi)力圖的畫法：將剛架拆為分段的梁（桿），分別繪圖后再組合。曲桿內(nèi)力圖的畫法：

一般由內(nèi)力方程繪圖。1Page§6-2彎曲正應力第六章彎曲應力§6-1

引言§6-3彎曲切應力§6-4梁的強度條件§6-5梁的合理強度設計§6-6彎拉(壓)組合與截面核心2Page梁的彎曲正應力梁的彎曲切應力梁的強度分析與設計彎拉(壓)組合問題本章主要研究：3PageFBCA伽利略：關(guān)于力學和局部運動的兩門新科學的對話和數(shù)學證明，1638.一、歷史回顧§6-1引言4Page建立了“實驗觀測——假設——分析與推導”的現(xiàn)代科學研究方法無中性軸概念——受當時實驗觀測的局限靜力不平衡——19世紀初才由L.Poinsot以靜力學公理明確闡明剛體上力系的簡化與平衡伽利略開創(chuàng)性研究的評述2.局限性1.開創(chuàng)性FBCA5Page錯誤原因：下圖公式中S應由代替。已意識到中性軸的概念，離正確結(jié)論僅一步之差。錯誤結(jié)論：中性軸位置無關(guān)緊要。馬略特（1680）的研究F設，以B點為矩心中圖：

下圖：

D為矩心，F(xiàn)BFD6Page

相關(guān)梁應力研究歷史：1620，荷蘭I.Beeckman：梁一側(cè)纖維伸長，一側(cè)縮短1678，Hooke:梁凸面纖維伸長，凹面縮短1702，P.Varignon:纖維拉力沿截面曲線變化（同樣忽略壓縮變形）1654-1705，Bernoull:中性軸位置無關(guān)緊要1713，Parent.A:指出應靜力平衡，學說長期埋沒

……1813，Navier:中性軸位置無關(guān)緊要1826，Navier:正確應用靜力平衡方程，中性軸過形心7Page三、梁橫截面上的彎曲應力彎曲正應力彎曲切應力四、對稱彎曲對稱截面梁具有對稱截面，且在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力（或外力的合力）時的受力與變形形式。二、組合變形桿件的一般變形通常可分解為拉壓、扭轉(zhuǎn)與彎曲變形的兩種或三種基本變形的組合。8Page五、純彎曲與橫力彎曲六、對稱純彎曲

梁或梁段各橫截面剪力為零、彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)稱為純彎曲；既有剪力又有彎矩則稱為橫力彎曲。七、問題靜不定性質(zhì)連續(xù)體的靜不定問題八、分析方法從簡單到復雜，即從對稱純彎曲、到一般橫力彎曲、再到組合變形進行研究。連續(xù)體的靜不定問題，綜合幾何、物理和靜力學三方面進行研究9Page一、實驗觀測與假設（動畫）縱向線：成圓弧線,上方縱向線縮短，下方伸長橫向線：保持直線，與橫線正交頂與底部縱、橫線變形比：符合單向受力泊松效應單向受力假設平面假設：變形后橫截面保持平面，仍與縱線正交2.內(nèi)部變形假設§6-2彎曲正應力1.外部變形觀測10Page3.重要推論縱向纖維縮短縱向纖維伸長

梁內(nèi)存在一長度不變的過渡層－中性層

中性軸⊥截面縱向?qū)ΨQ軸

變形過程中橫各截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動11Page1.幾何方面考察線段ab的變形：變形前：變形后：二、彎曲正應力一般公式y(tǒng)z中性軸dqra’b’dx中性層aby12Page2.物理方面由胡克定律和單向受力假設：y

—坐標原點位于中性軸，r

—中性層的曲率半徑中性軸位置？r的大小?3.靜力學方面MsdA定義中性軸過形心確定r13Page三、最大彎曲正應力定義（抗彎截面系數(shù)）正應力沿截面如何分布？14Page截面典型截面的慣性矩與抗彎截面系數(shù)15Page例

2-1

已知：鋼帶厚d=2mm,寬b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。計算：帶內(nèi)的smax與M解：1.

