機(jī)械能守恒定律

機(jī)械能守恒定律物理學(xué)的任務(wù)是發(fā)現(xiàn)普遍的自然規(guī)律。因?yàn)檫@樣的規(guī)律是最簡單的形式之一表現(xiàn)為某種物理量的不變性，所以對(duì)于守恒量的尋求不僅的合理的，而且也是極為重要的研究方向?！?jiǎng)诙蚋呷?）班李偉峰追尋守恒量——能量相互作用的物體憑借其位置而具有的能量叫做勢能：物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量叫做動(dòng)能聯(lián)想：伽利略理想斜面實(shí)驗(yàn)功功有正負(fù)，但是標(biāo)量（力對(duì)物體做正功，表示這個(gè)力是動(dòng)力；反之，為阻力）；W=Flcosα，適用于計(jì)算恒力做功；可根據(jù)F與v的夾角判斷功的正負(fù)；合力做的功等于各力做功的代數(shù)和.一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，這個(gè)力就對(duì)物體做了功力和物體在力的方向上發(fā)生的位移，是做功的兩個(gè)不可缺少的因素W=Flcosα功率功率：表示做功快慢的物理量功W與完成這些功所用的時(shí)間t的比值叫做功率P=W/t單位：瓦特，符號(hào)：W額定功率：發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作時(shí)的最大輸出功率；實(shí)際功率：發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際工作時(shí)的輸出功率.關(guān)系：P實(shí)≤P額P=W/t=Flcosα/t=Fvcosαv是平均速度時(shí)，計(jì)算平均功率；v是瞬時(shí)速度時(shí)，計(jì)算瞬時(shí)功率.機(jī)車啟動(dòng)恒定功率啟動(dòng)：P不變，v↑由P=Fv得F↓由F-Ff=ma得a↓當(dāng)a=0時(shí)，速度最大vm=P/F=P/Ff恒定加速度啟動(dòng)：a不變，v↑F-Ff=ma得F不變由P=Fv得P↑當(dāng)P增大到P額時(shí)，速度達(dá)到v1，勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束，仍有av1=P額/F，勻加速時(shí)間t1=v1/a以后v↑，由P=Fv得F↓由F-Ff=ma得a↓當(dāng)a=0時(shí)，速度最大vm=P額/F=P額/Ff在如圖所示的伽利略的斜面理想實(shí)驗(yàn)中（斜面光滑），一下說法中正確的是（）A.小球從A到B的過程中動(dòng)能保持不變；B.小球從A到B的過程中勢能減少；C.只有小球從B到C運(yùn)動(dòng)的過程中動(dòng)能和勢能的總和保持不變D.小球在斜面CD上運(yùn)動(dòng)的最大距離等于ABB如圖所示，在加速向左運(yùn)動(dòng)的車廂中，一人用力向前推車廂（人與車廂始終保持相對(duì)靜止），則下列說法正確的是（）A.人對(duì)車廂做正功；B.車廂對(duì)人做負(fù)功；C.人對(duì)車廂做負(fù)功；D.車廂對(duì)人做正功：CD解:先確定人對(duì)車廂的作用力方向和力的作用點(diǎn)的位移方向,這里人對(duì)車廂除有手對(duì)車廂的推力F外,還有個(gè)容易被疏忽的力:腳對(duì)車廂地板的靜摩擦力F,受力分析如圖所示.其中F做正功,F做負(fù)功.因?yàn)镕和F大小未知,因此這兩個(gè)力的總功正負(fù)難以確定.于是將研究對(duì)象轉(zhuǎn)換為受力情況較簡單的人,在水平方向人受到車廂壁向右的力F和車廂地板對(duì)人向左的靜摩擦力F,這兩個(gè)力的合力使人產(chǎn)生向左加速運(yùn)動(dòng)的加速度,合力是動(dòng)力,對(duì)人做正功,表示車廂對(duì)人做正功,由牛頓第三定律知,人對(duì)車廂的作用力向右,是阻力,所以人對(duì)車廂做負(fù)功,故C、D正確.如圖所示，滑輪和繩的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，用力F開始提升原來靜止的質(zhì)量為m=10kg的物體，以大小為a=2m/s2的加速度上升，求前3s內(nèi)力F做的功.（g取10m/s2）物體受到兩個(gè)力的作用：拉力F’和重力mg，由牛頓第二定律得F’-mg=ma，所以F’=m（g+a）=10×（10+2）N=120N.則F=1/2F’=60N.物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)，3s內(nèi)的位移為X=1/2·at2=9m.方法一：力F的作用點(diǎn)為繩的端點(diǎn)，而在物體發(fā)生的9m位移的過程中，繩的端點(diǎn)的位移為2x=18m，所以力F做的功為W=F·2x=1080J。方法二：由于滑輪和繩的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，所以拉力F做的功和拉力F’對(duì)物體做的功相等，即WF=WF’=F’s=1080J質(zhì)量為M的長木板放在光滑的水平面上，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊以某一速度沿木板表面從A點(diǎn)滑至B點(diǎn)，在木板上前進(jìn)了L，而木板前進(jìn)了l.若滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，問：（1）摩擦力對(duì)滑塊所做的功為多大；（2）摩擦力對(duì)木板所做的功為多大.