全日制義務教育數(shù)學課程標準研制的-過程和方法

從雙基到四基，從兩能到四能

——學習《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》北京教育學院張丹2012.4.8修改后的基本框架

前言：數(shù)學和數(shù)學教育的價值、課程性質、基本理念、設計思路（含核心概念）。課程目標：總目標、學段目標課程內(nèi)容：分學段按照數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐分別闡述實施建議附錄：有關行為動詞的解釋、案例一、課程目標在目標的結構上仍按：總體目標總體表述知識技能數(shù)學思考問題解決情感態(tài)度學段目標第一學段第二學段第三學段1.獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。2.體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。3.了解數(shù)學的價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度。

一、課程目標——總目標知識與技能 知識積累已知A，求證B思想與經(jīng)驗 經(jīng)驗積累由條件推斷結果由結果探究成因創(chuàng)新意識創(chuàng)新機遇史寧中

“創(chuàng)新能力的基礎創(chuàng)新能力依賴于三方面:知識的掌握、思維的訓練、經(jīng)驗的積累,三方面同等重要.關于“知識的掌握”,我國的中小學數(shù)學教育是沒有問題的;關于“經(jīng)驗的積累”,大概還差得很多;關于“思維的訓練”,我們做得也不夠,只能打五十分.那么為了創(chuàng)新型國家的建立我們現(xiàn)在的教育只做了一半的工作.我們沒有更多地在基礎教育階段教孩子如何去創(chuàng)新,幫他們從小的事情、小的發(fā)現(xiàn)開始積累經(jīng)驗,沒有這樣的意識?！标P于中國數(shù)學雙基教學的思考

——基于中美學生數(shù)學學習的系列實證研究美國德拉華大學蔡金法一個國際比較研究中的觀點問：是否需要重新考慮對

“雙基”的投入？

中國學生在計算題上的絕對優(yōu)勢并沒有在一些過程開放的復雜問題解決上表現(xiàn)出來

圖

中美學生在四類問題上的平均分數(shù)（用百分數(shù)表示）數(shù)學活動經(jīng)驗

史寧中指出：“基本活動經(jīng)驗是指學生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗”?；顒咏?jīng)驗包括什么（張奠宙等）

直接數(shù)學活動經(jīng)驗:直接聯(lián)系日常生活經(jīng)驗的數(shù)學活動所獲得的經(jīng)驗間接數(shù)學活動經(jīng)驗:創(chuàng)設實際情景構建數(shù)學模型所獲得的數(shù)學經(jīng)驗專門設計的數(shù)學活動經(jīng)驗:由純粹的數(shù)學活動所獲得的經(jīng)驗

活動經(jīng)驗包括什么（張奠宙等）

意境聯(lián)結性數(shù)學活動經(jīng)驗:通過實際情景意境的溝通,借助想象體驗數(shù)學概念和數(shù)學思想的本質

這類數(shù)學活動經(jīng)驗,不是直接產(chǎn)生于某種實際活動,而是將抽象的數(shù)學概念和法則,借助舉例、比喻、聯(lián)想等方法,尋求某種具體的形象化的支撐,獲得具體的意象固著點,獲得某種相對現(xiàn)實的數(shù)學經(jīng)驗.

活動經(jīng)驗包括什么（徐斌艷）

基本的數(shù)學操作經(jīng)驗；基本的數(shù)學思維活動經(jīng)驗；發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的經(jīng)驗”。

我對數(shù)學活動經(jīng)驗的理解

第一，基本活動經(jīng)驗是在學生的生活經(jīng)驗基礎上，在特定的數(shù)學活動中積累的。情境的作用——原型（元角分、溫度計）探究過程、思考過程、反思過程

學生方法1：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這4個部分怎樣求？……

割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。學生方法2：可以在圓上畫方塊，如果不足一個方塊可以用其他地方的方塊來補，但我們不知道怎樣補最合適？

我對數(shù)學活動經(jīng)驗的理解

第二，基本活動經(jīng)驗是一種組合體，包括了數(shù)學活動中的主觀體驗、以及獲得的客觀認識；包括數(shù)學活動的結果，更包括活動的過程。

第三，數(shù)學活動經(jīng)驗的類型目前還沒有統(tǒng)一，但其核心應該是如何思考的經(jīng)驗，促進學生學會運用數(shù)學的思維方式進行思考。

我對數(shù)學活動經(jīng)驗的理解

第四，數(shù)學活動經(jīng)驗最終可以幫助學生建立自己的數(shù)學現(xiàn)實和數(shù)學學習的直覺，這種直覺一旦生成，在后續(xù)學習和問題解決中將起到重要作用。由此可見，數(shù)學活動經(jīng)驗既是數(shù)學學習的產(chǎn)物，也是學生進一步認識和實踐的基礎。第五，基本活動經(jīng)驗的積累，大致需要經(jīng)過“經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移”的過程。

