密度矩陣重整化

密度矩陣重整化第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一個(gè)多體相互作用系統(tǒng)在某個(gè)特定狀態(tài)(例如基態(tài))下的物理性質(zhì)

困難點(diǎn)：不可微擾凝聚態(tài)物理多體理論需要解決的問題是什么？第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日用密度矩陣挑選所要保留的基矢用有限的幾個(gè)基矢來近似表示一個(gè)無窮維空間中的一些狀態(tài)密度矩陣重整化群系統(tǒng)的總自由度隨粒子數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng):mN(m=2,3,…,N~1023)優(yōu)化處理多粒子相互作用體系的一種數(shù)值重整化群方法第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日S=1/2Heisenberg模型Totaldegreesoffreedom:2N量子效應(yīng)：第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日Heisenberg相互作用:H2分子能量三重態(tài)單態(tài)J第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日Particleinabox第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日所研究的矩陣的特點(diǎn)維數(shù)高:mN

稀疏：90％或更多矩陣元為零有一定的對(duì)稱性（或守恒量〕：矩陣可分塊對(duì)角化第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日重整化群思想標(biāo)度變換：作用量A與A’具有相同的泛函形式(稱之為可重整性)，這也是量子場(chǎng)論方法的基礎(chǔ)重正化群：只是一個(gè)半群第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日保留H4

的p最小本征態(tài)經(jīng)典重整化群方法:按能量保留狀態(tài)保留H2

的p最小本征態(tài)第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日經(jīng)典重整化群方法失敗的原因邊界誤差太大切斷誤差太大共p2個(gè)狀態(tài)僅p個(gè)被保留按能量取舍狀態(tài)有可能丟掉了一些有用的狀態(tài)而保留了一些無用的狀態(tài)兩個(gè)開邊界子系統(tǒng)合在一起其銜接部分的狀態(tài)與實(shí)際差的很遠(yuǎn)第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日改進(jìn)的重整化群方法

邊界誤差減小

切斷誤差減小

2p個(gè)狀態(tài)，保留p個(gè)第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日密度矩陣重整化群系統(tǒng)環(huán)境Superblock按系統(tǒng)的約化密度矩陣的本征值保留狀態(tài)第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日約化密度矩陣約化密度矩陣的本征值等于其對(duì)應(yīng)的本征態(tài)|>在基態(tài)上的投影振幅第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日DMRG迭代過程系統(tǒng)和環(huán)境中各加進(jìn)一個(gè)點(diǎn)并初始化或更新H=Hsys+Henv+Hsys,env用Lanczos或其它稀疏矩陣對(duì)角化方法對(duì)角化H求出基態(tài)波函數(shù)構(gòu)造并對(duì)角化約化密度矩陣做基矢切斷并求出變換矩陣Unp第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日Lanczos方法第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日DMRG與其它方法比較MonteCarlo或其它近似方法

誤差~1%1D量子系統(tǒng)DMRG的誤差遠(yuǎn)小于其它近似方法總自由度數(shù)：2L第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日

零溫，實(shí)空間：1992

熱力學(xué)計(jì)算(TMRG)：經(jīng)典系統(tǒng)1995，1D量子系統(tǒng)1996

高維空間：動(dòng)量空間1995，分子第一性原理計(jì)算1998，待進(jìn)一步發(fā)展

動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)計(jì)算：零溫及1D有限溫度1999

非平衡態(tài)(含時(shí)演化)問題：2001，待進(jìn)一步發(fā)展與MonteCarlo方法的結(jié)合：1999，有很大的發(fā)展空間密度矩陣重整化群方法發(fā)展的主要進(jìn)展第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日計(jì)算量主要CPU時(shí)間用于矩陣的對(duì)角化實(shí)際計(jì)算的矩陣的維數(shù)：104－106

稀疏程度：10-30％需要對(duì)角化的矩陣的個(gè)數(shù)：103－105矩陣與矢量相乘的總次數(shù)：105－107硬盤：10G－200G第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)移矩陣重整化群：有限溫度DMRG方法轉(zhuǎn)移矩陣空間時(shí)間第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日轉(zhuǎn)移矩陣重整化群與DMRG的比較T=0DMRGTMRGTargetMatrixHamiltonianHSymmetricTransferMatrixTNon-symmetricTargetStateGroundstatemax|max>DensitymatrixSymmetricNon-symmetricLatticesizeFiniteInfinity(Finitetimeslices)第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日S=1/2Heiserberg模型的磁化率第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日S=1/2Heiserberg模型的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日二維密度矩陣重整化群方法核心問題：2D格子如何向1D格子映射？多鏈方法2D方法Condmat/0102200第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日Heisenberg模型的基態(tài)性質(zhì)SquareLatticeTriangleLatticeSquare TriangleDMRG-0.3346-0.1814MC-0.334719-0.1819SW-0.33475