第十一章-動(dòng)量矩定理

11動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩動(dòng)量矩定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程引言

由靜力學(xué)力系簡(jiǎn)化理論知：平面任意力系向任一簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。若將簡(jiǎn)化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上，則動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)側(cè)面。剛體相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)變化與外力系對(duì)質(zhì)心的主矩的關(guān)系將由本章的動(dòng)量矩定理給出。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的另一個(gè)側(cè)面。1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩，是矢量。11.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩xyzqOmvlO(mv)lz(mv)r

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對(duì)于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于z軸的矩，簡(jiǎn)稱對(duì)于z軸的動(dòng)量矩，是代數(shù)量。

類似于力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于對(duì)z的動(dòng)量矩。在國際單位制中，動(dòng)量矩的單位是kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩[lO(mv)]z＝lz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩LO=ΣlO(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和。Lz=Σlz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該軸的動(dòng)量矩。[LO]z=Lz3平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩剛體平移時(shí)，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩。剛體的動(dòng)量矩4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩令Jz＝Σmiri2

稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,于是得即：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2物體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3物體對(duì)各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4物體對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由定義可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的，而它對(duì)某定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，必須指明它是對(duì)哪一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計(jì)算剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其定義為如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將物體的質(zhì)量集中到一點(diǎn)處，并保持物體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，則該點(diǎn)到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長(zhǎng)度。對(duì)于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同?；剞D(zhuǎn)半徑(慣性半徑)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1求幾何簡(jiǎn)單物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2求可分為幾個(gè)簡(jiǎn)單形體的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3求復(fù)雜或非均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定同一物體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般不同。

1.均質(zhì)細(xì)桿簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z1dxxxCzdxxxOl

設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，取微段dx,則

2.均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。則3.均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：物體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=物體對(duì)通過其質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量+物體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。對(duì)一組平行軸而言，物體對(duì)通過其質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。

證明：因平行軸定理y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1

由質(zhì)心坐標(biāo)公式

由定理可知：剛體對(duì)于所有平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在質(zhì)心C時(shí),yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得平行軸定理

例

如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對(duì)z1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，求桿對(duì)z2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2

。解：由，得平行軸定理(1)－(2)得zz1z2abC

例

均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：組合剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例1均質(zhì)圓盤可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤間無相對(duì)滑動(dòng)，求系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩。解：LO的轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針方向。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

例2均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：(a)圓盤與桿固結(jié)；(b)圓盤繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)；(c)圓盤繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。解：(a)(b)(c)11.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為L(zhǎng)O(mv)，作用力F對(duì)同一點(diǎn)的矩為MO(F)，如圖所示。11.2

動(dòng)量矩定理xyzOLO(mv)mvrMO(F)F將動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)，得11.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗詘yzOLO(mv)mvrMO(F)F質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩。

將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系代入，得質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對(duì)同一軸的矩。11.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。例3圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長(zhǎng)為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動(dòng)），它就在經(jīng)過O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)。求此單擺在微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：以擺錘為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時(shí)，擺錘的速度為v，擺的偏角為j，則式中負(fù)號(hào)表示力矩的正負(fù)號(hào)恒與角坐標(biāo)j的正負(fù)號(hào)相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢(shì)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理MyxNvmg由即這就是單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。當(dāng)j很小時(shí)擺作微擺動(dòng)，sinj

≈j，于是上式變?yōu)榇宋⒎址匠痰慕鉃槠渲蠥和a為積分常數(shù)，取決于初始條件?？梢妴螖[的微幅擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。擺動(dòng)的周期為顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。得

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為外力Fi(e)

和內(nèi)力Fi(i)

。由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有這樣的方程共有n個(gè)，相加后得由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，因此上式右端的第二項(xiàng)11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理上式左端為于是得11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和。在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理時(shí)，取投影式質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一軸的矩的代數(shù)和。11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)(或定軸)之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。11.2.3

動(dòng)量矩守恒定理當(dāng)外力對(duì)于某定點(diǎn)(或某定軸)的主矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變。2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律例4水平桿AB長(zhǎng)2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞z軸的角速度為w0。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即顯然，此時(shí)的角速度w＜w

0。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象例5

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應(yīng)用動(dòng)量矩定理OPWvmgFOxFOyw例6一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，并且開始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對(duì)速度va的大小為由于SMO(F(e))＝0，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對(duì)繩的速度的一半。如果開始時(shí)，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy

設(shè)剛體繞定軸z以角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，則Lz＝

Jzw。11.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程xyzFN1FN2FnF1F2剛體受有主動(dòng)力和軸承約束反力，如不計(jì)摩擦，則由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理得或11.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程。

應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程可以解決動(dòng)力學(xué)兩類問題。例7如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，帶動(dòng)滑輪的皮帶拉力為F1和F2

。求滑輪的角加速度ε

。

解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程于是得由上式可見，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORε定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例8圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求微小擺動(dòng)的周期。

解：設(shè)j角以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。?dāng)j角為正時(shí)，重力對(duì)O點(diǎn)之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有當(dāng)微擺動(dòng)時(shí)，有sinj

≈j

，故方程寫為此方程通解為j

0為角振幅，ε

為初相位。它們均由初始條件確定。擺動(dòng)周期為mg這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于O點(diǎn)作微幅擺動(dòng)，測(cè)出擺動(dòng)周期后即可計(jì)算出此物體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對(duì)象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nM

如圖所示，O為固定點(diǎn)，C為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)mi于是11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理由于rir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩。于是得即：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動(dòng)量mvC對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩再加上此系統(tǒng)對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩LC(應(yīng)為矢量和)。11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理可寫成令展開上式,注意右端項(xiàng)中ri＝rC+ri',于是上式化為上式右端是外力對(duì)質(zhì)心的主矩，于是得因?yàn)橛谑巧鲜匠蔀橘|(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩。11.5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

由剛體平面運(yùn)動(dòng)理論知：平面運(yùn)動(dòng)剛體的位置可由基點(diǎn)的位置與剛體繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)角確定。取質(zhì)心為基點(diǎn)，如圖所示，則剛體的位置可由質(zhì)心坐標(biāo)和j角確定。剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。取如圖的動(dòng)坐標(biāo)系，則剛體繞質(zhì)心的動(dòng)量矩為JC為剛體過質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程y'x'xyOCD

設(shè)作用在剛體上的外力可向質(zhì)心所在平面簡(jiǎn)化為一平面力系，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得上式也可寫成11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程y'x'xyOCD以上兩式稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。應(yīng)用時(shí)，前一式取其投影式。即11.6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程

例10一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無初速地放在傾角為q的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力，求其質(zhì)心的加速度。

解：以圓柱體為研究對(duì)象。圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)形式，取