（1）滑塊受力合力為摩擦力，摩擦力對(duì)滑塊做的功為：Wm=-μmg（l+L）.（2）木板所受合力是摩擦力，摩擦力對(duì)木板做的功為：WM=μmgs變力做功的計(jì)算：1.將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做過；分段計(jì)算功，然后用求和的方法求變力做的功；用轉(zhuǎn)換研究對(duì)象的方法2.方向不變，大小隨位移線性變化的力，可用平均力求所做的功；3.用圖象法求解變力做功.如圖所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑水平面的物體，開始時(shí)與物體相連的繩與水平面的夾角是α，當(dāng)拉力作用一段時(shí)間后，繩與水平面間的夾角為.已知圖中的高度h，求繩子的拉力FT對(duì)物體所做的功.繩的質(zhì)量、滑輪質(zhì)量及繩與滑輪間的摩擦不計(jì).轉(zhuǎn)換研究對(duì)象設(shè)繩的拉力FT對(duì)物體做的功為WFT人的拉力F對(duì)繩做的功為WF，由圖可知，在繩與水平面的夾角由α變到β的過程中，拉力F的作用點(diǎn)的位移大小為△l=l1-l2

．由W=Fl可知，WFT=WF=F△l=Fh（1/sinα-1/sin）故繩子的拉力FT做的功為Fh（1/sinα-1/sin）放在水平地面上的木塊與一輕彈簧相連.現(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力F與力的作用點(diǎn)的位移l的函數(shù)關(guān)系如圖所示，木塊開始運(yùn)動(dòng)后，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢移動(dòng)了0.8m的位移，則上述過程中拉力所做的功為（）A.16JB.20JC.24JD.無法確定B如圖所示，物體A、B質(zhì)量相同，與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)也相同，在力F作用下一起沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)的位移為l，下列說法正確的是（）A.摩擦力對(duì)A、B做的功一樣多B.A克服摩擦力做的功比B多C.F對(duì)A做的功與A對(duì)B做的功相同D.A所受的合外力對(duì)A做的功與B所受的合外力對(duì)B做的功相同BD自動(dòng)扶梯以恒定的速度v運(yùn)轉(zhuǎn)，運(yùn)送人員上樓.一個(gè)人第一次站在扶梯上后相對(duì)扶梯靜止不動(dòng)，扶梯載他上樓過程中對(duì)他做功為W1，做功功率為P1.第二次這個(gè)人在運(yùn)動(dòng)的扶梯上又以相對(duì)扶梯的速度v同時(shí)勻速向上走，這次扶梯對(duì)人做功為W2，做功功率為P2.以下說法中正確的是（）A.W1＞W(wǎng)2，P1＞P2B.W1＞W(wǎng)2，P1＝P2C.W1＝W2，P1＞P2D.W1＝W2，P1＝P2B解析：在扶梯上，人相對(duì)于扶梯靜止不動(dòng)和人相對(duì)扶梯勻速向上運(yùn)動(dòng)，相對(duì)地面上的人都是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩次人均處于平衡狀態(tài)，兩次人的受力情況相同，即扶梯對(duì)人向上的支持力等于重力，兩次扶梯運(yùn)動(dòng)的速率v不變，據(jù)P=Fvcosα知，兩次扶梯做功的功率不變，即P1＝P2；但兩次人通過相同位移所用時(shí)間不同，有t1＞t2，據(jù)W=Pt知，兩次扶梯所做的功不相同，有W1＞W(wǎng)2，故選B.質(zhì)量為m的汽車以恒定功率P在平直的水平公路上行駛，汽車勻速行駛時(shí)的速率為v1，當(dāng)汽車速率以v2（v2＜v1）行駛時(shí)，汽車的加速度為（）A.P/mv1B.P/mv2C.P（v1-v2）/mv1v2D.2P/m（v1+v2）C汽車以v1勻速行駛時(shí)，地面阻力Ff=P/v1；當(dāng)汽車的速率為v2時(shí)，牽引力F2=P/v2，此時(shí)加速度a=F2-Ff/m=P（v1-v2）/mv1v2起重機(jī)的鋼絲繩在10s內(nèi)將4t重的貨物向上吊起15m高.（1）如果貨物是勻速上升，求起重機(jī)對(duì)貨物做功的功率多大；（2）如果貨物是從靜止開始勻加速上升，求起重機(jī)對(duì)貨物做功的平均功率是多少以及該起重機(jī)的額定功率最小是多少.（g取10m/s2）解析（1）勻速上升時(shí)，起重機(jī)對(duì)貨物向上的拉力F1=mg=4×10^4N.拉力做的功W1=F1l=6×10^5J，拉力的功率P1=W1/t=6×10^4W.（2）勻加速上升時(shí)，加速度a=2l/t2=0.3m/s2起重機(jī)對(duì)貨物的拉力F2=m（g+a）=4.12×10^4N拉力做的功W2=F2l=6.18×10^5J，拉力的平均功率P=W/t=6.18×10^4W.最小額定功率即實(shí)際功率的最大值，也就是10s末的實(shí)際功率，10s末的速度vt=at=3m/s，拉力的最大功率Pmax=F2vt=1.236×10^5W,所以該起重機(jī)的額定功率最小是1.236×10^5W.如圖所示，一長為L的輕桿一端固定在光滑鉸鏈上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球.