我對數(shù)學活動經(jīng)驗的理解

對于廣大教師而言，一個當務之急的研究就是尋找基本活動經(jīng)驗的“證據(jù)”，即在具體的數(shù)學活動中，學生的經(jīng)驗體現(xiàn)在什么地方？他們?yōu)槭裁磿嬖谶@樣的經(jīng)驗……

積累和設計好的活動……

數(shù)學的基本思想。數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的思想學習數(shù)學以后具有的思維能力抽象：把與數(shù)學有關的知識引入數(shù)學內(nèi)部推理：促進數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展模型：溝通數(shù)學與外部世界的橋梁

抽象三個層次

抓住事物特征、語言表達；抓住事物本質、符號表達；抓住事物關聯(lián)、模型表達。推理能力推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論。

楊振寧：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了演繹能力，我在美國學到了歸納能力。（見《我的生平》）

教育理念推理能力模型思想模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。小學階段的“模型”整體與部分之間的關系

操場上有18人，又來了一些人（3排，每排4人），現(xiàn)在有多少人？路程、速度和時間，總價、單價和數(shù)量數(shù)學思想處于“數(shù)學的基本思想”下一層次的數(shù)學思想，還有很多。數(shù)形結合、函數(shù)、方程、分類、轉化等發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題鼓勵學生提出問題：問題“場”啟發(fā)學生思考的最好的辦法是教師與學生一起思考，一起發(fā)現(xiàn)和提出問題，一起分析和解決問題。教師要能暴露自己的思考路徑，教學中為什么要提出這些問題供大家思考，遇到情境可以從哪些方面提出問題，遇到這些問題后應該從哪些角度來分析，解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。

一年級學生提出的問題為什么能夠站穩(wěn)的都是立體圖形？我們能想辦法讓平面圖形站穩(wěn)嗎？（李瑞彤）七巧板中為什么沒有長方形？（鄒忱燁）為什么一般的書都設計成長方形的？（張梓凱）為什么數(shù)學書第45頁的圖形涂色后看起來像是立體圖形，而沒有涂色前看起來是平面的？（周彥成）

為什么正方形對折后能成為兩個完全一樣的三角形，而長方形不能？（李明遠）

一年級學生提出的問題為什么數(shù)學書第45頁的圖形涂色后看起來像是立體圖形，而沒有涂色前看起來是平面的？（周彥成）為什么有兩個條件就可以提出一個數(shù)學問題？（李明遠）最大的數(shù)是多少？有最大的數(shù)么？數(shù)有很多很多，我們能學完嗎？媽媽說有負數(shù)，負數(shù)是比0還小嗎？那怎么可能呢？要這樣的數(shù)有什么用呢？我怎么也寫不出比0小得數(shù)。

五年級學生提出的問題第一個班：1．學習質數(shù)和合數(shù)有什么用？2．有沒有一個辦法，能快速地找到質數(shù)？3．質數(shù)有沒有公式？第二個班：1. 有沒有最大的質數(shù)？2. 合數(shù)的因數(shù)是不是有無限多？3.2與3差1，3與5差2，5與7差2，11與7差4，…質數(shù)是否有一定的規(guī)律？4. 哥德巴赫猜想研究的是什么？

五年級學生提出的問題綜合與實踐“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題。“綜合與實踐”的教學活動應當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結合。提倡把這種教學形式體現(xiàn)在日常教學活動中。綜合與實踐選題：發(fā)現(xiàn)并選擇可以研究的問題，并清晰地加以表述。開題（或稱為“析題”）：通過分析、討論，進一步明確需要解決的問題，設計合理可行的解決問題的方案和步驟。做題：通過自主探究、合作交流等實際操作環(huán)節(jié)，實施解決問題的方案，得到解決問題的成果。結題：總結、反思并交流解決問題的成果、解決問題的過程、收獲或體會、進一步研究的問題等，并開展自評、互評和他評。小學生礦泉水瓶最佳周長

調查報告六年級五班第二小組組長：王天時組員：謝雨欣、蔣子重、賁迪、林宏睿、臧玉冰、林一衡背景分析研究內(nèi)容研究方法研究步驟研究結論研究反思研究日志研究分析調查背景小組分工調查方法調查問卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計結果分析調查結論樓梯的設計——綜合實踐報告組長：王天石組員：吳雨檸孫藝郡范靖琪林宜家韋仁杰發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題啟發(fā)學生思考的最好的辦法是教師與學生一起思考，一起發(fā)現(xiàn)和提出問題，一起分析和解決問題。教師要能暴露自己的思考路徑，教學中為什么要提出這些問題供大家思考，遇到情境可以從哪些方面提出問題，遇到這些問題后應該從哪些角度來分析，解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。這也體現(xiàn)了“從頭到尾”思考問題的理念。

