第十一章-動量矩定理

11動量矩定理

質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩動量矩定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程引言

由靜力學(xué)力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉(zhuǎn)動。若將簡化中心和基點取在質(zhì)心上，則動量定理(質(zhì)心運動定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運動的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機械運動規(guī)律的一個側(cè)面。剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運動變化與外力系對質(zhì)心的主矩的關(guān)系將由本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機械運動規(guī)律的另一個側(cè)面。1質(zhì)點的動量矩

質(zhì)點Q的動量對于點O的矩，定義為質(zhì)點對于點O的動量矩，是矢量。11.1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩xyzqOmvlO(mv)lz(mv)r

質(zhì)點動量mv在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對于點O的矩，定義為質(zhì)點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩，是代數(shù)量。

類似于力對點之矩和力對軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點對點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z的動量矩。在國際單位制中，動量矩的單位是kg·m2/s。質(zhì)點的動量矩[lO(mv)]z＝lz(mv)質(zhì)點系對某點O的動量矩等于各質(zhì)點對同一點O的動量矩的矢量和。質(zhì)點系的動量矩2質(zhì)點系的動量矩LO=ΣlO(mv)質(zhì)點系對某軸z的動量矩等于各質(zhì)點對同一z軸的動量矩的代數(shù)和。Lz=Σlz(mv)質(zhì)點系對某點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影，等于質(zhì)點系對該軸的動量矩。[LO]z=Lz3平動剛體的動量矩剛體平移時，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點計算其動量矩。剛體的動量矩4定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩令Jz＝Σmiri2

稱為剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量,于是得即：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。轉(zhuǎn)動慣量1物體對軸的轉(zhuǎn)動慣量2物體對點的轉(zhuǎn)動慣量3物體對各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量4物體對坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量由定義可知，轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布有關(guān)；在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的單位是:kg·m2。同一剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的，而它對某定軸的轉(zhuǎn)動慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉(zhuǎn)動慣量。

在工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量，其定義為如果已知回轉(zhuǎn)半徑，則物體的轉(zhuǎn)動慣量為

回轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將物體的質(zhì)量集中到一點處，并保持物體對軸的轉(zhuǎn)動慣量不變，則該點到軸的距離就等于回轉(zhuǎn)半徑的長度。對于幾何形狀相同的均質(zhì)物體，其回轉(zhuǎn)半徑相同?；剞D(zhuǎn)半徑(慣性半徑)轉(zhuǎn)動慣量1求幾何簡單物體的轉(zhuǎn)動慣量2求可分為幾個簡單形體的物體的轉(zhuǎn)動慣量3求復(fù)雜或非均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量用實驗方法測定同一物體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般不同。

1.均質(zhì)細(xì)桿簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量z1dxxxCzdxxxOl

設(shè)均質(zhì)細(xì)桿長l，質(zhì)量為m，取微段dx,則

2.均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為R。則3.均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為R。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理：物體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量=物體對通過其質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量+物體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。對一組平行軸而言，物體對通過其質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。

證明：因平行軸定理y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1

由質(zhì)心坐標(biāo)公式

由定理可知：剛體對于所有平行軸的轉(zhuǎn)動慣量，過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。當(dāng)坐標(biāo)原點取在質(zhì)心C時,yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得平行軸定理

例

如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，對z1軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1，求桿對z2的轉(zhuǎn)動慣量J2

。解：由，得平行軸定理(1)－(2)得zz1z2abC

例

均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3m，求其對軸O的轉(zhuǎn)動慣量。解：組合剛體的轉(zhuǎn)動慣量

例1均質(zhì)圓盤可繞軸O轉(zhuǎn)動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤間無相對滑動，求系統(tǒng)對軸O的動量矩。解：LO的轉(zhuǎn)向沿逆時針方向。質(zhì)點系的動量矩

例2均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿固結(jié)；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w順時針方向轉(zhuǎn)動。解：(a)(b)(c)11.2.1質(zhì)點的動量矩定理

設(shè)質(zhì)點對固定點O的動量矩為LO(mv)，作用力F對同一點的矩為MO(F)，如圖所示。11.2

動量矩定理xyzOLO(mv)mvrMO(F)F將動量矩對時間取一次導(dǎo)數(shù)，得11.2.1

質(zhì)點的動量矩定理因為所以又因為所以xyzOLO(mv)mvrMO(F)F質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。

將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系代入，得質(zhì)點對某固定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點所受的力對同一軸的矩。11.2.1

質(zhì)點的動量矩定理

必須強調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。例3圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動），它就在經(jīng)過O點的鉛垂平面內(nèi)擺動。求此單擺在微小擺動時的運動規(guī)律。解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時，擺錘的速度為v，擺的偏角為j，則式中負(fù)號表示力矩的正負(fù)號恒與角坐標(biāo)j的正負(fù)號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。質(zhì)點的動量矩定理MyxNvmg由即這就是單擺的運動微分方程。當(dāng)j很小時擺作微擺動，sinj