問題分析應力～變形關(guān)系：內(nèi)力～變形或內(nèi)力～應力關(guān)系：已知r=(D+d)/2,E,截面尺寸，可應用下述關(guān)系求應力與內(nèi)力或16Page2.應力計算3.彎矩計算或17Page梁的彎曲正應力小結(jié)中性軸過截面形心

中性軸位置：

正應力公式：中性層曲率：，對稱彎曲

,純彎與非純彎

應用條件：18Page附錄A截面幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)與構(gòu)件的力學性能有何關(guān)聯(lián)？如何描述截面的幾何性質(zhì)？截面的幾何性質(zhì)：與截面形狀與尺寸有關(guān)的量19Page拉壓：扭轉(zhuǎn)：彎曲：A,IP,WP,Iz,Wz——表征截面幾何性質(zhì)的量我們已經(jīng)學習了哪些截面的幾何性質(zhì)？20PageA-1靜矩與形心一、靜矩zyoyzdA積分分別稱為對坐標軸x和y的靜矩或一次矩。靜矩的量綱：21Page二.形心回顧理論力學的質(zhì)心計算公式：zyoyzdA●Czcyc均質(zhì)等厚薄板質(zhì)心位于中面形心靜矩：或如果截面對某軸的靜矩為零，則該軸為形心軸。

形心軸：通過截面形心的坐標軸。22Page三、組合截面的靜矩與形心zyoA1A2A3zyoA1A2負面積法23Page例：

確定下圖所示截面的形心位置60105050解：將截面分為兩部分，利用組合截面的公式：yzA1A2O24PageA-2極慣性矩·慣性矩·慣性積zyOyzdAr一、截面對o點的極慣性矩或二次極矩二、截面對z軸或y軸的慣性矩或二次軸矩三、一個恒等式25PagezyoyzdAr五、截面對z軸或y軸的慣性半徑四、截面對z軸與y軸的慣性積六、慣性矩與慣性積的組合截面公式zyoA1A2A326PageA-3慣性矩與慣性積的平行移軸定理一、慣性矩的平行移軸定理Cy0z0－形心直角坐標系Oyz－任意直角坐標系二者平行同理:27PageCy0z0－形心直角坐標系Oyz－任意直角坐標系二者平行二、慣性積的平行移軸定理28Page例：求下圖所示截面對z方向形心軸的慣性矩yz100100101020201、求全截面形心軸位置2、求對個部分自身形心軸的慣性矩A4A1A2A3z0解：方法一，如圖將截面劃分四塊3、求對全截面形心軸慣性矩方法二：負面積法。自行完成29Page思考：下列計算是否正確？其中C是截面形心。解：不正確。

因為

Z1

不是形心軸Ca30Pagea：始邊-y軸，為正A-4轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩一、轉(zhuǎn)軸公式從公式，你發(fā)現(xiàn)了那些規(guī)律？31Page二、主軸與主慣性矩令主形心軸主形心軸結(jié)論：在以o點為原點的所有坐標系中，一定存在一直角坐標系，截面對其坐標軸的慣性積為零。主軸:滿足慣性積為零的坐標軸

主慣性矩:對主軸的慣性矩

主形心軸與主形心慣性矩32Page例:

l=1m,b=30m,t=5mm,=-0.001,=0.0005,E=200GPa,求1、梁內(nèi)的絕對值最大正應力；

2、梁底部縱向總伸長量；3、高度h的大??；

4、載荷q之值。C33Page解：1、求絕對值最大正應力可由應變與彎矩的正比關(guān)系確定最大應變，再由應變求應力。先畫剪力彎矩圖。3l/8分析：但均未知由知正應力、正應變最大值發(fā)生在H截面。34Page3l/8（2）絕對值最大正應變（3）絕對值最大正應力35Page2、計算底部縱向總伸長（1）彎矩方程（2）底部應變由于e

與M成正比，可設分析：由需應變方程，但只知一點應變，怎么辦？應變方程與彎矩方程的函數(shù)關(guān)系相同：36Page（4）底部縱向總伸長量（3）底部縱向應變方程37PageC3、計算高度h截面對形心軸的靜矩為零分析：已知b,t,

