第五章點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)

教師：袁方強(qiáng)甘肅民族師范學(xué)院第五章點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)實(shí)際上，對于一切機(jī)械運(yùn)動的描述都有其相對性。例如，相對于地面是鉛垂下落的雨滴，相對于行進(jìn)中的人來說則是傾斜迎面下落的。因此，在描述物體的機(jī)械運(yùn)動時(shí)，必須指明這一機(jī)械運(yùn)動是相對于什么物體來說的，否則就毫無意義。凡可借以確定被研究物體位置和運(yùn)動的其他物體稱為該被研究物體的參考體。而與參考體相固結(jié)的整個(gè)延伸空間或坐標(biāo)系稱為參考系或參考坐標(biāo)系。在一般的工程問題中，如未特別說明，則通常取固結(jié)在地面上的坐標(biāo)系為參考系。5-1運(yùn)動學(xué)的基本概念在研究物體的運(yùn)動時(shí)，要區(qū)別兩個(gè)與時(shí)間有關(guān)的概念，即時(shí)間間隔和瞬時(shí)。時(shí)間間隔是指物體在不間斷的運(yùn)動中，從一個(gè)位置運(yùn)動到另一個(gè)位置所經(jīng)歷的時(shí)間，它對應(yīng)于物體運(yùn)動的某一過程；瞬時(shí)是指時(shí)間間隔趨近于零的一剎那，它對應(yīng)于物體在運(yùn)動過程中的某一位置和狀態(tài)。5-2用矢量法研究點(diǎn)的運(yùn)動在給定的參考系中，描述點(diǎn)的空間位置隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為點(diǎn)的運(yùn)動方程。為了確定動點(diǎn)M在任一瞬時(shí)的位置，可選取參考體上某固定點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn)，自O(shè)點(diǎn)向動點(diǎn)M作矢量r=OM（如圖所示），稱為r為動點(diǎn)M相對于固定點(diǎn)O的位置矢徑。顯然動點(diǎn)M的位置與矢徑存在一一對應(yīng)的關(guān)系。上式稱為點(diǎn)的矢量形式的運(yùn)動方程。動點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，其矢徑r的末端在空間所描出的曲線稱為矢徑端跡。顯然，矢徑端跡就是動點(diǎn)的軌跡。

設(shè)在瞬時(shí)t，動點(diǎn)位于M，其矢徑為r，在瞬時(shí)t+Δt，動點(diǎn)位于M’，其矢徑為r’（如圖所示），在時(shí)間間隔Δt內(nèi)矢徑r的改變量Δr=r’-r，就是動點(diǎn)在Δt內(nèi)的位移。令，v*稱為動點(diǎn)在Δt內(nèi)的平均速度，用來表示動點(diǎn)在Δt內(nèi)平均運(yùn)動的快慢和運(yùn)動方向。當(dāng)Δt趨近于零時(shí)，平均速度v*的極限稱為動點(diǎn)在瞬時(shí)t的速度，以v表示之，有

即動點(diǎn)的速度等于其矢徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

即動點(diǎn)的加速度等于其速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于矢徑對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。5-3用直角坐標(biāo)法研究點(diǎn)的運(yùn)動當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，其坐標(biāo)x、y、z均隨時(shí)間連續(xù)不斷地變化，它們都是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，故有：上式稱為點(diǎn)的直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動方程。由上式三個(gè)方程中的前兩式和后兩式分別消去時(shí)間參數(shù)，可得母線分別平行于z軸和x軸的兩個(gè)曲面方程，即由于動點(diǎn)的空間位置既可以用矢徑r表示，也可以用直角坐標(biāo)x、y、z表示。當(dāng)矢徑的原點(diǎn)和直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合時(shí)，坐標(biāo)x、y、z分別為矢徑r在各對應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影，所以矢徑r可用沿直角坐標(biāo)軸的分解式表示，即由于直角坐標(biāo)系Oxyz是固定的，所以i、j、k是大小、方向均不隨時(shí)間變化的常矢量。將式（5-6）兩端對時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，得（5-6）若以vx、vy、vz分別表示速度v在直角坐標(biāo)系x、y、z軸上的投影。則有所以即速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)變量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。由速度在直角坐標(biāo)軸上的投影可求出其大小和方向，即加速度若以ax、ay、az分別表示加速度a在直角坐標(biāo)軸x、y、z軸上的投影，則有即加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)的速度在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等于動點(diǎn)的對應(yīng)坐標(biāo)變量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。由加速度在坐標(biāo)軸上的投影可求出其大小和方向例5-1曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA繞O軸以?=ωt的規(guī)律轉(zhuǎn)動（ω為已知常數(shù)），并通過連桿AB帶動滑塊B在水平滑到內(nèi)滑動。設(shè)連桿AB與曲柄OA的長度相等，即OA=AB=l，運(yùn)動開始時(shí)曲柄在水平向右位置，試求連桿AB中點(diǎn)C的軌跡、速度和加速度。（1）求C點(diǎn)的軌跡，由幾何關(guān)系可得將時(shí)間t消去，得：（2）求C點(diǎn)的速度將運(yùn)動時(shí)間方程對時(shí)間求導(dǎo)：故C點(diǎn)的速度大小為：速度的方向余弦為：（3）求C點(diǎn)的加速度故C點(diǎn)的加速度為：其方向余弦為：5-4用自然法研究點(diǎn)的運(yùn)動如圖所示，在動點(diǎn)的軌跡曲線上任取相鄰兩點(diǎn)M點(diǎn)和M’點(diǎn)，分別過M和M’點(diǎn)做軌跡的切線MT和M’T’，一般情況下這兩條切線并不在同一平面上。過M點(diǎn)作與切線M’T’平行的直線MT1，則MT和MT1可確定一平面P。過M點(diǎn)作一與密切面垂直的平面（法平面），發(fā)平面與密切面相交的直線稱為主法線。在法平面內(nèi)過M點(diǎn)，且與主法線垂直的直線稱為次法線。

速度加速度切向加速度切向加速度是反應(yīng)速度大小隨時(shí)間變化快慢的物理量，它等于速度代數(shù)量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或等。法向加速度

所以，加速度為加速度分別在切向軸、主法線軸和次法線軸上的投影為加速度大小為：加速度的方向：加速度a位于密切面內(nèi)，且指向軌跡凹的一側(cè)或沿切線方向。幾種特殊情況1.勻變速曲線運(yùn)動2.勻速曲線運(yùn)動3.直線運(yùn)動例5-2列車沿半徑為R=500m的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動。如初速度為零，經(jīng)過100s后，速度達(dá)到54km/h。求起點(diǎn)和末點(diǎn)的加速度。

5-6汽車在半徑R=250m的一段圓弧道路上行駛，在20s內(nèi)其速度由36km/h均勻的增加到54km/h。求汽車在20s末的加速度。

自然法：

直角坐標(biāo)系：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)