第五章大數(shù)定律和中心極限定理1

第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律§2中心極限定理退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律大數(shù)定律的定義切比曉夫大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理問題：測量一個(gè)工件時(shí)，由于測量具有誤差，為什么以各次的平均值來作為測量的結(jié)果？而且只要測量的次數(shù)足夠多，總可以達(dá)到要求的精度？我們把這問題給出數(shù)學(xué)表達(dá)：這里反映了什么樣的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律呢？如果工件的真值為退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理即大量測量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。這就是大數(shù)定律所闡述的。測量的經(jīng)驗(yàn)就是：退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定義1若對(duì)任意想想：數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機(jī)變量序列

收斂性的區(qū)別。一、定義退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理定義2對(duì)任意§1大數(shù)定律退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理1回憶數(shù)列的性質(zhì)，比較它們的相似和不同性。退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2（契比雪夫大數(shù)定律）

且具有相同的數(shù)學(xué)期望及方差，退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理由切比曉夫不等式得：證：思考：能否把定理中獨(dú)立性條件減弱？退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理3（貝努里大數(shù)定律）(Bernoulli大數(shù)定律)證：令§1大數(shù)定律退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理由定理2有該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義?！?大數(shù)定律退出前一頁后一頁目錄§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。定理4（辛欽大數(shù)定律）且具有數(shù)學(xué)期望思考：比較辛欽大數(shù)定律與切比曉夫大數(shù)定律條件的

差別及強(qiáng)弱。退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理定義獨(dú)立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理德莫佛-拉普拉斯定理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理一、定義退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布的中心極限定理）中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。二、中心極限定理退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2（李雅普諾夫定理）(Liapunov定理)則服從中心極限定理，即：退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理由定理1有結(jié)論成立。定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)證明：由二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系知其中相互獨(dú)立且都服從于兩點(diǎn)分布，且§2中心極限定理退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理推論：說明：這個(gè)公式給出了n較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率

計(jì)算方法。退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例1車間有200臺(tái)車床，它們獨(dú)立地工作著，開工率為0.6,開工時(shí)耗電各為1千瓦，問供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力才能以99.9%的概率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。設(shè)至少要供給這個(gè)車間r千瓦電才能以99.9%的概率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。由題意有解：記某時(shí)刻工作著的車床數(shù)為X，則X~B(200,0.6).退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理即供給141千瓦電就能以99.9%的概率保證這個(gè)車間正常生產(chǎn)。退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)：由上面的定理知用這個(gè)關(guān)系式可解決許多計(jì)算問題。退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理第一類問題是第二類問題是問最少應(yīng)做多少次試驗(yàn)？這時(shí)只需求滿足下式的最小的n,第三類問題是退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例2今從良種率為1/6的種子中任取6000粒，問能以0.99的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與1/6的差的絕對(duì)值不超過多少？相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？解：由德莫佛-拉普拉斯定理退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理故近似地有退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理良種粒數(shù)X的范圍為退出前一頁后一頁目錄§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例3系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的損壞率為0.1。系統(tǒng)要正常工作，至少有85個(gè)部件正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率。解：由德莫佛-拉普拉斯定理有則X~B(100,0.1)。則整個(gè)系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)X是損壞的部件數(shù)，退出前一頁后一頁目錄第五章大數(shù)定律及中心極限定理例4

一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓，設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布，記§2中心極限定理退出前一頁后一頁目錄一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。例5解：設(shè)最多可裝n箱，保障不超載的概率大于0.977。由中心極限定理有第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理退出前一頁后一頁目錄例5（續(xù)）因此最多可裝98

箱，保障不超載的概率大于0.977。第五章大數(shù)定律及中心極限定理退出前一頁后一頁目錄1)了解大數(shù)定律的意義和內(nèi)容，理解貝努里、辛欽大數(shù)定律，了解切比曉夫大數(shù)定律。第五章小結(jié)要求：1)大數(shù)定律的定義，貝努里、辛欽大數(shù)定律，切比曉夫大數(shù)定律；主要內(nèi)容：2)中心極限定理的定義，獨(dú)立同分布的中心極限理和德莫佛-拉普拉斯定理及應(yīng)用。2)理解中心極限定理的含義及其客觀背景，要掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理和德莫佛-拉普拉斯定理，會(huì)利用中心極限定理解決一