第二章機(jī)器人靜力分析與動(dòng)力學(xué)

2.3機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究有多種方法。如：牛頓-歐拉方程（Newton-Euler)法、拉格朗日方程（Langrange)、高斯法（Gauss)、凱恩法(Kane)及羅伯遜-魏登堡法(Roberon-Wittenburg)等。主要介紹常用的牛頓-歐拉方程和拉格朗日方程。

第6次2.3.1歐拉方程即牛頓-歐拉方程：研究構(gòu)件質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)使用牛頓方程，研究相對(duì)于構(gòu)件質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關(guān)系。質(zhì)量為m、質(zhì)心在C點(diǎn)的剛體，作用在其質(zhì)心的力F的大小與質(zhì)心加速度aC的關(guān)系為

F

=maC

式中：F

、aC

為三維矢量。上式稱為牛頓方程。欲使剛體得到角速度為ω、角加速度為ε的轉(zhuǎn)動(dòng)，則作用在剛體上力矩M的大小為

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均為三維矢量；CI為剛體相對(duì)于原點(diǎn)通過(guò)質(zhì)心C并與剛體固結(jié)的剛體坐標(biāo)系的慣性張量。上式即為歐拉方程。

在三維空間運(yùn)動(dòng)的任一剛體，其慣性張量CI可用質(zhì)量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素的3×3階矩陣或4×4階齊次坐標(biāo)矩陣來(lái)表示。通常將描述慣性張量的參考坐標(biāo)系固定在剛體上，以方便剛體運(yùn)動(dòng)的分析。這種坐標(biāo)系稱為剛體坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱體坐標(biāo)系)。2.3.2拉格朗日方程主要應(yīng)用拉格朗日方程建立起機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程?？芍苯颖硎緸橄到y(tǒng)控制輸入的函數(shù)，若采用齊次坐標(biāo)，遞推的拉格朗日方程也可建立比較方便而有效的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)于任何機(jī)械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總動(dòng)能Ek與總勢(shì)能Ep之差，即

L=Ek–Ep由拉格朗日函數(shù)L所描述的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的拉格朗日方程為式中：L為拉格朗日函數(shù)；n為連桿數(shù)目；qi為系統(tǒng)選定的廣義坐標(biāo)，單位為m或rad；為廣義速度，單位為m/s或rad/s；Fi為作用在第i個(gè)坐標(biāo)上的廣義力或力矩，單位為N或N·m?？紤]式(2.24)中不顯含，上式可寫成應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意：

1)系統(tǒng)的勢(shì)能Ep僅是廣義坐標(biāo)qi的函數(shù)，而動(dòng)能Ek是qi、及時(shí)間t的函數(shù)，因此拉格朗日函數(shù)可以寫成

L=L

(qi，，t)。

2)若是線位移，則是線速度，對(duì)應(yīng)的廣義力Fi就是力；若qi是角位移，則是角速度，對(duì)應(yīng)的廣義力Fi是力矩。2.3.3平面關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間，因此，簡(jiǎn)化解的過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類：

1)給出已知的軌跡點(diǎn)上的、及，即機(jī)器人關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量τ。

2)給出關(guān)節(jié)力矩向量τ，求機(jī)器人所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)、及。，機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程機(jī)器人是結(jié)構(gòu)復(fù)雜的連桿系統(tǒng)，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)其位姿和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的具體推導(dǎo)過(guò)程如下：

1)

選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi，i=1,2,…,n。

2)

選定相應(yīng)關(guān)節(jié)上的廣義力Fi。當(dāng)qi是位移變量時(shí)，F(xiàn)i為力；當(dāng)qi是角度變量時(shí)，F(xiàn)i為力矩。

3)求出機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。

4)

代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。，[例]圖示的二自由度機(jī)器人，機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程。

1）選定廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力選取笛卡兒坐標(biāo)系。連桿1和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別是轉(zhuǎn)角θ1和θ2，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2相應(yīng)的力矩是τ1和τ2。連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是m1和m2，桿長(zhǎng)分別為l1和l2，質(zhì)心分別在k1和k2處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為p1和p2。桿1質(zhì)心k1的位置坐標(biāo)為桿1質(zhì)心k1速度的平方為桿2質(zhì)心k2的位置坐標(biāo)為桿2質(zhì)心k2速度的平方為2）系統(tǒng)動(dòng)能i=1，23）系統(tǒng)勢(shì)能i=1，2