未知h1,h2，需由兩個條件決定。第一個條件第二個條件38PageC由截面對形心軸的靜矩為零代入：b=30mm,t=5mm（舍去）解得：39Page4、計算載荷q40Page作業(yè)Ⅱ版：6-1，6-3，6-8，A-8cⅢ版：6-1，6-3，6-8，A-9c41Page上一講回顧（12）梁變形與受力假設：平面假設，單向受力假設。正應力公式：最大正應力：靜矩：慣性矩與慣性積：平行移軸定理與轉(zhuǎn)軸公式42Page§6-3彎曲切應力引言：問題的提出19世紀，鐵路開始發(fā)展，人們很不理解，枕木為什么沿縱向中截面開裂？梁的應力43Page

D.JJourawski(1821－1891)，俄國橋梁與鐵路工程師提出破壞原因：中性層切應力最大Jourawski理論的廣泛工程應用（矛盾解法的意義）梁中切應力近似理論：Todhunter與Pearson極其苛刻評語，Timoshenko評價Saint－Venant梁中切應力精確理論僅用于很少幾種實際情況FFq44Page工程薄壁結(jié)構(gòu)的大量使用是彎曲切應力研究的推動力45Page彎曲切應力分析假設:t

(y)

//

截面?zhèn)冗?，并沿截面寬度均勻分布思?

能否假設t

(y)沿截面高度均勻分布?一、矩形截面梁(h>b)的彎曲切應力46Page由圖示微體平衡：Sz(w)－面積

w

對中性軸

z

的靜矩ll47Pagel截面靜矩與慣性矩l最大切應力發(fā)生在中性軸lAFSmax23=t48Page

截面翹曲與非純彎推廣平截面假設不再嚴格成立矛盾解法切應力利用純彎正應力公式推導純彎正應力公式依據(jù)平截面假設切應力非均勻分布引起截面翹曲但當l

?h時，純彎正應力公式用于橫力彎曲仍然相當精確49Page彎曲切應力沿寬度分布(有限元解1）高度/寬度＝10/1～1/1（白顏色最大應力區(qū)間）50Page彎曲切應力沿寬度分布(有限元解2）高度/寬度＝1/1～1/10（白顏色最大應力區(qū)間）51Page垂直于剪力方向的彎曲切應力高度/寬度＝10/1～1/1（白顏色最大應力區(qū)間）52Page當

l>>h時，smax>>tmax橫截面上各點假設：t//側(cè)邊，或t//剪力

t沿截面寬度方向均勻分布D

h/b值對解的影響：F

h/b越大，解越精確。(h/b>2時，足夠精確)

彎曲正應力與彎曲切應力比較53Page二、對稱薄壁梁的彎曲切應力(1).切應力方向與分布假定(2)、計算的大小沿截面中心線1.問題分析沿截面厚度均勻依據(jù)：切應力互等定理同樣依據(jù)切應力互等定理，將橫向截面上的切應力計算轉(zhuǎn)化為縱向截面上的切應力計算。54Page二、對稱薄壁梁的彎曲切應力2.的計算55Page利用剪流概念，可以形象地確定的方向3、剪流——截面中心線單位長度上的剪力56Page問題：定性分析下述截面在B點的切應力，畫截面剪流的方向57Page剪流概念的應用：形象地確定的方向。中國最大內(nèi)陸河新疆塔里木河小論文題：試由有限元等方法評價剪流比擬的精度。58Page例：畫下述薄壁截面剪流，確定剪流方向問題：A處剪流的方向向上還是向下？59Page工字形截面梁的彎曲切應力翼緣60Page解：61Page§6-4梁的強度條件工字形鋼梁，運動載荷，有幾個可能的危險截面？幾個可能的危險點？62Page1.彎曲正應力梁應力公式回顧2.矩形截面梁的彎曲切應力3.對稱薄壁截面梁的彎曲切應力63Page梁的強度條件