≈j，于是上式變?yōu)榇宋⒎址匠痰慕鉃槠渲蠥和a為積分常數(shù)，取決于初始條件。可見單擺的微幅擺動為簡諧運動。擺動的周期為顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。得

設(shè)質(zhì)點系內(nèi)有n個質(zhì)點，作用于每個質(zhì)點的力分為外力Fi(e)

和內(nèi)力Fi(i)

。由質(zhì)點的動量矩定理有這樣的方程共有n個，相加后得由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的第二項11.2.2

質(zhì)點系的動量矩定理上式左端為于是得11.2.2

質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系對某固定點O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和。在應(yīng)用質(zhì)點系的動量矩定理時，取投影式質(zhì)點系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和。11.2.2

質(zhì)點系的動量矩定理

必須強調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完全一致。1.質(zhì)點動量矩守恒定律如果作用在質(zhì)點上的力對某定點(或定軸)之矩恒等于零，則質(zhì)點對該點(或該軸)的動量矩保持不變。11.2.3

動量矩守恒定理當(dāng)外力對于某定點(或某定軸)的主矩等于零時，質(zhì)點系對于該點(或該軸)的動量矩保持不變。2.質(zhì)點系動量矩守恒定律例4水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞z軸的角速度為w0。如某時此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計各桿的質(zhì)量，求這時系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，即顯然，此時的角速度w＜w

0。解：取系統(tǒng)為研究對象例5

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應(yīng)用動量矩定理OPWvmgFOxFOyw例6一繩跨過定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計，并且開始時系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對速度va的大小為由于SMO(F(e))＝0，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對繩的速度的一半。如果開始時，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy

設(shè)剛體繞定軸z以角速度w轉(zhuǎn)動，則Lz＝

Jzw。11.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程xyzFN1FN2FnF1F2剛體受有主動力和軸承約束反力，如不計摩擦，則由質(zhì)點系動量矩定理得或11.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。以上各式均稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程。

應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程可以解決動力學(xué)兩類問題。例7如圖所示，已知滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，帶動滑輪的皮帶拉力為F1和F2

。求滑輪的角加速度ε

。

解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程于是得由上式可見，只有當(dāng)定滑輪勻速轉(zhuǎn)動（包括靜止）或雖非勻速轉(zhuǎn)動，但可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORε定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動微分方程例8圖示物理擺的質(zhì)量為m，C為其質(zhì)心，擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。求微小擺動的周期。

解：設(shè)j角以逆時針方向為正。當(dāng)j角為正時，重力對O點之矩為負(fù)。由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有當(dāng)微擺動時，有sinj

≈j

，故方程寫為此方程通解為j

0為角振幅，ε

為初相位。它們均由初始條件確定。擺動周期為mg這就表明，如已知某物體的質(zhì)量和質(zhì)心位置，并將物體懸掛于O點作微幅擺動，測出擺動周期后即可計算出此物體對于O軸的轉(zhuǎn)動慣量。例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，有由運動學(xué)關(guān)系，得注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nM

如圖所示，O為固定點，C為質(zhì)點系的質(zhì)心，質(zhì)點系對于固定點的動量矩為對于任一質(zhì)點mi于是11.5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理由于rir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩。于是得即：質(zhì)點系對任一點O的動量矩等于集中于質(zhì)心的系統(tǒng)動量mvC對于O點的動量矩再加上此系統(tǒng)對于質(zhì)心的動量矩LC(應(yīng)為矢量和)。11.5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理

質(zhì)點系對于固定點O的動量矩定理可寫成令展開上式,注意右端項中ri＝rC+ri',于是上式化為上式右端是外力對質(zhì)心的主矩，于是得因為于是上式成為質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。11.5質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理

由剛體平面運動理論知：平面運動剛體的位置可由基點的位置與剛體繞基點的轉(zhuǎn)角確定。取質(zhì)心為基點，如圖所示，則剛體的位置可由質(zhì)心坐標(biāo)和j角確定。剛體的運動可分解為隨同質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。取如圖的動坐標(biāo)系，則剛體繞質(zhì)心的動量矩為JC為剛體過質(zhì)心且垂直于圖示平面軸的轉(zhuǎn)動慣量。11.6剛體的平面運動微分方程y'x'xyOCD

設(shè)作用在剛體上的外力可向質(zhì)心所在平面簡化為一平面力系，由質(zhì)心運動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理得上式也可寫成11.6剛體的平面運動微分方程y'x'xyOCD以上兩式稱為剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時，前一式取其投影式。即11.6剛體的平面運動微分方程

例10一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無初速地放在傾角為q的斜面上，不計滾動阻力，求其質(zhì)心的加速度。

解：以圓柱體為研究對象。圓柱體在斜面上的運動形式，取