Ep1=m1gp1(1–

c1)

Ep2=m2gl1(1–

c1)+m2gp2(1–

c12)4）拉格朗日函數(shù)5）系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)拉格朗日方程式計(jì)算各關(guān)節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。①計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩τ1

②

計(jì)算關(guān)節(jié)2上的力矩τ2

τ1

、

τ2分別表示了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩與關(guān)節(jié)位移、速度、加速度之間的關(guān)系，即力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系稱為機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。說(shuō)明：從上面推導(dǎo)可以看出，很簡(jiǎn)單的二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程已經(jīng)很復(fù)雜，包含了很多因素，這些因素都在影響機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于比較復(fù)雜的多自由度機(jī)器人，其動(dòng)力學(xué)方程更龐雜，推導(dǎo)過(guò)程更為復(fù)雜，不利于機(jī)器人的實(shí)時(shí)控制。

故進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，通常進(jìn)行下列簡(jiǎn)化：

1)當(dāng)桿件長(zhǎng)度不太長(zhǎng)，重量很輕時(shí)，重力矩項(xiàng)可以省略。

2)當(dāng)關(guān)節(jié)速度不太大，機(jī)器人不是高速機(jī)器人時(shí)，含有、及的項(xiàng)可以省略。

3)當(dāng)關(guān)節(jié)加速度不太大，即關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)的升、降速比較平穩(wěn)時(shí)，含有、的項(xiàng)有時(shí)可以省略。。

關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)

1）關(guān)節(jié)空間和操作空間

n個(gè)自由度操作臂的末端位姿X由n個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n個(gè)關(guān)節(jié)變量也叫做關(guān)節(jié)矢量q，所有關(guān)節(jié)矢量q構(gòu)成了關(guān)節(jié)空間。末端執(zhí)行器的作業(yè)是在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐標(biāo)空間中描述的，因此把這個(gè)空間叫做操作空間。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程X=X(q)就是關(guān)節(jié)空間向操作空間的映射；而運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解則是由映射求其在關(guān)節(jié)空間中的原象。在關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)方程有不同的表示形式，并且兩者之間存在著一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

；；關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)2）關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)方程將例子中運(yùn)動(dòng)方程寫成矩陣形式

式中：

上式就是操作臂在關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)方程的一般結(jié)構(gòu)形式。對(duì)于n個(gè)關(guān)節(jié)的操作臂，D(q)是n×n的正定對(duì)稱矩陣，是q的函數(shù)，稱為操作臂的慣性矩陣；是n×1的離心力和科氏力矢量；G(q)是n×1的重力矢量，與操作臂的形位q有關(guān)。

3）操作空間動(dòng)力學(xué)方程與關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程相對(duì)應(yīng)，在操作空間中可以用直角坐標(biāo)變量即末端操作器位姿的矢量X表示機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。因此，操作力F與末端加速度之間的關(guān)系可表示為

式中：、、分別為操作空間慣性矩陣、離心力和科氏力矢量、重力矢量，它們都是在操作空間中表示的；F是廣義操作力矢量。

、關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程和操作空間動(dòng)力學(xué)方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以通過(guò)廣義操作力F與廣義關(guān)節(jié)力τ之間的關(guān)系和操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度、加速度的關(guān)系式求出。、2.4機(jī)械手動(dòng)態(tài)特性

動(dòng)態(tài)特性指：工作精度、重復(fù)能力、穩(wěn)定性、空間分辨率1）穩(wěn)定性穩(wěn)定性指系統(tǒng)、裝置或工具運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，無(wú)振蕩問(wèn)題。對(duì)機(jī)械系統(tǒng)主要有系統(tǒng)的自激振動(dòng)；對(duì)電子系統(tǒng)，主要指其自激振蕩；對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)，除上述兩者外，還有其機(jī)電耦合振蕩。如機(jī)械手的抖動(dòng)。2）空間分辨率空間分辨率是描述機(jī)器人工具末端運(yùn)動(dòng)所達(dá)到的最小運(yùn)動(dòng)增量。3）精度用下列三個(gè)因素的集合來(lái)描述精度1）各控制部件的分辨率；2）各機(jī)械部件的偏差；3）最近