如何讓學生思考a2-b2。案例（平方差公式）歸納教學的例子：嘗試。為得到公式a2–b2=(a-b)(a+b)首先進行化簡，令

b=1。變化

a可以得到：

22–1=4-1=332–1=9-1=842–1=16-1=1552–1=25-1=2462–1=36-1=35因為

8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7，可以想到

a2–1=(a-1)(a+1)，然后考慮一般的b。

二、核心概念提出了10個核心概念：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識。核心概念的分析有一些是名稱或內(nèi)涵發(fā)生較大變化的：數(shù)感、符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念；有一些是保持了原有名稱，基本保持了原有內(nèi)涵：空間觀念、推理能力、應用意識；有一些是新增加的：運算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識。核心概念的分析第一層，主要體現(xiàn)在某一內(nèi)容領域的核心概念。數(shù)感、符號意識、運算能力主要體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)領域，空間觀念主要體現(xiàn)在圖形與幾何領域，數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在統(tǒng)計與概率領域；第二層，體現(xiàn)在不同內(nèi)容領域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；第三層，超越課程內(nèi)容，整個小學數(shù)學課程都應特別注重培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識。提出核心概念的意義核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學中的關鍵。數(shù)感數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。數(shù)與數(shù)量的感悟實際上就是建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關系，這既包括從數(shù)量到數(shù)的抽象過程中，對于數(shù)量之間共性的感悟；也包括在實際背景中提到一個數(shù)時，能將其與現(xiàn)實背景中的數(shù)量聯(lián)系起來，并判斷其是否合理。如小學生看100本書，在7000平方米中有兩只東北虎。13個46個109個1000個數(shù)量關系的感悟量與量之間關系（大小、函數(shù)——線性函數(shù)的增長率）的感覺。比如，出租車對時間和路程之間關系的感悟。運算結果的感悟（估計）估算的要求能結合具體情境，選擇恰當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用”（一學段）在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（二學段）估算的例子學校組織987名學生去公園游玩。如果公園的門票每張8元，帶8000元錢夠不夠？估算的例子本例的目的是希望學生了解在什么樣的情境中需要估算，能結合具體情境，選擇適當?shù)膯挝皇堑谝粚W段估算的核心。比如，在此例中適當?shù)姆椒ㄊ前?87人看成1000人，所以適當?shù)膯挝皇恰?000人”。一般來說，估計教室的長度時，通常以“米”為單位；估計書本的長度時，通常以“厘米”為單位。也可以用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等。350名同學要外出參觀，有7輛車，每輛車56個座位，估一估夠不夠坐？①7×56≈350（個）350個=350個

看作50②7×56≈420（個）420個>350個看作60車重986千克，這輛車可以過橋嗎？共6箱限重3噸每箱重285千克3t運算能力運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。一是指運算；一是指運算能力。運算能力不僅僅會算和算正確，還包括對于運算的本身要有理解，比如運算對象、運算的意義、算理等。鼓勵學生自己探索方法，必要時使用原型、直觀模型等

將學生的方法與法則進行聯(lián)系——借助原型、直觀模型等——在法則中找到“影子”——體現(xiàn)豎式的“壓縮”過程

適當體現(xiàn)法則的價值在后續(xù)的練習中也應重視

“理法”平衡的策略難過程中的綜合性書寫形式的獨特性抽象簡潔的數(shù)學符號研究的背景乘1×3減4-348163031818加10+8北師大版教材三年級上冊分桃子有10個桃子，平均分給2只猴子，每只猴子分多少個？有48個桃子，平均分給2只猴子，每只猴子分多少個？活動要求：1.先動手分一分，動作要快。2.用數(shù)學的方式表示分的過程。3.看誰寫的讓別人一看就知道你是怎么分的。40÷2=20(個）8÷2=4(個）20+4=24(個）42244

8088

8個位十位一十40÷2=20(個）8÷2=4(個）20+4=24(個）42244

8088

8個位十位一十有48個桃子，平均分給3只猴子，每只猴子分多少個？4÷3=1······118÷3=641318603188個位十位一十符號意識符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。字母表示數(shù)正反比例方程一般性表示和運算等量關系變化規(guī)律模型內(nèi)容之間的聯(lián)系④④④④結構化的整體認識變化的量——變量之間有關系——變化情況不同——一類變化情況——模型三種表達方式的作用：我先畫圖看看趨勢，然后通過表格數(shù)據(jù)來仔細看變化的趨勢。

空間觀念空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀能利用圖形描述問題，能利用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，能借助圖形理解和記憶我們所得到的結果?？臻g觀念從本質上是一種感覺；而幾何直觀是建立在概念及其關系上的直覺。圖的作用數(shù)據(jù)分析觀念了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集