一水平向右的拉力作用于桿的中點(diǎn)，使桿以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)桿與水平方向成60°時(shí)，拉力的功率為（）A.mgLB.√3/2·mgLC.1/2·mgLD.√3/6·mgLC先求拉力F的大小.根據(jù)力矩平衡，F(xiàn)·L/2·sin60°=mgLcos60°，得F=2√3mg/3；再求速度v=·L/2；再求力與速度的夾角Θ=30°，所以功率P=FvcosΘ=1/2·mgL面積很大的水池，水深為H，水面上浮著一正方體小木塊，木塊變長為a，密度為水的1/2，質(zhì)量為m.開始時(shí)，木塊靜止，如圖所示.現(xiàn)用力F將木塊緩慢壓到水池底部，不計(jì)摩擦.求：從木塊剛好完全浸入水中到停止到池底的過程中，木塊重力勢能的改變量和池水重力勢能的改變量。木塊從1移動(dòng)到2，相當(dāng)于使相同體積的水從2移動(dòng)到1，重心升高H-a，所以池水勢能的改變量等于這部分水在位置1和2的勢能之差.木塊的質(zhì)量為m，與木塊同體積的水的質(zhì)量為2m，故木塊和池水勢能的改變量分別為△E木=-mg（H-a），△E水=2mg（H-a）如圖所示，豎直光滑半圓軌道DOC與水平粗糙軌道ABC相切于C點(diǎn)，軌道的AB部分可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的滑塊在水平外力F的作用下從A點(diǎn)由靜止做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)撤去外力F，滑塊恰好能通過最高點(diǎn)D?，F(xiàn)將AB順時(shí)針轉(zhuǎn)過37°（不計(jì)滑塊在B點(diǎn)的能量損失），若將滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，則滑塊恰好能到達(dá)與圓心等高的O點(diǎn)。已知滑塊與軌道ABC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度為g，sin37°=0.6，BC=R/2。（1）求水平外力F與滑塊重力mg的比值；（2）若斜面AB光滑，其他條件不變，滑塊仍從A點(diǎn)由靜止釋放，求滑塊在D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力.解：（1）因滑塊恰好能通過最高點(diǎn)D，所以在D點(diǎn)有mg=mvD2/R設(shè)直軌道AB長為s，則滑塊從A到D由動(dòng)能定理Fs-μmg（s+R/2）-mg·2R=1/2·mvD2-0滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，從A到O由動(dòng)能定理mgs·sinΘ-μmg（cosΘ·s+R/2）-mgR=0-0聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得s=25R/4，F(xiàn)/mg=47/50（2）因斜面AB光滑，設(shè)滑塊到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為v，則從A到D由動(dòng)能定理得mgs·sinΘ-μmg·R/2-mg·2R=1/2·mv2-0帶入數(shù)值得v2=3gR在D點(diǎn)，由牛頓第二定律知FD+mg=mv2/R即FD=2mg由牛頓第三定律知滑塊在D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為2mg.（2016全國Ⅰ卷）如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為5/6R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直面內(nèi)。質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高點(diǎn)到達(dá)F點(diǎn)，AF=4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=1/4，重力加速度大小為g。（取sin37°=3/5，cos37°=4/5）（1）求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大小。（2）求P運(yùn)動(dòng)到Ｅ點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能。（3）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過Ｇ點(diǎn)。Ｇ點(diǎn)在Ｃ點(diǎn)左下方，與Ｃ點(diǎn)水平相距7/2R，豎直相距R。求Ｐ運(yùn)動(dòng)到Ｄ點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后Ｐ的質(zhì)量。解：（1）根據(jù)題意知，B、C之間的距離為l=7R-2R①設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，由動(dòng)能定理有mglsinΘ-μmglcosΘ=1/2·mvB2-0②式中Θ=37°聯(lián)立①②式并由題給條件得vB=2√（gR）③（2）設(shè)BE=x。P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)的速度為零，設(shè)此時(shí)彈簧的彈性勢能為EP。