彎曲正應力強度條件：彎曲切應力強度條件：

s,t

聯(lián)合作用強度條件（詳見第9章強度理論）smax：最大彎曲正應力；[s]：材料單向應力許用應力tmax：最大彎曲切應力；[t]：材料純剪切許用應力討論題：1.強度條件通常解決哪幾類問題？強度校核、截面形狀尺寸設計、確定許用載荷2.如何確定梁的危險截面與危險點？64Page例4-1簡易吊車梁，F(xiàn)=20kN，l=6m，[s]=100MPa，[t]=60MPa，選擇工字鋼型號關(guān)于危險截面的討論關(guān)于[s]與[t]兩個強度條件的討論梁的強度條件應用問題討論(1)65Page討論：如何確定可能危險截面畫剪力彎矩圖或列剪力彎矩方程分別確定剪力彎矩最大截面結(jié)論：關(guān)于正應力的危險截面是梁中截面關(guān)于切應力的危險截面是梁端截面注意：正應力與切應力危險截面不一定重合。66Page討論：如何確定可能危險點分析思路：畫截面應力分布圖。可能正應力危險點：a,d；可能切應力危險點：c?？赡苷龖颓袘β?lián)合作用危險點：b,b’（第九章討論）67Page解：1.內(nèi)力分析(確定危險截面）2.危險截面應力分析(確定危險點）可能正應力危險點：a或d可能切應力危險點：c正應力的危險截面是梁中截面切應力的危險截面是梁端截面68Page3.設計（選擇）

截面通常按正應力強度條件設計截面，由切應力強度條件校核思考：可否按t設計截面，由s校核，為什么？查教材P367,附錄F型鋼表：選№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切強度№22a滿足要求69Page

矩形截面梁的可能危險點可能危險點：a,d點，單向應力；c點，純剪切思考：為什么工字形截面須考慮s,t都較大的b點？70Page小結(jié)：梁強度條件的選用F

細長非薄壁梁：F

短粗梁、薄壁梁與

M小

FS大的梁：M

有時需考慮s,t聯(lián)合作用的強度條件梁強度問題的分析步驟：1、內(nèi)力分析——確定危險截面2、應力分析——確定危險點3、根據(jù)強度條件進行強度校核等。71Page例4-2：已知校核梁的強度。有幾個可能的危險截面？幾個可能的危險點？梁的強度條件應用問題討論(2)72Page討論：危險截面是否一定是彎矩絕對值最大截面？C截面：彎矩絕對值最大。a點拉應力，b點壓應力都可能達危險值。B截面：彎矩絕對值不是最大，但b點拉應力可能達危險值。畫剪力彎矩圖73Page解：計算截面形心與慣性矩為校核梁的強度，需計算B截面a點的拉應力與b點壓應力，C截面b點拉應力74PageC截面：B截面：·強度足夠75Page討論：將截面b端換成朝上是否合理？76Page（1）矩形截面（2）圓形截面討論：對于矩形與圓形截面，分析有何不同？梁的空間兩向?qū)ΨQ彎曲問題討論例4-3：已知，校核圖示懸臂梁的強度。77Page在H點，兩外力引起的最大拉應力疊加，在H’點，兩外力引起的絕對值最大的壓應力疊加，故為危險點。解：對于矩形和圓形截面，危險截面均為A（1)矩形截面，危險點分析：78Page解：（2）圓形截面危險截面亦為A思考：下述解答是否正確？