P由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有mgxsinΘ-μmgxcosΘ-EP=0-1/2·mvB2④E、F之間的距離為l1=4R-2R+x⑤P到達(dá)E點(diǎn)后反彈，從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有EP-mgl1sinΘ-μmgl1cosΘ=0-0⑥聯(lián)立③④⑤⑥式并由題給的條件得x=R⑦EP=12/5mgR⑧（3）設(shè)改變后P的質(zhì)量為m1。D點(diǎn)與G點(diǎn)的水平距離x1和豎直距離y1分別為x1=7/2R-5/6RsinΘ⑨y1=R+5/6R+5/6RcosΘ⑩式中，已應(yīng)用了過C點(diǎn)的圓軌道半徑與豎直方向夾角仍為Θ的事實(shí)設(shè)P在D點(diǎn)的速度為vD，由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間為t。由平拋運(yùn)動(dòng)公式有y1=1/2gt2?x1=vDt?聯(lián)立⑨⑩??式得vD得3/5√（5gR）?設(shè)P在C點(diǎn)速度的大小為vC。在P由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，有1/2·m1vC2=1/2·m1vD2+m1g（5/6R+5/6RcosΘ）?P由E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有EP-m1g（x+5R）sinΘ-μm1g（x+5R）cosΘ=1/2·m1vC2-0?聯(lián)立⑦⑧???式得m1=m/3?（2016年全國Ⅱ卷）輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為l。現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。（1）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)間的距離；

（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍。解：（1）依題意，當(dāng)彈簧豎直放置，長度被壓縮至l時(shí)，質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零，其重力勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能。由機(jī)械能守恒定律，彈簧的長度為l時(shí)的彈性勢能EP=5mgl①設(shè)P的質(zhì)量為M，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，由能量守恒定律得EP=1/2·MvB2+μMg·4l②聯(lián)立①②式，取M=m并代入題給數(shù)據(jù)得vB=√（6gl）③若P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力，即P此時(shí)的速度大小v應(yīng)滿足mv2/l-mg≥0④設(shè)P滑道D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，由機(jī)械能守恒定律得1/2·mvB2=1/2·mvD2+mg·2l⑤聯(lián)立③⑤式得vD=√（2gl）⑥vD滿足④式要求，故P能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，并從D點(diǎn)以速度vD水平射出。設(shè)P落回到軌道AB所需的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2l=1/2·gt2⑦P落回AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為s=vDt⑧聯(lián)立⑥⑦⑧式得s=2√2l⑨（2）為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于零。由①②式可知5mgl＞μMg·4l⑩要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點(diǎn)C。由機(jī)械能守恒定律有1/2·MvB2≤Mgl?聯(lián)立①②⑩?式得5m/3≤M＜5m/2?（2016年全國Ⅲ卷）如圖，在豎直平面內(nèi)由1/4圓弧AB和1/2圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為R/2。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距R/4處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。（1）求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；（2）通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。解：（1）設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA=mgR/4①設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB，同理有EkB=5mgR/4②由①②式得EkA/EkB=5③（2）若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力FN應(yīng)滿足FN≥0