判斷關(guān)鍵：兩向最大應力是否能疊加？79Page圓形截面問題分析：

力F1最大拉應力發(fā)生在截面頂端，F(xiàn)2最大拉應力發(fā)生在截面右側(cè)，不能疊加，故不正確！80Page問題研究：最大應力不能疊加，怎么辦？O圓的關(guān)于任意直徑的對稱性，彎矩可以合成最大應力發(fā)生在圓截面的右上一點81Page作業(yè)(2,3版編號相同）6-13,6-16,6-17,6-1882Page上一講回顧（13）矩形截面梁的彎曲切應力:梁的強度條件：薄壁截面梁的彎曲切應力:剪流83Page§6-5梁的合理強度設計中國古代建筑的斗拱結(jié)構(gòu)（沈陽故宮）問題1：從中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)，你悟出了哪些力學原理？84Page問題2：在成都132廠11K車間里，技術(shù)員和工人正面臨著一個問題，如何用現(xiàn)有的起吊重量只有5T的吊車吊起10T的重物？經(jīng)過大家的認真思考和努力，改進了裝置，結(jié)果就吊起了10T的重物。請同學們想想他們是如何解決問題的。85Page問題3：汽車與火車鋼板彈簧設計中的力學問題。86Page引言：梁合理強度設計的理論依據(jù)與設計思路合理強度設計基本思路增大Wz、Iz與降低M87Page讓材料遠離中性軸：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等一、梁的合理截面形狀增大W、Iz措施：為防止切應力破壞，腹板也不能太薄88Page通過截面設計充分利用材料力學性質(zhì)：如脆性材料拉壓強度不相等的性質(zhì)截面等強設計脆性材料梁89Page答:位置1合理。應用例：從拉壓強度考慮,圖示鑄鐵工字梁截面,跨中腹板鉆一個孔,哪一個是合理位置?問題分析：因為鑄鐵抗壓不抗拉，合理的位置是使最大拉應力減小，最大壓應力可增加。90Page由Iz與Wz的區(qū)別看強度與剛度設計的不同去掉陰影部分可提高強度，不能提高剛度91Page二、變截面梁與等強度梁（與載荷分布匹配的合理截面形狀）－彎曲等強條件等強度梁－各截面具有同樣強度的梁－剪切等強條件92Page討論鋼板彈簧設計中的力學問題。變寬度等強梁不方便工程應用，切成條后沿高度疊放鋼板彈簧受力的力學模型：93Page三、梁的合理受力（降低彎矩M）

a=?[F]最大.Q

合理安排約束94PageQ

合理安排加載方式—盡量分散載荷95Page在成都132廠11K車間里，技術(shù)員和工人正面臨著一個問題，如何用現(xiàn)有的起吊重量只有5T的吊車吊起10T的重物？經(jīng)過大家的認真思考和努力，改進了裝置，結(jié)果就吊起了10T的重物。請同學們想想他們是如何解決問題的。96Page例2：中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)分析97Page中國古建筑的斗拱結(jié)構(gòu)分析98PageQ

加配重趣味小問題：兩人帶了一塊長度超過溝寬的板，但一人在溝中點時的彎矩稍微超過板強度，這兩人能想出辦法過溝嗎？辦法：一人作配重99Page

配重降低最大彎矩作用分析laaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+--laFaMPaPa-100Page§6-6彎拉(壓)組合與截面核心下圖：載荷在端截面內(nèi)時，柱內(nèi)是否可能拉應力破壞？右圖：桿另一側(cè)對稱開一缺口，桿內(nèi)最大應力是增加還是減?。?01Page一、彎拉(壓)組合的應力彎拉組合偏心拉壓(外力平行且偏離軸線)（橫向載荷＋軸向載荷）工程實例：102Page彎拉（壓）組合分析危險點處－單向應力內(nèi)力－FN，M103Page偏心拉壓實驗方案設計：已知矩形桿橫截面積A=bh，材料彈性模量E，試由電測法測量軸向載荷F和偏心距d。請設計布片方案、橋路、寫出與讀數(shù)應變關(guān)系式。ddFF12●●●●●●ABCDR2R1R4R3設計思路討論：1、2兩點應力由拉伸與彎曲正應力構(gòu)成應變儀讀數(shù)應變實驗方案：①上下表面1、2布片②測量F，應變片分別接AB、CD段③測量d，應變片分別接AB、BC段104PageddFF12●●●●●●ABCDR2R1R4R3e1e2etet解：1）測量軸力F布片方案與橋路如圖，是溫度補償片。105Page●●●●●●ABCDR2R1R4R3e1e2解：2）測量偏心距dddFF12h106Page解：單側(cè)開口情形雙側(cè)開口情形例：矩形桿寬h，厚b，軸向載荷F，一側(cè)深xh缺口，求桿內(nèi)最大應力隨x變化，與雙側(cè)開口情況比較。(0<x<0.5)107Page雙側(cè)開口較小當時，一定條件下，雙側(cè)開同樣缺口能降低最大應力單雙側(cè)開口最大應力比較108Page例：鋼繩橫截面積A，彈性模量E，許用應力[σ]，滑輪直徑D，求許用拉力F。(1)